Triangle rectangle et cercle

La Géométrie Autrement
Triangle rectangle
et cercle
Triangle rectangle, cercle circonscrit, médiane
Distance d’un point à une droite
Points d’une bissectrice
Cercle et tangente
mode d'emploi
La Géométrie Autrement
Triangle rectangle
cercle circonscrit
médiane
Rappels
La Géométrie Autrement
Définition de la médiatrice d’un segment
A
M
B
La médiatrice d ’un segment est la droite
perpendiculaire au segment en son milieu.
Rappels
La Géométrie Autrement
Construction de la médiatrice d’un segment
A
B
Rappels
La Géométrie Autrement
Vocabulaire du triangle rectangle
Dans un triangle rectangle l’hypoténuse
est le côté opposé à l’angle droit.
C
A
B
à copier
ABC est un triangle rectangle en B
On trace le cercle circonscrit à ce triangle
La Géométrie Autrement
C
A
B
Le point d’intersection
des médiatrices de [BC]
de [AC] est le centre du
cercle circonscrit au
triangle.
On constate que c’est
le milieu de [AC],
hypoténuse du
triangle ABC.
Propriétés
Si un triangle est rectangle
alors le centre du cercle circonscrit à ce
triangle est le milieu de l’hypoténuse.
La Géométrie Autrement
M
ou encore
C
A
B
Si un triangle est rectangle
alors la longueur de l’hypoténuse est le
diamètre du cercle circonscrit.
La Géométrie Autrement
Comment tracer un triangle rectangle
sans réquerre ni rapporteur
mais avec un compas ?
triangle rectangle cercle
On trace le segment [RS],
le cercle de diamètre RS,
quelque soit la position
du point T sur le cercle,
le triangle RST est
rectangle en T.
Propriété
La Géométrie Autrement
Si, dans un cercle, un triangle a pour sommet les
extrémités d’un diamètre et un point du cercle,
alors ce triangle est rectangle en ce point.
C
A
B
à copier
Rappels
La Géométrie Autrement
Définition de la médiane d’un triangle
Une médiane d'un triangle est une droite
qui passe par un sommet et
le milieu du côté opposé à ce sommet.
A
(AM) est la
médiane issue de A
dans le triangle ABC.
M
C
B
Traçons la médiane issue de B
dans le triangle ABC.
La Géométrie Autrement
M
A
B
C
C’est un rayon du
cercle circonscrit
donc la moitié du
diamètre AC
donc la moitié de
l’hypoténuse du
triangle ABC.
Propriété
La Géométrie Autrement
Si un triangle est rectangle
alors la longueur de la médiane issue de
l’angle droit est égale à la moitié de la
longueur de l’hypoténuse.
M
A
B
C
Propriété
La Géométrie Autrement
Si, dans un triangle, une médiane issue d’un
sommet a une longueur égale à la moitié
de la longueur du côté opposé,
alors le triangle est rectangle en ce sommet.
M
C
A
B
à copier
La Géométrie Autrement
Distance d’un point
à une droite
Définition
La Géométrie Autrement
Soit une droite (d) et un point A
qui n’appartient pas à (d).
Le point le plus proche de A est le
point H tel que la droite (AH) est
perpendiculaire à (d).
AH est appelé la distance
du point A à la droite (d).
A
(d)
H
M
Pour tout point M non confondu avec H,
on a AH<AM
à copier
La Géométrie Autrement
Points d’une
bissectrice
Rappels
La Géométrie Autrement
Définition de la bissectrice d’un angle
La bissectrice d'un angle est
la droite qui passe par le sommet de l'angle
et qui le partage en 2 angles de même mesure.
B
A
C
Rappels
La Géométrie Autrement
Construction de la
bissectrice d’un angle
B
A
Je dessine le cercle de centre A et
de rayon quelconque.
C
Rappels
La Géométrie Autrement
Construction de la
bissectrice d’un angle
B
D
A
E
D et E sont les points d’intersection
de [AB) et de [AC) avec le cercle.
C
Rappels
La Géométrie Autrement
Construction de la
bissectrice d’un angle
B
D
A
E
Je dessine le cercle de centre D
qui passe par A.
C
Rappels
La Géométrie Autrement
Construction de la
bissectrice d’un angle
B
D
A
E
Je dessine le cercle de centre E
qui passe par A.
C
Rappels
La Géométrie Autrement
Construction de la
bissectrice d’un angle
B
D
G
A
E
G est le 2ème point d’intersection
de ces 2 cercles.
C
Rappels
La Géométrie Autrement
Construction de la
bissectrice d’un angle
B
D
G
A
E
Je dessine la droite (AG).
C
Rappels
La Géométrie Autrement
Construction de la
bissectrice d’un angle
B
G
A
Je code la figure
C
La Géométrie Autrement
Que peut-on dire de la distance
d’un point de la bissectrice d’un angle
aux côtés de cet angle ?
