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Calcul propositionnel
Logique - 1
Vers une interprétation
« concrète »
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Le système formel, que nous appellerons
calcul booléen, a reçu une interprétation
mathématique rigoureuse au moyen du
domaine D = {0, 1} et des opérations + et 
définies sur lui,
Maintenant, « concrètement » quelle
signification donner à des variables qui ne
peuvent prendre pour valeurs que 0 ou 1?
Calcul propositionnel
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Une candidate à la signification qu’on peut
accorder à une variable booléenne est la
notion logique de proposition,
Une proposition est une entité qui est soit
vraie (1) soit fausse (0)
Le calcul propositionnel est donc une
« interprétation concrète » du calcul booléen
quand 1 est interprété comme Vrai (v) et 0
comme Faux (f)
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Le calcul propositionnel est donc une algèbre
de Boole où les variables, appelées variables
propositionnelles, représentent des
propositions, c’est-à-dire des entités ayant
pour valeurs possibles: le vrai (v) ou le faux
(f)
Les expressions booléennes contenant de
telles variables s’interprètent aisément
Des expressions booléennes aux
formules de logique propositionnelle
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Il est d’usage de noter p, q, r, … les variables
propositionnelles,
Il est d’usage aussi de noter  ce qu’on avait
noté +,  pour ,  pour ~
Ces symboles sont appelés des
connecteurs
Conjonction et disjonction
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Ainsi les connecteurs 
et  permettent de
définir les propositions
pq et pq, dont les
valeurs de vérité sont
calculées au moyen
des tables suivantes :
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
pq
v
v
v
f
p
v
v
f
f
q
v
f
v
f
pq
v
f
f
f
suite
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Ainsi, pq est vrai si et seulement si l’un des
deux (ou les deux) de p et de q est vrai
pq est vrai si et seulement si p et q sont
vrais simultanément
D’où la lecture qu’on donne à ces symboles
pq : p ou q
pq : p et q
négation
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De même, on peut définir la proposition p:
p
v
f
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p
f
v
Qui, bien sûr, s’interprète comme la négation de p:
p : non-p
extensionnalité
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Les exemples précédents montrent qu’une nouvelle proposition est
construite à partir de deux propositions p et q en déterminant quelle
est sa valeur de vérité pour chaque situation concernant les valeurs
de vérité de p et q,
Il y a 4 situations possibles: (v,v), (v, f), (f, v), (f, f)
Il y a donc autant de propositions obtenues à partir de p et q (donc
autant de connecteurs binaires) qu’il y a de fonctions associant v ou f
à chacune de ces situations
Ces fonctions sont appelées fonctions de vérité, elles sont
représentées par des tables: tables de vérité.
Comme nous n’avons pas de moyens de distinguer deux propositions
hormis par les valeurs de vérité qu’elles prennent dans les mêmes
situations, nous sommes amenés à identifier une proposition avec sa
fonction de vérité: c’est ce qu’on appelle le principe
d’extensionnalité.
Exercice
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De ce qui précède, on déduit qu’on peut
facilement procéder au recensement de
toutes les propositions composées à partir
de deux propositions,
Effectuer ce recensement…
Idem pour les propositions obtenues à partir
d’une seule proposition
Définition de l’implication
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Une autre manière de « découvrir » des connecteurs
consiste à combiner entre eux ceux que nous
connaissons déjà…
Ainsi, il est bien connu que… dire « qu’il n’y a pas de
fumée sans feu » revient à dire que « s’il y a de la
fumée (quelque part) alors il y a du feu (pas loin!) »
D’où l’idée de définir un connecteur correspondant à
« si… alors… », noté ,
par:
p  q =def (pq)
implication
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Il est facile d’en déduire
la table de vérité de ce
connecteur:
p q pq
v v v
v f f
f
f
v
f
v
v
suite
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Bien noter que p  q n’est faux que si p
est vrai et que q est faux
En particulier, p  q est vrai lorsque p est
faux,
p  q est vrai également lorsque q est vrai,
Vérifier qu’on aurait pu tout aussi bien définir
p  q par : pq
Remarque
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Dans l’expression p  q, on dit souvent que p est la condition
suffisante de q, ou que q est la condition nécessaire de p,
En français, la condition suffisante s’exprime généralement par un «
si », exemple: « si la température dépasse 37°2 (p) alors le patient est
malade (q)»,
La condition nécessaire s’exprime généralement par « seulement si»
ou « que si », exemple: « le patient n’est malade (q) que si sa
température dépasse 37°2 (p)»
Dans le premier cas, la proposition p : « la température dépasse 37°2
» est condition suffisante (de la maladie, c’est-à-dire q), dans le
deuxième cas, elle est condition nécessaire, donc dans le premier cas,
on a p q, et dans le second, on a q p,
Bien sûr, le connecteur  n’est pas symétrique (p q  q p), c’est
tout l’intérêt de sa table de vérité!
