Logique et raisonnement scientifique cours transversal Collège Doctoral Pr. Alain Lecomte 3. Logique et mathématiques De Frege à Gödel-2 Les ordinaux un ensemble est un ordinal s’il a les deux propriétés suivantes : La relation x y est sur une relation d’ordre total strict qui est un bon ordre ; Si x alors x , {}, {, {}}, {, {}, {, {}}}, {, {}, {, {}}, {, {}, {, {}}}} etc. Loi d’engendrement Loi d’engendrement {} Loi d’engendrement {} {, {}}, Loi d’engendrement {} {, {}}, {, {}, {, {}}}, Loi d’engendrement {} {, {}}, {, {}, {, {}}}, {, {}, {, {}}, {, {}, {, {}}}} etc. ordinaux si est un ordinal, alors {} est un ordinal. On note alors ce nouvel ordinal : +, c’est le successeur de . Un ordinal est dit fini si lui-même et chacun de ses éléments est successeur d’un ordinal. Dans le cas contraire, on parle d’ordinal limite Ordinaux limites l’ensemble de tous les ordinaux finis est un ordinal on ne peut pas trouver d’ordinal dont il soit le successeur ! autrement dit c’est un ordinal limite. notonsle : c’est le plus petit ordinal infini ordinaux Mais + 1 = {} est aussi un ordinal limite , + 1, + 2, + 3, …. + = 2, puis 3, 4 … = 2, puis 3, …, Les ordinaux et les cardinaux 0 = ( est le plus petit ordinal équipotent à N) On pose: 1 ( est un ordinal, le successeur d’un cardinal k est le plus petit cardinal qui lui est supérieur) 0 Card(R) = Card(N) = 2 0 Question: est-ce que 2 = ? 1 Le paradoxe de Burali-Forti l’ensemble de tous les ordinaux est muni d’un bon ordre, donc est un ordinal, cet ordinal est ainsi à la fois un élément de l’ensemble des ordinaux et strictement plus grand que tous les ordinaux contenus dans cet ensemble Le paradoxe de Russell La fonction (le concept) pourrait très bien s’appliquer à elle-même comme objet, on peut envisager un concept nouveau qui serait le concept « ne pas s’appliquer à soimême » l’extension de ce nouveau concept serait ^ = { ; ()} = { ; ()} NB : Russell : 1872 – 1970 Le paradoxe Est-ce que ce concept s’applique à luimême? oui? Alors (), donc ^, donc : (), Donc NON! non? Alors (), donc ^, donc : (), Donc OUI! Comment s’en sortir? ? ….faut-il s’en sortir? L’autoréférence En biologie : Maturana (1970), Varéla (années 1980-90) Un système autopoiétique est organisé comme un réseau de processus de production de composants qui: a) b) Régénèrent continuellement par leurs transformations et leurs interactions le réseau qui les a produits, et qui Constituent le système en tant qu’unité concrète dans l’espace où il existe, en spécifiant le domaine topologique où il se réalise comme réseau (Maturana, Varéla, 1980) Exemple de la cellule « la cellule vivante émerge de son environnement moléculaire en spécifiant une membrane qui la distingue de son milieu, mais pour ce faire, elle doit produire des molécules dont la fabrication nécessite l’existence d’une membrane ou d’une frontière » Exemple de la cellule les membranes définissent la frontière qui produit les molécules constitutives de la… notion de « clôture opérationnelle »: Les processus dépendent récursivement les uns des autres pour leur propre génération et définissent ainsi l’individualité du système au sein duquel ils se déroulent. (J. P. Rennard, « Vie Artificielle », p.14) auto référence La théorie des types de Russell « Il est admis que les paradoxes à éviter résultent tous d’un certain genre de cercle vicieux. Les cercles vicieux en question proviennent de ce que l’on suppose qu’une collection d’objets peut contenir des membres qui ne peuvent justement être définis qu’au moyen de la collection, prise dans sa totalité ». La théorie des types de Russell « Plus généralement, donnons-nous un groupe d’objets tels que ce groupe, étant capable par hypothèse d’être totalisé, doive d’autre part contenir des membres qui présupposent cette totalité, alors, ce groupe ne peut pas être totalisé. En disant qu’un groupe ne peut être totalisé, nous voulons dire surtout qu’aucune affirmation ayant un sens ne peut être faite concernant « tous ses membres ». […] Dans de tels cas, il est nécessaire de décomposer notre groupe en groupes plus petits dont chacun soit capable d’être totalisé. C’est ce que la théorie des types s’efforce d’effectuer ». Hiérarchie des types Des lettres pour des individus : a, b, c, x, y, z, w Des fonctions qui s’appliquent à ces objets et à eux seulement : fonctions du premier ordre x. (x) : fonction du premier ordre (si x un individu) dépend de qui n’est pas un individu! donc . x. (x) n’est pas une fonction de premier ordre fonction de second ordre … et ainsi de suite L’influence de la théorie des types au XXème siècle Une théorie « des catégories » Notion « d’erreur de catégorie » Philosophie analytique – G. Ryle : The Concept of Mind, 1949 L. Wittgenstein : vers une grammaire de la pensée Retour à Wittgenstein… pourquoi un chien ne peut-il simuler la douleur ? est-il trop honnête ? pourquoi ma main droite ne peut-elle donner de l’argent à ma main gauche ? est-elle trop avare ? (Recherches philosophiques, §268) puis-je avoir le mal de dent d’autrui ? puis-je avoir mal à la dent d’autrui ? (Puis-je avoir mal à ma dent en or ?) puis-je observer ce qui se passe dans l’esprit d’autrui ? puis-je observer ce qui se passe dans l’estomac d’autrui ? pourquoi une machine ne peut-elle calculer de tête ? Est-ce parce qu’elle n’a pas de tête ? Retour à Wittgenstein… J. Bouveresse (« la parole malheureuse »): « l’humour inconscient de la première question réside à chaque fois dans le fait, brutalement mis en évidence dans la seconde, qu’elle a revêtu l’apparence trompeuse d’une question factuelle ordinaire. Il en est ainsi, pour Wittgenstein, d’un grand nombre de questions métaphysiques : elles donnent l’impression d’avoir un sens et une importance parce qu’elles sont formulées comme des questions d’expérience ; de sorte que nous nous imaginons que nous aurions appris quelque chose de nouveau si nous savions y répondre, alors qu’elles peuvent seulement dans le meilleur des cas nous faire prendre conscience de l’existence d’une règle grammaticale implicite ». Le « tournant linguistique » 4.003 – […] La plupart des propositions et questions de la philosophie reposent sur ceci que nous ne comprenons pas la logique de notre langage. (Ce sont des questions du type : est-ce que le Bien est plus ou moins identique que le Beau ?). Rien d’étonnant à ce que les plus profonds problèmes ne soient pas à proprement parler des problèmes.