Utilisons Cabri géomètre
Propriété
Si un point est sur la bissectrice de l’angle,
alors il est équidistant des côtés de cet angle.
La Géométrie Autrement
B
M
A
C
Propriété réciproque
La Géométrie Autrement
Si un point M est équidistant des côtés
d’un angle de sommet A,
alors [AM) est la bissectrice de cet angle.
B
M
A
C
Une autre propriété
La Géométrie Autrement
Dans tout triangle, les bissectrices sont concourantes,
elles se rencontrent en un même point.
R
T
I
à copier
La Géométrie Autrement
Cercle
et
tangente
Définition
La Géométrie Autrement
La tangente à un cercle en un point est la droite
perpendiculaire au rayon qui passe par ce point.
(d)
O
C
A
(d) est la tangente
au cercleC en A.
Rq : la tangente à un
cercle coupe ce cercle
en un seul point.
Cercle inscrit dans un triangle
Dans tout triangle, les bissectrices sont concourantes.
Leur point d’intersection est le centre du
cercle tangent aux 3 côtés du triangle.
La Géométrie Autrement
R
T
I
Ce cercle
est appelé
cercle
inscrit
dans le
triangle.
à copier
La Géométrie Autrement
Triangle rectangle et cercle
1) Triangle rectangle cercle circonscrit médiane
a) Médiatrice et triangle rectangle
La Géométrie Autrement
Définition de la médiatrice d’un segment
La médiatrice d ’un segment est A
la droite perpendiculaire au
segment en son milieu.
B
Vocabulaire du triangle rectangle
Dans un triangle rectangle
l’hypoténuse est le côté
opposé à l’angle droit.
A
C
B
retour
Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors le centre
du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de
l’hypoténuse.
La Géométrie Autrement
M
C
A
B
Propriété 2 : Si un triangle est rectangle alors la
longueur de l’hypoténuse est le diamètre du cercle
circonscrit.
Propriété 3 : Si, dans un cercle, un triangle a pour
sommet les extrémités d’un diamètre et un point du
cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point. retour
b) Médiane et triangle rectangle
Définition de la médiane d’un triangle
La Géométrie Autrement
Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par
un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.
A
(AM) est la
médiane issue de A
dans le triangle ABC.
M
C
B
Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors la
longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale
à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
La Géométrie Autrement
M
C
A
B
Propriété 2 : Si, dans un triangle, une médiane issue
d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la
longueur du côté opposé, alors le triangle est
rectangle en ce sommet.
retour
Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors le centre
du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de
l’hypoténuse.
La Géométrie Autrement
M
C
A
B
Propriété 2 : Si un triangle est rectangle alors la
longueur de l’hypoténuse est le diamètre du cercle
circonscrit.
Propriété 3 : Si, dans un cercle, un triangle a pour
sommet les extrémités d’un diamètre et un point du
cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point. retour
b) Médiane et triangle rectangle
Définition de la médiane d’un triangle
La Géométrie Autrement
Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par
un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.
A
(AM) est la
médiane issue de A
dans le triangle ABC.
M
C
B
Propriété 1 : Si un triangle est rectangle alors la
longueur de la médiane issue de l’angle droit est égale
à la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
La Géométrie Autrement
M
C
A
B
Propriété 2 : Si, dans un triangle, une médiane issue
d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la
longueur du côté opposé, alors le triangle est
rectangle en ce sommet.
retour
2) Distance d’un point à une droite
La Géométrie Autrement
Soit une droite (d) et un point A
qui n’appartient pas à (d).
Le point le plus proche de A est le
point H tel que la droite (AH) est
perpendiculaire à (d).
AH est appelé la distance
du point A à la droite (d).
A
(d)
H
M
Pour tout point M non confondu avec H,
on a AH<AM
retour
3) Points d’une bissectrice
a) Définition de la bissectrice d’un angle
La Géométrie Autrement
La bissectrice d'un angle est la droite qui passe
par le sommet de l'angle et qui le partage en 2
angles de même mesure.
B
A
b) Propriétés
Si un point est sur la bissectrice de l’angle,
alors il est équidistant des côtés de cet angle.
La Géométrie Autrement
B
M
A
C
Si un point M est équidistant des côtés d’un
angle de sommet A,
alors [AM) est la bissectrice de cet angle.
Dans tout triangle, les bissectrices sont concourantes
elles se rencontrent en un même point.
La Géométrie Autrement
R
T
I
retour
4) Cercle et tangente
a) Définition
La Géométrie Autrement
La tangente à un cercle en un point est la droite
perpendiculaire au rayon qui passe par ce point.
(d)
O
C
A
(d) est la tangente
au cercleC en A.
Rq : la tangente à un
cercle coupe ce cercle
en un seul point.
b) Cercle inscrit dans un triangle
Dans tout triangle, les bissectrices sont concourantes
Leur point d’intersection est le centre du cercle
tangent aux 3 côtés du triangle.
La Géométrie Autrement
R
T
I
Ce cercle
est appelé
cercle
inscrit
dans le
triangle.
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