Autres connecteurs
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Fabriquer les tables de vérité des
connecteurs obtenus des manières
suivantes:
PQ =def (PQ)(Q P)
PWQ =def (PQ) (PQ)
P|Q =def P Q
Leur donner des interprétations intuitives
Le langage propositionnel
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Nous avons désormais un stock de symboles utilisés:
–
–
–
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Les variables propositionnelles,
Les connecteurs :, , , , , W
Des signes de ponctuation (les parenthèses)
Nous pouvons les utiliser pour définir un langage: le langage
de la logique propositionnelle LP
Définition:
–
–
–
–
Toute variable propositionnelle est une expression de ce langage,
Si P est une expression de ce langage, alors P l’est aussi
Si P et Q sont deux expressions de ce langage, alors (P Q),
(PQ),(P Q), (PQ), (PWQ) le sont aussi,
Rien d’autre n’est une expression de ce langage hormis par les
trois clauses précédentes.
Théorème fondamental
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Soit P={p1, p2, …, pn} un ensemble de variables
propositionnelles et soit L(P) l’ensemble des
expressions linguistiques qui ne contiennent que les
variables incluses dans P,
–
Pour toute assignation  de valeurs de vérité à p1, p2, …, pn
il existe une et une seule fonction val de L(P) dans {0, 1}
qui coïncide avec  sur P et qui soit telle que, pour toutes
expressions a et b dans L(P)
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val(ab) = 1 si et seulement si val(a) = val(b) = 1
val (ab) = 0 si et seulement si val(a) = val(b) = 0
val (ab) = 0 si et seulement si val(a) = 1 et val(b) = 0
val (ab) = 1 si et seulement si val(a) = val(b)
val (a) = 1 si et seulement si val(a) = 0
Remarque
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Ce théorème ne fait que dire ce que nous savons
déjà intuitivement, à savoir qu’à toute expression
représentant une proposition, on peut associer une
(et une seule) table de vérité,
Néanmoins, au lieu d’être une simple intuition, c’est
un théorème… autrement dit, il se démontre. Pour
ce faire, nous avons besoin d’outils qu’on verra plus
loin dans la suite du cours (récurrence sur la
structure de l’expression).
Cas particuliers, tautologies et
contradictions
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Parmi les expressions de L(P), il en est qui,
pour toute assignation de valeurs de vérité
aux variables, donnent toujours comme
valeur: 1 (ou v).
On les appelle: des tautologies
Il en est d’autres qui donnent toujours
comme valeur: 0 (ou f).
On les appelle: des contradictions
Exemples
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Voici quelques tautologies (les vérifier!)
( P  Q )  (P  Q )
( P  Q )  P  Q
( P  (Q  P ))
( P  ( P  Q ))
(( P  P )  P )
P  P
((( P  Q )  P )  Q )
(( P  Q )  ( R  P ))
(( P  Q )  ( P  Q ))
(( P  Q )  ((Q  R )  ( P  R )))
suite
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Voici quelques contradictions
P  P
(P  ( P  Q ))
( P  ( P  Q ))
constantes
Parmi les connecteurs n-aires… il y a aussi le cas où
n = 0, donc le cas des connecteurs 0-aires.
Une proposition formée au moyen d’un connecteur
0-aire est une proposition qui ne contient aucune
variable propositionnelle, donc… ou bien elle est
toujours vraie, ou bien elle est toujours fausse .
Notons V la première et F la deuxième.
Ce sont bien sûr les traductions des constantes
booléennes 1 et 0.
Equivalences tautologiques
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Une expression P est dite tautologiquement
équivalente à une expression Q si et seulement si
elles ont exactement la même table de vérité,
PQ
Attention: le signe «  » n’appartient pas au langage
objet, ce n’est pas un connecteur, c’est un métasymbole car il permet de poser un jugement
concernant deux expressions du langage objet (et
non de construire une expression du langage objet).
Exemples
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Vérifier que les expressions suivantes sont
tautologiquement équivalentes entre elles:
( P  Q) et (P  Q)
(( P  Q)  P) et (( P  Q)  Q)
(( P  Q)  Q) et ( P  Q)
( P  (Q  R)) et (( P  Q)  R)
( P  (Q  R)) et (( P  Q)  ( P  R))
( P  Q) et (Q  P)
Remarque
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Si on s’en tient au principe d’extensionalité,
on doit distinguer une proposition (associée
à une fonction de vérité) d’une de ses
possibles expressions linguistiques, deux
expressions distinctes tautologiquement
équivalentes sont deux expressions
linguistiques différentes de la même
proposition.
Remarque
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Si P est une tautologie, on peut écrire:
PV
De même, si P est une contradiction, on peut
écrire:
PF
Noter que:
( P  F )  P
( V  P)  P
un peu de terminologie
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Comment s’expriment en logique
propositionnelle:
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Les lois de De Morgan?
Les lois d’absorption?
Les lois de distributivité?
Les lois d’associativité et de commutativité?
La loi de double négation?
Noter que:
(Q  P ) est appelée la contraposée de ( P  Q )