thibault

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Densité des N-uplets
pythagoriciens
Yohan Thibault
Avec la collaboration de :
Yukiko Kenmochi, Akihiro Sugimoto et Bertrand Nouvel
Le théorème de Pythagore
Théorème : Dans un triangle rectangle, le carré de
l‘hypoténuse est égal à la somme des carrés des
longueurs des deux autres côtés.
Tout triplet de nombre réels {a,b,c} forme un triangle rectangle si
Il y a une infinité de solutions réelles.
Les triplets pythagoriciens
Définition : Trois entiers
tels que
Le nombre de triplets pythagoriciens est infini
On peut représenter les triplets sous deux formes différentes :
Les angles pythagoriciens
Définition : Un angle est
pythagoricien si son
sinus et son cosinus
sont rationnels.
Pour chaque triplet
pythagoricien il existe un
unique angle pythagoricien
associé.
Densité
Définition : Un ensemble S est dense sur ,
si pour toute paire d’éléments
de ,
avec
, il existe un élément de S
tel que
.
Théorème : L’ensemble des angles
pythagoriciens est dense.
Preuve de la densité (600 av JC)
Théorème : Pour toute paire d’angles pythagoriciens
………...., il existe un angle pythagoricien
tel
que
.
Lemme 1: Soit
pythagoriciens.
pythagoricien.
deux angles
est un angle
Lemme 2: Pour tout
pythagoricien, il existe
……… pythagoricien tel que
.
Preuve de la densité (suite)
Lemme 1: Soit
pythagoriciens.
pythagoricien.
Du fait que
on déduit que
deux angles
est un angle
sont rationnels,
est rationnel.
Preuve de la densité (suite)
Lemme 2: Pour tout
pythagoricien, il existe
……… pythagoricien tel que
.
Il existe une infinité de triplets pythagoriciens de la forme
Quand
,
On peut donc trouver
. Donc
.
.
Preuve de la densité (suite)
Théorème : Pour toute paire d’angles pythagoriciens
………...., il existe un angle pythagoricien
tel
que
.
Grace au lemme 1 :
est pythagoricien.
Grace au lemme 2 : il existe
.
Grace au lemme 1, on pose :
.
Les vecteurs pythagoriciens
Définition : Un 2D vecteur est
pythagoricien si ses coordonnées et
sa norme Euclidienne sont entières.
Pour chaque triplet pythagoricien il existe
un unique vecteur pythagoricien associé
Pour chaque vecteur pythagoricien il
existe un angle pythagoricien associé. (la
réciproque est presque vraie).
Densité des vecteurs
Définition : Un sous-ensemble S d’un espace
vectoriel E est dense dans E si pour toute
paire d’éléments
de E il existe un
élément de S tels que :
où
sont une paire de scalaires positifs.
Théorème : L’ensemble des vecteurs pythagoriciens est dense.
Ce résultat est la base des résultat en dimension supérieure.
Objectifs
Prouver la densité de l’ensembles des vecteurs
pythagoriciens en 3D, puis dans l’espace à
N-dimensions.
Les quadruplets pythagoriciens
Définition : Quatre entiers
que
.
Le nombre des
quadruplets
pythagoriciens est infini
On peut représenter les
quadruplets sous deux
formes :
tels
Les angles « pythagoriciens » en
3D
Un quadruplet pythagoricien correspond à une paire
d’angles.
Les sinus et cosinus de ces angles ne sont pas
rationnels (ou rarement).
Conséquence : Ils ne sont donc pas désignés
pour travailler dans le domaine discret.
Les vecteurs pythagoriciens dans
l’espace
Définition : Un vecteur est
pythagoricien si ses coordonnées et
sa norme Euclidienne sont entières.
Pour chaque quadruplet pythagoricien
il existe un unique vecteur associé.
Théorème (Thibault 08) : L’ensemble
des vecteurs pythagoriciens est dense
dans l’espace.
Densité en dimension n
Définition : Un sous-ensemble S d’n espace
vectoriel E est dense dans E si pour tout sous
ensemble d’éléments
de E il existe
au moins un élément
de S tels que :
Où
sont des scalaires positifs.
Preuve de la densité des vecteurs 3D
Définition : Un sous
ensemble C d’un espace
vectoriel est un cône
convexe si ax+by appartient
à C pour tout scalaire positif
a,b et tout éléments x,y de
C.
