cours 5

Application des équations primitives à
l’écoulement turbulent
•Méthodologie
•Équations qui décrivent l’écoulement d’un fluide
•Équations de l’écoulement turbulent
1
Équations qui gouvernent le mouvement
turbulent
• Identification des équations de la couche limite
• Approximations
– L ’air est un gaz parfait
– approximation de Boussinesq
– air sec
2
Équations qui gouvernent le mouvement
turbulent : méthodologie
• Identification des équations de la couche limite
(approximation de Boussinesq)
• Les contributions locale et d’advection de la
dérivée totale doivent être explicites
• Décomposition de Reynolds des variables
météorologiques apparaissant dans les équations
• Application de la moyenne de Reynolds à ces
équations
• Transformation, à l’aide de l’équation de
continuité, du terme contenant les fluctuations en
un terme de divergence de flux turbulent
3
Équations qui gouvernent le mouvement
d ’un fluide
p  Rd Tv
Équation d ’état :
Rd  287 J K kg
-1
1
Constante des gaz de l’air sec
Tv  T 1  0.61q 
Température virtuelle
mv
v
q

m  air
Humidité spécifique
5
Équations qui gouvernent le mouvement
d ’un fluide
Équation de continuité :
d
   u  0
dt
 
  u j

0
t
x j
u j
d

0
dt
x j
6
Équations qui gouvernent le mouvement
d ’un fluide
Conservation de la quantité de mouvement :
u
1

2
 u u  g 2  u  p   u      u 
t

3
II
IV
III
I
    2 24h  7, 27 105 rad s-1
VI
V
g  9,8 m s-2
    2 24h  7, 27 105 rad s-1
g  9,8 m s-2
  1, 461105 m-2 s-1
ui
ui
 2ui   u
1 p
 uj
  i 3 g 2 ijk  j uk 
 2 
t
xj
 xi
x j 3 x j x
III
I
IV
II
V
VI
7
Équations primitives
Équation de continuité pour
la substance eau :
mv
q
m
qT
qT
 2 q SqT
uj
 q 2 
t
x j
x j  air
Vapeur d ’eau
q    2,06 105 m-2 s-1
q
q
 2 q Sq
E
uj
 q 2 

t
x j
x j  air  air
mL
qL 
m
Eau liquide
qL
qL
uj

t
x j
SqL
E


air air
8
La première loi de la thermodynamique : conservation
de l’énergie
du   q  pd
 q  dh   dp
Pour un gaz parfait
 q  c p dT   dp
Dans le cas d ’un processus adiabatique
 p0 
 T  
 p
Rd
q  0
c pd
9
La première loi de la thermodynamique : conservation
de l’énergie
Rd T
 q  c p dT   dp  c p dT 
dp
p
 q dT Rd dp


c pd T
T c pd p
Rd
+
 p0  c pd
 T  
 p
d dT Rd dp



T c pd p
d  1 dq 

 S
dt T c pd dt T
10
La première loi de la thermodynamique : conservation
de l’énergie
d
 S
dt
 condensation   solidification    condensation solide 
S  



-evaporation

fonte
sublimation

 
 

 convergence des flux radiatifs   dissipation d'énergie cinétique 



divergence
des
flux
radiatifs
par
le
mouvement
moléculare

 

 dissipation de chaleur 


par
diffusion
moléculaire


Lp E

1
2
*
 u       
Q 

t
cp
 c p VI
II

I

II
IV
V
11
Équations qui gouvernent le mouvement
d ’un fluide
Équation de conservation d ’énergie

1
LE
2
*
 u       
Q 

t
cp
 c p VI
II

I

II
IV
  2, 06 105 m-2 s-1
c p  c pd 1  0.84q 
V
 p0 
 T  
 p
R
cp
*

 LE

Q



1
j
uj
  2 


 
t
x j
x j  c p  x j   c p
2
12
Équations qui gouvernent le mouvement
d ’un fluide
Équation de continuité pour n ’importe
quelle quantité scalaire de concentration c:
c
 u c   c 2 c  Sc
t
q    2,06 105 m-2 s-1
c
c
 2c
uj
  c 2  Sc
t
x j
x j
13
Équations qui gouvernent le mouvement
de l ’air humide
On a 9 équations à 9 inconnues
p

u,v,w
vitesse

densité
pression
température potentielle
Tv
q
température virtuelle
quantité de vapeur d ’eau
par unité de masse
qL
quantité d ’eau condensée
par unité de masse
14
Notions à consolider
Moyenne – filtrage permettant de séparer les mouvements
lents (moyens) des mouvement rapides (turbulents)
Covariances entre une vitesse et une autre grandeur - flux
Variances de vitesse – énergie cinétique turbulente moyenne
Forces de surface – pression, contraintes de Reynolds,
contraintes visqueuses
Tenseur de contraintes de Reynolds – flux de quantité de mouvement
Turbulence homogène – uniformité spatiale
Turbulence isotrope – indépendance de la direction
Turbulence stationnaire – indépendance du temps
Échelles de la couche de surface
Équations primitives
15
Approximations
Dans un premier temps on considère les équations pour l ’air sec
ui
ui
 2ui   ui
1 p
 uj
  i 3 g  2 ijk  j uk 
 2 
t
xj
 xi
x j 3 x j xi
u j
d

