p et q

Vers une interprétation
« concrète »
• Le système formel, que nous appellerons
calcul booléen, a reçu une interprétation
mathématique rigoureuse au moyen du
domaine D = {0, 1} et des opérations + et
 définies sur lui,
• Maintenant, « concrètement » quelle
signification donner à des variables qui ne
peuvent prendre pour valeurs que 0 ou 1?
Calcul propositionnel
• Une candidate à la signification qu’on peut
accorder à une variable booléenne est la
notion logique de proposition,
• Une proposition est une entité qui est soit
vraie (1) soit fausse (0)
• Le calcul propositionnel est donc une
« interprétation concrète » du calcul
booléen quand 1 est interprété comme
Vrai (v) et 0 comme Faux (f)
Remarque
• On ne parle pas ici d’ « interprétation » au sens
rigoureux du terme, c’est-à-dire au sens où on
pourrait calculer ce qui est vrai dans
l’interprétation pour connaître par avance ce
qu’on peut démontrer comme théorème dans le
système,
• En effet les seules « vérités » de la logique nous
sont accessibles par l’intuition… qui n’est pas
un calcul à proprement parler, ou alors il faudrait
tabler sur une méthode de calcul… que nous ne
possédons pas encore (puisque nous sommes
en train de l’élaborer!)
suite
• Le calcul propositionnel est donc une
algèbre de Boole où les variables,
appelées variables propositionnelles,
représentent des propositions, c’est-àdire des entités ayant pour valeurs
possibles: le vrai (v) ou le faux (f)
• Les opérations booléennes déjà
introduites s’interprètent aisément
connecteurs
• Dans le cas du calcul propositionnel (dorénavant CP),
les opérations booléennes sont interprétées comme des
connecteurs,
• Un connecteur binaire est une manière de composer
deux propositions pour en obtenir une troisième,
• Un connecteur unaire est une manière d’obtenir une
autre proposition à partir d’une proposition donnée
• On peut ainsi définir « récursivement » ce qu’on entend
par une proposition (au sens général):
– Une variable propositionnelle est une proposition,
– Si P et Q sont des propositions et si © est un connecteur binaire,
alors P © Q est une proposition
– Si P est une proposition et si ® est un connecteur unaire, alors
®P est une proposition
Remarque
• Cette dernière « définition » pourrait laisser croire qu’il
n’y a que des connecteur unaires et binaires. Il n’en est
rien, on peut concevoir des connecteurs n-aires pour n
quelconque: ce sont des manières d’obtenir une
proposition à partir de n propositions,
• Exemple: « si… alors… sinon…» est un connecteur
ternaire,
• Cette définition présuppose en réalité un résultat qui ne
peut être établi que plus tardivement, selon lequel toutes
les propositions (y compris celles obtenues au moyen de
connecteurs n-aires arbitraires) peuvent s’écrire au
moyen uniquement de connecteurs unaires et binaires.
Conjonction et disjonction
• Deux connecteurs
évidents
correspondent aux
opérateurs  et  du
calcul booléen, ils
permettent de définir
les propositions pq
et pq, dont les
valeurs de vérité sont
calculées au moyen
des tables:
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
pq
v
v
v
f
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
pq
v
f
f
f
suite
• Ainsi, pq est vrai si et seulement si l’un
des deux (ou les deux) de p et de q est
vrai
• pq est vrai si et seulement si p et q sont
vrais simultanément
• D’où la lecture qu’on donne à ces
symboles
pq : p ou q
pq : p et q
négation
• De même, on peut définir la proposition p:
p
v
f
p
f
v
• Qui, bien sûr, s’interprète comme la négation de
p:
p : non-p
extensionnalité
• Les exemples précédents montrent qu’une nouvelle proposition est
construite à partir de deux propositions p et q en déterminant quelle
est sa valeur de vérité pour chaque situation concernant les
valeurs de vérité de p et q,
• Il y a 4 situations possibles: (v,v), (v, f), (f, v), (f, f)
• Il y a donc autant de propositions obtenues à partir de p et q (donc
autant de connecteurs binaires) qu’il y a de fonctions associant v ou
f à chacune de ces situations
• Ces fonctions sont appelées fonctions de vérité, elles sont
représentées par des tables: tables de vérité.
