Σ - fermeture

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
R EINHOLD BAER
Σ - fermeture
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 12, no 1 (1958-1959), exp. no 7,
p. 1-3.
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Faculté dee Sciences de Paris
8-01
"’ ô "" ô "’ é "’
5 janvier 1959
Séminaire P. DUBREIL
DUBREIL-JACOTIN et C. PISOT
(ALGÈBRE
DES NOMBRES)
et
Année
1958/59
03A3 - FERMETURE
par Reinhold BAER
Soit 03A3
telles
une
propriété d’éléments
propriétés,
comme
d’un groupe. Il y
d’appartenir
au
centre
ou
a une
d’être
un
foule
d’exemples
de
commutateur de deux
éléments du groupe. Etant donné un groupe G ~ nous pouvons former la totalité
de tous les éléments g de G ayant la propriété 03A3 . Pour que cet
G
ensemble
soit
G03A3
03A3-éléments
et
qu’en
un
sous-groupe, il faut et il suffit
outre des
quotients
existe de tels
qu’il
03A3 -élements soient à leur tour
da
-fermé uzï groupe G tel que
des 03A3-éléments. Nous entendrons par groupe
G~. soit un sous-groupe de G . On est tenté d’élaborer une théorie générale
propriétés des éléments de groupe et des
propriétés. Telle n’est pas notre intention.
propriété très spéciale de ce genre .
des
groupes, fermés à
Nous allons
l’égard
plutôt
de
examiner
ces
une
a
L
Soit donc
un
.
élément
un
ensemble de nombres
du groupe, dont l’ordre
g
si l’ordre
premiers de
finis, n’est
o (g)
On entendra alors par
~ -élément
n’est divisible quo par des nombres
G, il ne s’agit ici que de groupes
des nombres premiers de 03A3 , on appellera G un
qu il faut et qu’il suffit, pour que le groupe G
o (G)
divisible que par
premiers.
du groupe
z. -groupe. Il est bien connu
soit un 03A3 -groupe, que tous ses éléments soient des 03A3 -éléments.
S i
G
est
téristique
.
.
un
G03A3
groupe ~.
de
G,
-fermée
forment
les
G03A3]
dont
à tous les nombres premiers de
L .
exactement le
multiple
qui
ne
plus petit
commun
est
un
sous-groupe
(relativement) premier
Le nombre des 03A3 -éléments de
sont divisibles que par des nombres
o(G)~-.
carac-
G
est donc
de tous les diviseurs de
o(q),
premiers de . FROBENIUS a avancé
est aussi suffisante, hypothèse qui
l’hypothèse que cette condition necessaire
n’a été jusqu’à aujourd’hui ni démontrée , ni
refutee.
Il est évident que tous lus sous-groupes et
03A3 -fermé sont à
tour 03A3 -fermés.
leur
G
de
o(U) .
est exactement
chaque sous-groupe U
qui précède, il est évident que chaque
Jusqu’à .présent on ignore encore
03A3 -éléments
si le nombre des
faiblement
G
C’est
ce
est aussi faiblement 03A3-fermé.
groupe
groupes-quotients d’un groupe
pourquoi nous appellerons le groupe
on
réciproque est vraie ; et de
03A3 -fermé lorsque le nombre des 03A3-éléments
dans
sait si
si le.
de
un
o(G)03A3 .
est exactement
G
est faiblement
G
g roupe
Que les sous-groupes d’un
groupe faiblement 03A3 -fermé soient aussi faiblement
03A3 -fermés est u,ne conséquence immédiate de la définition ; ct on peut démontrer
que c’est
également
On entendra par
G
et le groupe
le
pour les groupes
cas
premiers complémentaires
appelé 03A3’-homogène lorsque dans des %
Z,’
l’ensemble des nombres
sera
les éléments normalisateurs de
si
CU
son
U
est
montrent
soit
également
K
un
G,
NU/CU
est
~B
G,
se
NU
du fait que tout groupe faiblement
est
vrai,
exemples très
des
n’est pas vraie.
proposition
de réduction suivante
G . Pour que
G
groupes-quotients.
qai nous sera utile
soit
2:-fermé,
-fermés et
soient tous
et
Cette
.
sous-groupe normal du groupe
que K
03A3 ;
normalisateur et
son
transmet à des sous-groupes et des
valable la
de
):’-automorphismes,
également un £ ’-groupe) .
problème,
pour notre
que la réciproque
faut et il suflit
de
L ’-homogène ; Cette fois, il
La L’-homogénùit
Est
induisent seulement des
G
t:’-sous-groupe
un
en
importante
~. -fermé est aussi
simples
est
centralisateur
propriété
quotients.
qu’en
:
il
outre
lui-m~me soit H’-homogéne . Il découle de là p>~ r exemple qu’un groupe minimale
qui est faiblement £ -fermé, sens être toutefois 03A3 -fermé, est necessairement
G
simple.
On
peut maintenant démontrer
PROPOSITION À. - Pour que
G/G03A3 nilpotent,
sont
cas
un, FROBENIUS
avec
groupe
G
soit
un
quotient
le groupe
groupe 03A3’-homogène, dont
contient tous les diviseurs
premiers
de
G
sauf
déjà démontré cette proposition.
PROPOSITION B. - Pour que
nilpotent,
un
nilpotents.
spécial
a
soit
il faut et il suffit que
les
Dans le
G
les deux critères suivants die fermeture.
G
soit
il faut et il suffit que
avec
le sous-groupe
un
groupe
G
soit fa iblement 03A3 -fermé
et que tous
G-
8-03
03A3-sous-groupes
les
de
On
peut spécialiser
à la fois ~. ~ et
soit à la fois 1~direct
faut et il
de
ses
03A3’-fermé,
et d’un
§°1°’ -groupe
produit
ses
général ;
mais
on
03A3’-
peut
déjà montré que,
a
G
et 03A3-homogène.
montrer
o(G)~-
est à la
qu’un groupe
On
pour
~’-.groupe 9
et d’un
21-éléments soit
Si le groupe
soit
il est aussi à la fois
est vraie en
en
et FROBEM IUS
03A3’-groupe ;
que le nombre de
03A3’-éléments
demandant
quels groupes sont
Tout d’abord il est évident que, pour qu’un groupe
il faut et il suffit qu’il soit le produit
soit le
G
nilpotents.
problème traité ici,
le
et
d’un 03A3-groupe
que le groupe
soient
G
et que celui
fois ¿ -
ignore
ninimal
il
et
réciproque
G ~ qui est
si la
et
est nécessairement un groupe
03A3- et 03A3’-homogène sans
simple possédant la propriété suivante : chaque sous-groupe propre de G est
un 03A3’-groupe.
soit un 03A3 -groupe, soit
prouver
ce
dernier
fait,
Il est intéressant de reamrquer, que pour
il faut recourir
au
théorème de
Wielandt-Frobenius,
donc
à la thuorie des caractères de groupes, tandis que pour toutes les considérations
précédentes
On trouvera
suivants
-
-
r~
peut
on
un
se
passer de cette théorie.
exposé détaillé
des réflexions
esquissées
qui paraîtront prochainement :
Closure and
dispersion,
Kriterien fur die Abgeschlossenheit endlicher Gruppen,
Produktc von Gruppen teilerfremder Ordnungo
ici dans les travaux