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Un peu de maths
(et d’info)
IFT6271--Hiver2014
2ecours
Louis Salvail

Pourquoi?
Nous commençons par étudier les outils
cryptographiques nécessaires (mais pas suffisants) pour
la mise au point de mécanismes de sécurité performants.
Ces outils sont des constructions mathématiques qui sont
facilement représentables sur les ordinateurs.
La sécurité de la plupart des méthodes cryptographiques
intéressantes repose sur la difficulté de résoudre certains
problèmes mathématiques.
L’informatique théorique permet d’analyser la difficulté
algorithmique pour la résolution de ces problèmes
mathématiques.

Nombres entiers et premiers
Les nombres que nous allons utiliser par la suite sont
des nombres entiers (positifs).
Le nombre entier aest divisible par le nombre entier b
si a=kb pour kun autre nombre entier: a/b=k.
Les nombres premiers sont au centre de la plupart des
protocoles cryptographiques.
Un nombre entier nest premier s’il n’admet que deux
diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Tout nombre entier npeut s’écrire de façon unique par
un produit de puissances de nombres premiers :
n=p1a1 p2a2 ... ptat

PGCD
Le PGCD entre les entiers aet best le plus grand
commun diviseur de aet b.
k=PGCD(a,b) -> k⋅i=a et k⋅j=b pour i,j des entiers. De
plus, il n’existe pas d’entier k’>k,i’ et j’ tels que k’⋅i’=a et
k’⋅j’=b.
Exemples:
PGCD(5,25)=5: 5⋅5=25
PGCD(14,35) = 7: 14=2⋅7et 35=5⋅7,
PGCD(21,55) = 1.
Lorsque les entiers net msont tels que PGCD(n,m)=1
on dit alors qu’ils sont relativement premiers.

Arithmétique modulaire
Quelle heure sera-t-il
dans 12 heures?
Quelle heure sera-t-il
dans 25 heures?
Quelle heure sera-t-il
dans 23 heures?
Quelle heure sera-t-il
dans 34 heures?
Quelle heure sera-t-il
dans nheures, sachant
qu’il est theures?
Rép: n+tmod
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Un registre d’ordinateur est une
horloge avec 2kvaleurs
possibles pour k=8,16,32,64,...
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