DM 3 Exercice 1 : 1°) Avec des carrés… a

DM 3 3ème
Exercice 1 :
1°) Avec des carrés…
a- Vérifier que chacun des nombres suivants est le carré d’un
nombre entier n :
2 × 4 + 1 5 × 7 + 1 7 × 9 + 1 9 × 11 + 1
Si on note n un entier, alors n + 1 est l’entier qui le suit et n – 1 est
l’entier qui le précède.
b- Ecrire en fonction de n l'expression générale correspondant aux
calculs de la question 1-a. Développer et réduire cette expression.
Quelle formule générale vient-on d’établir ?
2°) Avec des cubes…
a- Vérifier que chacun des nombres suivants est le cube d’un
nombre entier n :
1 × 2 × 3 + 2 2 × 3 × 4 + 3 4 × 5 × 6 + 5 9 × 10 × 11 + 10
b- En notant n – 1, n et n + 1, trois nombres entiers consécutifs
quelconques, démontrer la formule qui généralise les résultats
obtenus à la question 2-a.
3°) Expliquer comment on peut déduire directement la formule
démontrée dans la question 2 à partir de la formule établie dans la
question 1.
Exercice 2 :
On appelle triplet pythagoricien la donnée de trois nombres
entiers positifs p, q et r tels que : p2 + q2 = r2
1°) Vérifier que les triplets (p ; q ; r) suivants sont pythagoriciens :
(3 ; 4 ; 5) (5 ; 12 ; 13) (15 ; 8 ; 17) (12 ; 16 ; 20)
2°) Vérifier que le triplet (a2 – b2 ; 2ab ; a2 + b2) est pythagoricien
quels que soient deux entiers a et b tels que 0 < b < a.
3°) En utilisant des valeurs de a et de b à préciser, proposer deux
exemples de triplets pythagoriciens.
DM 3 3ème
Exercice 1 :
1°) Avec des carrés…
a- Vérifier que chacun des nombres suivants est le carré d’un
nombre entier n :
2 × 4 + 1 5 × 7 + 1 7 × 9 + 1 9 × 11 + 1
Si on note n un entier, alors n + 1 est l’entier qui le suit et n – 1 est
l’entier qui le précède.
b- Ecrire en fonction de n l'expression générale correspondant aux
calculs de la question 1-a. Développer et réduire cette expression.
Quelle formule générale vient-on d’établir ?
2°) Avec des cubes…
a- Vérifier que chacun des nombres suivants est le cube d’un
nombre entier n :
1 × 2 × 3 + 2 2 × 3 × 4 + 3 4 × 5 × 6 + 5 9 × 10 × 11 + 10
b- En notant n – 1, n et n + 1, trois nombres entiers consécutifs
quelconques, démontrer la formule qui généralise les résultats
obtenus à la question 2-a.
3°) Expliquer comment on peut déduire directement la formule
démontrée dans la question 2 à partir de la formule établie dans la
question 1.
Exercice 2 :
On appelle triplet pythagoricien la donnée de trois nombres
entiers positifs p, q et r tels que : p2 + q2 = r2
1°) Vérifier que les triplets (p ; q ; r) suivants sont pythagoriciens :
(3 ; 4 ; 5) (5 ; 12 ; 13) (15 ; 8 ; 17) (12 ; 16 ; 20)
2°) Vérifier que le triplet (a2 – b2 ; 2ab ; a2 + b2) est pythagoricien
quels que soient deux entiers a et b tels que 0 < b < a.
3°) En utilisant des valeurs de a et de b à préciser, proposer deux
exemples de triplets pythagoriciens.