• Comme nous n’avons pas de moyens de distinguer deux
propositions hormis par les valeurs de vérité qu’elles prennent dans
les mêmes situations, nous sommes amenés à identifier une
proposition avec sa fonction de vérité: c’est ce qu’on appelle le
principe d’extensionnalité.
suite
• De ce qui précède, on déduit qu’on peut
facilement procéder au recensement de
toutes les propositions composées à partir
de deux propositions,
• Effectuer ce recensement…
• Idem pour les propositions obtenues à
partir d’une seule proposition
suite
• Une autre manière de « découvrir » des
connecteurs consiste à combiner entre eux ceux
que nous connaissons déjà…
• Ainsi, il est bien connu que… dire « qu’il n’y a
pas de fumée sans feu » revient à dire que « s’il
y a de la fumée (quelque part) alors il y a du feu
(pas loin!) »
• D’où l’idée de définir un connecteur
correspondant à « si… alors… », noté ,
par:
p  q =def (pq)
implication
• Il est facile d’en
déduire la table de
vérité de ce
connecteur:
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
pq
v
f
v
v
suite
• Bien noter que p  q n’est faux que si p
est vrai et que q est faux
• En particulier, p  q est vrai lorsque p est
faux,
• p  q est vrai également lorsque q est
vrai,
• Vérifier qu’on aurait pu tout aussi bien
définir p  q par : pq
Remarque
• Dans l’expression p  q, on dit souvent que p est la condition
suffisante de q, ou que q est la condition nécessaire de p,
• En français, la condition suffisante s’exprime généralement par un
« si », exemple: « si la température dépasse 37°2 (p) alors le patient
est malade (q)»,
• La condition nécessaire s’exprime généralement par « seulement
si» ou « que si », exemple: « le patient n’est malade (q) que si sa
température dépasse 37°2 (p)»
• Dans le premier cas, la proposition p : « la température dépasse
37°2 » est condition suffisante (de la maladie, c’est-à-dire q), dans le
deuxième cas, elle est condition nécessaire, donc dans le premier
cas, on a p q, et dans le second, on a q p,
• Bien sûr, le connecteur  n’est pas symétrique (p q  q p), c’est
tout l’intérêt de sa table de vérité!
Autres connecteurs
• Fabriquer les tables de vérité des
connecteurs obtenus des manières
suivantes:
• PQ =def (PQ)(Q P)
• PWQ =def (PQ) (PQ)
• P|Q =def P Q
• Leur donner des interprétations intuitives
Le langage propositionnel
• Nous avons désormais un stock de symboles utilisés:
– Les variables propositionnelles,
– Les connecteurs :, , , , , W
– Des signes de ponctuation (les parenthèses)
• Nous pouvons les utiliser pour définir un langage: le
langage de la logique propositionnelle LP
• Définition:
– Toute variable propositionnelle est une expression de ce
langage,
– Si P est une expression de ce langage, alors P l’est aussi
– Si P et Q sont deux expressions de ce langage, alors (P Q),
(PQ),(P Q), (PQ), (PWQ) le sont aussi,
– Rien d’autre n’est une expression de ce langage hormis par les
trois clauses précédentes.
Remarque
• Cette définition est sensiblement différente de
celle de la diapo n°5
– Dans cette dernière, on définissait les propositions,
comme entités définissables au moyen d’opérateurs
définis en termes de valeurs de vérité,
– Ici, on définit seulement des expressions
linguistiques, indépendamment de leur signification
(c’est-à-dire de leur table de vérité), ce qui suppose
qu’ensuite, on ait une procédure pour leur donner une
signification.
