t - Culture Sciences Physique

L’ESPACE à 3 DIMENSIONS
longitude
altitude
latitude
z
i
d
O
x
Aucune des 3 dimensions n’est absolue. La seule quantité absolue est la distance,
dont le carré vaut
d2 = x2 + y2 + z2 (théorème de Pythagore généralisé)
F
y
Notre espace-temps à 4 dimensions
Les points de l’espace-temps sont les événements.
t
l’accident
s’est
passé à :
t = 1h 26
y = 2,5 km
x = … km
z = … km
y
x
2,5
km
Le temps est-il universel ?
(une question qui tracassait Einstein)
Rendez-vous pour sauter à
longitude = 35° Est,
latitude = 26° Nord,
altitude = 5400 mètres
Ah oui, j’oubliais la
4ème coordonnée :
demain à t = 13h 30
Oui, mais à
quelle heure?
Heure de Sydney,
Rio ou Lyon ?
L’heure GMT. Réglons
maintenant nos montres
à l’heure GMT.
Qui dit qu’elles
tourneront à la
même vitesse ?
Espace R2 : Plan d’un quartier
y
x
Rotation des axes
y
y’
x’
x
Formules de rotation
y’
y
x’
Pour l’exemple
simple précédent
(rotation de 45°) :
x’ =
y’ =
y+x
45°
x
2
S’= S
y-x
2
S
mélange x et y
Transformation de Lorentz
(« pseudo-rotation » des axes d’espace-temps )
observateur immobile
x’
g
t’
g
t
observateur en mouvement
t’
= x-vt
S’= S
= t-vx
S
mélange t et x
g=
x’
dilatation
du temps
1
2
1- v
= facteur de dilatation
du temps
x
contraction des longueurs
transformation « de Galilée »
observateur immobile
t’ = t
t
x’ = x - v t
observateur en mouvement
vt
t’ = t
- Pas de mélange t et x
dans la 2ème équation
- temps universel
x’
x
à chacun son quadri-repère
Chaque observateur voyage avec son référentiel, qui donne la direction de l’axe des temps.
Dans ce référentiel il utilise un tri-repère (axes x, y, z).
Référentiel + tri-repère = quadri-repère.
On change de référentiel par transformations de Lorentz.
y
z
y
z
z
x
z
x
t
x
x
t
y
t
y
La « monnaie unique » distance-temps
Le temps se mélange avec les distances.
Ce n’est plus une dimension à part.
Il faut mesurer x, y, z et t dans la même unité.
Le mètre ? la seconde ? Celui que vous voulez. L’important est de connaître
le « taux de change ». Il est tel que la vitesse de la lumière vaut 1 :
c = 300.000 km / seconde = 1
1 seconde = 300.000 km = 3 . 108 mètres
1 an = une année lumière
La lune est à 1 seconde et demie, le soleil à 8 minutes.
Le Concorde volait à environ v = 600 m/s = 2 . 10-6
La terre tourne autour du soleil à v = 29 km/s = 10-4
L’électron tourne autour du noyau à v = 1/100.
Un neutron « rapide » dans une centrale nucléaire est typiquement à v = 1/10.
Nous sommes des escargots sur le dos d’une tortue !
Équivalence masse-énergie
Une masse immobile
contient une énergie
E = mc2
Monsieur Einstein,
pourquoi ne dites-vous pas
«E=m»,
puisque c = 1 ?
Vous avez raison,
mais je n’osais pas
l’écrire comme çà.
J’avais déjà choqué
trop de gens…
- 1 gramme = 0,9 . 1014 joule
- 1 tonne de pétrole cède 4,7 . 10-4 gramme
- Le proton pèse 1,5 . 10-10 joule
Les distances en relativité
Rappel de la distance
entre deux points de R3 :
2
2
t
2
d x y z
Entre deux événements,
il y a trois cas possibles :
1er cas : d > |t|
Aucun voyageur, ni signal
ne peut aller de A en B.
A et B sont non-causaux entre eux.
Leur quadri-distance vaut
D
2
2
2
2
B
d t
2
2
 x y z t
Elle est indépendante
du référentiel.
A
x
le temps propre
t
2ème cas : d < |t|
Un voyageur ou un signal
peut aller de A en B
(mais pas l’inverse !)
Le temps vécu par le voyageur
(ou temps propre) vaut
T
2
B
2
t d
L’événement A peut
influencer l’événement B.
Il y a causalité de A vers B.
B est dans le futur de A.
A
x
Cas limite
3ème cas : d = |t|
t
t’
Seule la lumière, les
ondes gravitationnelles
et peut-être
certains neutrinos
peuvent aller de A en B.
D=T=0
B
Le photon n’a pas
le temps de respirer !
x’
A
x
marche ou court ?
Vous courez !
Non, je
marche !
Si, vous courez !
Qui a raison ?
le marcheur
l’arbitre
t
On est dans le cas a-causal :
d > |t|
t’
- Dans le référentiel de
l’arbitre, B a lieu à
t = + 0,4
donc après A.
- Dans le référentiel du
marcheur , B a lieu à
t’ = - 0,6
donc avant A.
t=+2
x’
B
A
x
On ne peut pas dire si
A est avant ou après B,
donc l’arbitre et le marcheur
ont tous les deux raison.
décollage du
pied arrière
t=0
atterrissage du
pied avant
fusée accélérée (1)
Une fusée
uniformément accélérée
décrit une hyperbole
dans l’espace-temps.
Pour une accélération
2007
2006
a = 10 m s-2 = 1 an-1,
elle atteint au bout d’un an
une vitesse moyennement
relativiste : v = 0,76
2005
1 année-lumière
2 année-lumière
fusée accélérée (2)
t’’
x’’
t’
x’
t
x
la fusée accélérée change continuellement de référentiel
A envoie un signal lumineux bleu à B.
Le temps que le signal arrive, la fusée
a pris encore de la vitesse.
La lumière arrive décalée vers le rouge
en A, à cause de l’effet Doppler.
fusée accélérée (3)
t
t’
x’
La fréquence lumineuse peut être assimilée
à la fréquence de rotation des électrons
autour du noyau atomique
(c’est le principe de l’horloge atomique).
B en conclut que électrons des atomes
tournent plus lentement en A qu’en B.
« le temps s’écoule moins vite »
en A qu’en B
A
B
x
À cause du principe d’équivalence,
on a le même effet dans un
champ de pesanteur
(expérience de Pound et Rebka).
C’est la base de la Relativité Générale.