14 Proportionnalité et géométrie

14 Proportionnalité
et géométrie
2 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie
2
Objectifs des activités
Activité 1
Faire comprendre à l’élève la notion d’agran-
dissement à l’échelle.
Activité 2
Faire découvrir la propriété de conservation des
angles dans un agrandissement / réduction.
Activité 3
Faire découvrir une propriété de conservation
de parallélisme et d’orthogonalité dans un
agrandissement / réduction.
Activité 4
Démontrer la propriété de conservation des
angles dans un agrandissement / réduction
dans le cas d’un triangle rectangle.
1
Commentaires généraux
Le chapitre 14 traite de certains problèmes de proportionnalité rencontrés en géométrie dans
le cadre du programme de 4e.
Une grande partie du chapitre est consacrée à l’étude des agrandissements et réductions à
l’échelle de  gures planes. De nombreuses situations permettent à l’élève d’observer et d’utiliser
les propriétés de conservation des  gures lors d’un agrandissement ou d’une réduction à
l’échelle (mesures d’angles, parallélisme). Une part importante du contenu est consacrée à
des constructions de tels agrandissements ou réductions.
La variation d’une grandeur en fonction d’une autre, dans le cadre des formules d’aires et de
volumes, offre de nombreuses situations de proportionnalité ainsi que de non proportionnalité.
Par ailleurs, les élèves découvrent et utilisent dans ce chapitre la proportionnalité entre, d’une
part, la longueur d’un arc de cercle ou l’aire d’un secteur angulaire et, d’autre part, son angle
au centre. Cette étude permet l’élaboration d’un patron de cône.
Pour traiter ce chapitre, il est important que les notions du chapitre 7 soient déjà familières
pour l’élève, notamment la procédure des « produits en croix ».
L’enseignant trouve ici l’occasion d’utiliser pleinement les logiciels de géométrie dynamique
avec ses élèves. Le site Internet de la collection (www.dimatheme.com) propose un nombre
conséquent d’illustrations interactives en liaison avec les activités et les exercices de ce chapitre.

Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 3
3
Avant de démarrer (solutions)
A. c B. c C. a D. b E. c
4
Je découvre, j’utilise (solutions)
1
9,5 cm
4 cm
2 M’N’ = M’P’ = 2 # 28 = 56 mm
et P’N’ = 1,5 # 28 = 42 mm
M’
P’ N’
3
5 cm
7,6 cm
9 cm C’B’
A’ D’
4 D’E’ = 50 # 0,2 = 10 cm
D’F’ = 29 # 0,2 = 5,8 cm
et F’E’ = 63 # 0,2 = 12,6 cm
D’
F’
E’
5 1. HIJ est un triangle rectangle en H. En appli-
quant le théorème de Pythagore, on a :
IJ2 = HI2 + HJ2
IJ2 = 5 6002 + 4 2002 = 49 000 000
donc IJ = 7 000 (en mètres)
2. À l’échelle 70 000
1 les nouvelles dimensions
sont (en cm) :
H’I’ = 70 000
560 000 = 8 ; H’J’ = 70 000 420 000 = 6
I’J’ = 70 000
700 000 = 10
H’ 8 cm
10 cm
6 cm
I’
J’
6 1 600 km = 160 000 000 cm
20 000 000
160 000 000 8
=
d’où : Îles
des Bermudes
mer
des sargasses
(OCÉAN
ATLANTIQUE)
Floride
Porto Rico
8 cm
8 cm
8 cm
8 cm
7 12 m = 1 200 cm ; 4 m = 400 cm
7 m = 700 cm
Dimensions
réelles en cm 1 200 700 400 75
Dimensions sur
le plan en cm 9,6 5,6 3,2 0,6
tableau
9,6 cm
porte
3,2 cm
0,6 cm 5,6 cm
: 125

4 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie
8 ,
,
21
84 4
=
Il s’agit de multiplier chaque dimension par 4.
A’ M ’ = 4 # 1,9 = 7,6 cm et A’F’ = 4 # 1 = 4 cm
7,6 cm
8,4 cm
4 cm
A’
F’
M’
9 ,
5
612= .
Il s’agit de multiplier chaque dimension par 1,2.
M’P’ = P’N’ = 1,2 # 4,5 = 5,4 cm
5,4 cm
6 cm
M’ N’
P’
10 50 m = 5 000 cm
8
5 000 625
=
Il s’agit d’une réduction à l’échelle 625
1.
Dimensions
réelles en m 50 45 15 30
Dimensions sur
le schéma en cm 8 7,2 2,4 4,8
2,4 cm
7,2 cm
8 cm
4,8 cm
2,4 cm
11 ,,
3
78 26
= .
Il s’agit d’un agrandissement à l’échelle 2,6.
E’G’ = 2,6 # 2,5 = 6,5 cm
7,8 cm
6,5 cm
G’
F’E’
12
Londres-
Berlin
Berlin-
Paris
Paris-
Londres
Distance réelle
en km 921 868 341
Distance sur
le schéma en cm 10 9,4 3,7
L
P
10 cm
9,4 cm
3,7 cm
B
13 Z’A’ = A’E’ = 50 mm et ZAE
\
= 45°
45°
A’
Z’
E’
14
R’ 14 cm
U’
T’
31°

Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 5
15 1. PSD
\
= 110° ; SDO
\
= 70° et DOP
\
= 110° .
2. À l’échelle 3
1 chaque côté mesure 8 cm et les
mesures des angles restent inchangées.
O’ P’
S’D’
8 cm
70°
70°
110°
110°
16 1.
F5 cm
4 cm
G
HK
50°
2. F’G’ = 1,5 # 5 = 7,5 cm
Hauteur : 1,5 # 4 = 6 cm
F’ 5 cm
6 cm
G’
H’K’
50°
17 ,,
96
12 125
=
B’C’ = 1,25 # 6,8 = 8,5 cm
D’C’ = 1,25 # 8,4 = 10,5 cm
’’’A B C ABC=
\
\
= 79° et ’’’BCD BCD=
\ \
= 90°
A’
B’
79°
C’
10,5 cm
8,5 cm
12 cm
D’
18 1. a.  = 2
1  # h
b. Quand  est  xée,  et h sont deux quantités
proportionnelles (un coef cient de proportionnalité
est 2
1 # ).
2. On peut dresser le tableau de proportionnalité
suivant.
 en cm211,1 51,8
h en cm 3x
x = ,
,
11 1
3518
# = 14
Si  = 51,8 cm2 alors h = 14 cm .
19 1.  =  # h
En multipliant la hauteur par la base qui est  xée, on
obtient le volume, donc quand la base est  xée le
volume d’un cylindre est proportionnel à sa hauteur.
2.
Hauteur en cm 12 9
Volume en cm37x
12 # x = 7 # 9
d’où ,xcm
12
79
12
63 525
#
===
20 La longueur de l’arc de cercle est proportion-
nelle à la mesure de l’angle au centre.
Mesure de l’angle
au centre en degrés 360 x
Longueur de l’arc
en cm 12 # r26
On a donc 12 # π # x = 360 # 26
d’où x = r12
360 26
#
#. 248
21 Même raisonnement qu’à l’exercice 20.
x = r
,
16
360 16 8
#
#. 120
22 L’aire de la portion de disque est proportion-
nelle à la mesure de l’angle au centre.
Mesure de l’angle
au centre en degrés 360 x
Aire en cm272 # r98
On a donc 49r # x = 360 # 98
d’où x = r49
360 98
#
#. 229

6 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie
23 Même raisonnement qu’à l’exercice 22.
x = r1
360
00
218
#
#. 250
24 Les mesures des arcs sont proportionnelles à
celles des angles au centre.
Mesure de l’angle au
centre en degrés 360 130
Mesure de l’arc en cm 12 # r
On a donc 360 #  = 130 # 12 # r
d’où  = r
360
130 12##. 13,6 cm
25 Les aires sont proportionnelles aux angles au
centre.
Mesure de l’angle
au centre en degrés 360 80
Aire en cm272 # r
On a donc 360 #  = 80 # 49 # r
d’où  = r
360
80 49##. 34,2 cm2
26 1.
Mesure de l’angle
au centre en degrés 360 x
Longueur de l’arc
en cm 2 # 4 # r15
On a donc 8 # r # x = 360 # 15
d’où x = rr8
360 15 756
#
#=. 215
2.
Mesure de l’angle
au centre en degrés 360 r
675
Aire en cm242 # r
On a donc 360 #  = r
675 # 16 # r
d’où 360
#  = 675 # 16
 = 360
675 16
# = 30 cm2
5
Faire le point en classe (solutions)
27 À l’échelle 7 les nouvelles dimensions sont
49 cm ; 56 cm et 70 cm.
28 32 ' 4 = 8 .
À l’échelle un quart, chaque côté mesure 8 cm.
29 Pour obtenir les dimensions  nales, on multiplie
les dimensions par 0,8 (4 ' 5). On obtient 8 cm ;
4 cm et 5,6 cm.
30 • vert et bleu : facteur d’agrandissement ou de
réduction 2.
• orange et rouge : facteur d’agrandissement ou de
réduction 1,5.
31 1 km = 100 000 cm .
Le rectangle de dimensions 15 cm sur 9 cm est une
réduction du rectangle de dimensions 15 km sur
9 km à l’échelle 100 000
1.
32 1. Si on coupe deux côtés d’un triangle par
une droite parallèle au troisième côté, on obtient
deux triangles dont les longueurs des côtés sont
proportionnelles.
BA
BD
BC
BE
AC
DE
== .
2. Un facteur de réduction est BA
BD
8
6
4
3
== ou
0,75.
33 Paul a raison, un facteur de réduction est égal
au quotient de la longueur du petit côté par celle du
grand côté.
34 Jane a raison, dans une réduction la mesure des
angles et la nature des polygones sont conservées.
35
AB
45°
CD
4,2 cm
8,4 cm
36 1. P = 2 # r # r
On obtient le périmètre d’un cercle en multipliant
son rayon par le nombre  xe 2 # r , donc le péri-
mètre est proportionnel au rayon.
2.  = r # r # r
Pour obtenir l’aire d’un disque, on multiplie son
rayon par le nombre r # r qui n’est pas  xe,
donc l’aire d’un disque n’est pas proportionnelle au
rayon.