Théorème fondamental
• Soit P={p1, p2, …, pn} un ensemble de variables
propositionnelles et soit L(P) l’ensemble des
expressions linguistiques qui ne contiennent que
les variables incluses dans P,
– Pour toute assignation  de valeurs de vérité à p1, p2,
…, pn il existe une et une seule fonction val de L(P)
dans {0, 1} qui coïncide avec  sur P et qui soit telle
que, pour toutes expressions a et b dans L(P)
•
•
•
•
•
val(ab) = 1 si et seulement si val(a) = val(b) = 1
val (ab) = 0 si et seulement si val(a) = val(b) = 0
val (ab) = 0 si et seulement si val(a) = 1 et val(b) = 0
val (ab) = 1 si et seulement si val(a) = val(b)
val (a) = 1 si et seulement si val(a) = 0
Remarque
• Ce théorème ne fait que dire ce que nous
savons déjà intuitivement, à savoir qu’à toute
expression linguistique représentant une
proposition, on peut associer une (et une seule)
table de vérité,
• Néanmoins, au lieu d’être une simple intuition,
c’est un théorème… autrement dit, il se
démontre. Pour ce faire, nous avons besoin
d’outils qu’on verra plus loin dans la suite du
cours (récurrence sur la structure de
l’expression).
Cas particuliers, tautologies et
contradictions
• Parmi les expressions de L(P), il en est
qui, pour toute assignation de valeurs de
vérité aux variables, donnent toujours
comme valeur: 1 (ou v).
• On les appelle: des tautologies
• Il en est d’autres qui donnent toujours
comme valeur: 0 (ou f).
• On les appelle: des contradictions
Exemples
• Voici quelques tautologies (les vérifier!)
( P  Q )  (P  Q )
( P  Q )  P  Q
( P  (Q  P ))
( P  ( P  Q ))
P  P
(( P  P )  P )
((( P  Q )  P )  Q )
(( P  Q )  ( R  P ))
(( P  Q )  ( P  Q ))
(( P  Q )  ((Q  R )  ( P  R )))
suite
• Voici quelques contradictions
P  P
(P  ( P  Q ))
( P  ( P  Q ))
constantes
Parmi les connecteurs n-aires… il y a aussi le
cas où n = 0, donc le cas des connecteurs 0aires.
Une proposition formée au moyen d’un
connecteur 0-aire est une proposition qui ne
contient aucune variable propositionnelle,
donc… ou bien elle est toujours vraie, ou bien
elle est toujours fausse .
Notons V la première et F la deuxième.
Ce sont bien sûr les traductions des constantes
booléennes 1 et 0.
Equivalences tautologiques
• Une expression P est dite tautologiquement
équivalente à une expression Q si et seulement
si elles ont exactement la même table de vérité,
PQ
• Attention: le signe «  » n’appartient pas au
langage objet, ce n’est pas un connecteur,
c’est un méta-symbole car il permet de poser un
jugement concernant deux expressions du
langage objet (et non de construire une
expression du langage objet).
Exemples
• Vérifier que les
expressions suivantes
sont tautologiquement
équivalentes entre
elles:
( P  Q) et (P  Q)
(( P  Q)  P) et (( P  Q)  Q)
(( P  Q)  Q) et ( P  Q)
( P  (Q  R)) et (( P  Q)  R)
( P  (Q  R)) et (( P  Q)  ( P  R))
( P  Q) et (Q  P)
Remarque
• Si on s’en tient au principe
d’extensionalité, on doit distinguer une
proposition (associée à une fonction de
vérité) d’une de ses possibles expressions
linguistiques, deux expressions
distinctes tautologiquement équivalentes
sont deux expressions linguistiques
différentes de la même proposition.
Remarque
• Si P est une tautologie, on peut écrire:
PV
• De même, si P est une contradiction, on
peut écrire:
PF
• Noter que:
( P  F )  P
( V  P)  P
un peu de terminologie
• Comment s’expriment en logique
propositionnelle:
– Les lois de De Morgan?
– Les lois d’absorption?
– Les lois de distributivité?
– Les lois d’associativité et de commutativité?
– La loi de double négation?
• Noter que:
(Q  P ) est appelée la contraposée de ( P  Q )