On définit un cône convexe
par trois vecteurs
pythagoriciens quelconques
(mais linéairement
indépendants).
Preuve de la densité des vecteurs 3D
1. On projette les trois
vecteurs dans le plan
OXY.
2. Par construction au
moins une paires de
vecteurs projetés est
linéairement
indépendante.
3. Cette paire forme un
cône convexe en 2D.
Preuve de la densité des vecteurs 3D
4. Les vecteurs
pythagoriciens 2D
sont denses donc il
existe donc un
vecteur dans le cône
convexe
5. On définit un plan P
passant par l’origine
et ayant pour vecteurs
directeur OZ et le
vecteur crée
Preuve de la densité des vecteurs 3D
6. On cherche
l’intersection entre P et
le cône convexe 3D
7. Cette intersection est
un cône convexe 2D.
8. Dans ce cône on
cherche un autre
vecteur pythagoricien.
9. On construit le vecteur
pythagoricien 3D final.
Preuve de la densité des vecteurs 3D
Remarque : Si
est un triplet pythagoricien,
………………....est aussi un triplet pythagoricien avec k dans N
Construction du vecteur final
Deux vecteurs :
et
.
On cherche k et l tel que :
.
Les quatre entiers
forment un quadruplet
pythagoricien dont le vecteur est dans le cône.
Les n-uplets pythagoriciens
Définition : n entiers
tels que
Le nombre de n-uplets pythagoriciens est infini
La représentation consistante dans l’espace
discret est la forme vectorielle.
Les vecteurs pythagoriciens dans
l’espace à n-1 dimension
Définition : Un vecteur est pythagoricien si ses
coordonnées et sa norme Euclidienne sont
entières.
Pour chaque n-uplet pythagoricien il existe un
unique vecteur pythagoricien associé
Théorème (Thibault 08): L’ensemble des vecteurs
pythagoriciens est dense dans l’espace.
Preuve de la densité des vecteurs
pythagoricien (n-1)D
• Prérequis : en dimension
n-2 l’ensemble des vecteurs
pythagoriciens est dense.
1. On définit un cône convexe
par n-1 vecteurs
pythagoriciens quelconque
(mais linéairement
indépendant).
2. On les projettes dans un
hyperplan HP.
Preuve de la densité des vecteurs
pythagoricien (n-1)D
3. Comme les n-1 vecteurs
sont linéairement
indépendants, il existe au
moins un sous ensemble
de n-2 vecteurs dont leur
projection est
linéairement
indépendante dans HP
4. Ce sous-ensemble forme
un cône convexe n-2D
dans HP.
Preuve de la densité des vecteurs
pythagoricien (n-1)D
5. Les vecteurs en n-2D
sont denses donc il
existe un vecteur dans
le cône convexe 2D.
6. On définit un plan P
passant par l’origine
et ayant pour vecteurs
directeur l’axe de
projection et le
vecteur créé.
Preuve de la densité des vecteurs
pythagoricien (n-1)D
7. On cherche
l’intersection entre P et
le cône d’origine.
8. Cette intersection est un
cône convexe 2D.
9. Dans ce cône on
cherche un vecteur
pythagoricien 2D.
10. On construit le vecteur
pythagoricien (n-1)D
final.
Preuve densité des vecteurs n-1D
Remarque : Si
………………....
avec k dans N
est un n-uplet pythagoricien,
est aussi un n-uplet pythagoricien
Construction du vecteur final
Deux vecteurs :
et
.
On cherche k et l tel que :
.
Les quatre entiers
forment un
quadruplet pythagoricien dont le vecteur est dans le cône.
Les n-uplets pythagoiciens forts
• La projection d’un vecteur pythagoricien
dans une dimension inférieur ne donne pas
un vecteur pythagoricien.
• Il existe des vecteurs pythagoriciens qui
« résistent » à la projection.
• Un vecteur pythagoricien à n-1 dimensions
est fort s’il existe j dans
tel que :
Utilité des vecteurs
pythagoriciens
• Leur densité permet d’approximer avec des
entiers tous les vecteurs de l’espace.
• Ils permettent de faire toutes les rotations
possibles dans l’espace de la même manière
que les angles charnières.
Perspective : Approximer en nD un vecteur
quelconque par un vecteur pythagoricien.
Merci de votre attention.
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