0
dt
x j


 2
uj
  2  
t
x j
x j
7 équations et 7 inconnues
 p0 
 T  
 p
Rd
c pd
p   d Rd T
Le terme de divergence radiative est négligeable, puisque
on considère l ’air sec… (???)
16
Approximations :
approximation anélastique
– L ’état thermodynamique de
l ’atmosphère dans la couche limite
s ’écarte peu d ’un état de base qui est
hydrostatique et adiabatique
– Le nombre de Match (v/c) est petit,
c ’est-à-dire, les variations spatiales et
temporelles de la pression sont petites
devant la pression elle même
17
Approximations :
approximation de Boussinesq
– Approximation anélastique
+
– L ’échelle verticale des mouvements est
petite devant l ’épaisseur effective de
l ’atmosphère : hypothèse de convection
peu profonde (shallow water)
18
Approximation de Boussinesq
• La viscosité moléculaire,
=0 , est constante
• La conductivité thermique
moléculaire  =   est
constante.
• Le rapport |T1 / T0|<<1, où
T0 est la température de
l ’état de base
(adiabatique) et T1 est la
perturbation de cet état
de base (T1 = T - T0) .
• |1 / 0|<<1, où 0 est la
densité de l ’état de base
(adiabatique et
hydrostatique) et 1 est la
perturbation de cet état
de base (1 =  - 0).
• |p1 / p0|<<1, où p0 est la
pression de l ’état de base
(hydrostatique) et p1 est la
perturbation de cet état
de base (p1 = p - p0).
• La chaleur générée par les
contraintes visqueuses peut
être négligée dans
l’équation
thermodynamique.
• L’échelle verticale du
mouvement est petite par
rapport à l ’échelle
d’hauteur de l ’atmosphère.
19
Équations de Boussinesq
ui
ui 1
 2ui
1 p1
 uj
 g i 3  2 ijk  j uk 
 2
t
x j 0
0 xi
x j
u j
x j
0


 2
 uj
  2
t
x j
x j
p   d Rd T
 pref 
 T 

p


Rd
c pd
pref  1000 mb
20
Équations de Reynolds
ui
0
xi
ui
0
xi
ui
ui
1 p1 1

 uj

  i 3 g  2 ijk  j uk 
t
x j
0 xi  0
x j



  
 ui

 ui
 
t
xi xi  xi

p   0 Rd T
 pref 
 T 

p


Rd
c pd


 ui



 u j ui 



 x j

   0  1
T0
g

  d
z
c pd
p0
  0 g
z
p  p0  p1
0  cst
0 ~ cst
  cst
   cst
21
Équations de Reynolds de l’air
humide
 
p  0 Rd Tv
 
ui
0
xi
 uj u
u
u
 uj
  f c  vg  v  
t
x j
x j
 uj v
v
v
 uj
  fc  ug  u  
t
x j
x j


1
 uj

t
x j
 cp
 

Q*j   uj 
 Lv E 

x j 
x j

 
qT
qT
SqT  uj c
 uj


t
x j
air
x j
c
c
 uj
  Sc 
t
x j
 
 uj c
x j
f c vg 
ui
0
xi
1 p
 0 x
1 p
fcug  
0 y
Tv  T 1  0.61q 
 p0 
  T  
 p 
Rd
c pd
22
Divergence des flux


uj ui
x j



Convergence de flux de quantité de mouvement
cinématique : forces de frottement turbulent

ui 
xi
Convergence flux de chaleur turbulent
cinématique.

uiq
xi
Convergence flux d ’humidité turbulent
cinématique.

 
 
23
Les termes de Reynolds
 ______
, , 
  ui u j 



x j
Flux verticale de quantité de mouvement horizontal
x3
u3 ( 0u1  0u2 )
____________
u j (  0ui )   0ui u j   u u
 0ui u j
x2
______
, ,
0 i j
O
 uu
x1
______
, ,
0 i j
Flux du au mouvement moyen
(advection par le vent moyen)
Flux moyen du aux mouvements
turbulents (tensions de Reynolds)
24
Forces de surface dues à la turbulence
_______
Fx   0
( w ' u ' )
z
w,
U1
A
B
w
,
U2
25



 0, w  0
x y
Homogénéité horizontale
u
1 p
  u


 f v  
 w ' u '
t
0 x
z  z

v
1 p
  v


 f u  
 w ' v '
t
0 y
z  z



w
1 p1 1



g
 w' w'  0
t
0 z 0
z

   
  
 w' '
t z  z

26

0
t
Stationnarité
1 p
0 x
1 p
  u

0
 f v  
 w' u '
0 x
z  z

fvg 
1 p
  v

0
 f u    w' v'
0 y
z  z

1 p
fug  
0 y

  
0   
 w' '
z  z



0  f v  vg 
  u



w
'
u
'


z  z


  v

 
 w' v'
z  z

0   f u  ug

27
Couche de surface
0
z  25 m
  v



w
'
v
'


z  z

+ orientation de l ’axe de x
selon la direction du mouvement
  u

0  
 w' u '
z  z

La somme des contraintes de Reynolds et des contraintes de
viscosité est constante dans toute l ’épaisseur de la couche
28
de surface homogène et stationnaire