T5 - T6: Mécaniques des fluides

Les Transports (T5 - T6)
Mécanique des fluides
Sommaire
T5: Comment se déplacer dans un fluide?
1) Force pressante
2) Poussée d’Archimède
3) Condition d’équilibre et de flottabilité d’un corps
4) Pression exercée par les liquides
T6 – Qu’est-ce qu’une voiture puissante?
Mouvement des fluides
Travail d’une force
•
•
•
•
•
•
•
•
Dynamique des fluides
1. Lignes de courant
2. Ecoulement permanent
3. Débit massique; débit volumique
4. Équation de Bernoulli
5. Viscosité
6. Différents régimes
7. Pertes de charge
Définition :
• La mécanique des fluides étudie le
comportement des fluides :
• au repos : hydrostatique
• en mouvement : hydrodynamique
•
• On distingue deux types de fluides :
• les liquides
incompressibles
• les gaz
compressibles
T5: Comment se déplacer dans un fluide?
Objectifs de la leçon
- Etre capable de :
C1 – déterminer expérimentalement la valeur de la poussée
d’Archimède;
C2 – mesurer la pression d’un liquide en un point;
C3 – déterminer expérimentalement les variations de pression au
sein d’un fluide;
C4 – distinguer la pression atmosphérique, pression relative et
pression absolue;
pB  p A   gh
C5 – utiliser la formule
C6 – mettre en évidence expérimentalement l’effet Venturi.
1 – Force pressante
a. Observation
Une force pressante est une
force répartie sur une surface
Un fluide exerce des forces pressantes sur toute la surface en contact
avec lui(appelée surface pressée)
La droite d’action d’une force pressante est perpendiculaire à
la surface pressée.
b. Calcul de la pression
• Soit F
une force s’exerçant uniformément sur une surface plane
et perpendiculairement à cette surface
•S est la surface sur laquelle agit la force F
La pression est donnée par la relation :
F
p 
S
p: en pascals
F; en Newtons
S: en mètres carrés
La pression est égale au quotient de la valeur F
de la force pressante par l'aire S de la surface pressée.
Unités :
-
Le pascal est l’unité du système international de la pression.
On le note Pa
1 Pa est la pression exercée par une force de 1 N sur une surface de 1 m2
1N
1Pa 
2
1m
- Le bar
1 bar est la pression exercée par une force de 1 daN sur une
surface de 1 cm2
1 bar = 105 Pa
- L'atmosphère;
1 atm = 1,01325 × 105 Pa
(valeur de la pression atmosphérique normale).
Petite histoire:
• PASCAL (Blaise) (1623-1662)
• Mathématicien, physicien, philosophe et
écrivain français. Fit de nombreuses
expériences sur la pression atmosphérique
et l'équilibre des liquides.
EXEMPLE
Sur la figure ci-contre, le doigt exerce sur la
punaise une force de 15 N.
L'aire de la tête de la punaise est 300 mm 2,
celle de la pointe 0,5 mm2.
La surface de la pointe de la punaise étant très
petite, la pression sur le mur est très grande.
1. Calculer la pression exercée par le doigt sur la tête de la punaise
2. Quelle est la pression de la pointe de la punaise sur le mur ?
(Les résultats seront donnés en Pa puis en bar)
Réponses
1. Calcul de la pression exercée par le doigt
pdoigt 
F
S punaise
pdoigt: pression du doigt sur la punaise
F = 15 N
Spunaise = 300 mm2 = 3×10-4 m2: l’aire
de la tête de la punaise
15
Pdoigt =
= 5×104 Pa = 0,5 bar
3×10-4
2. Calcul de la pression exercée par la pointe de la punaise
F
p=
S
ppointe: pression du doigt sur la punaise
F = 15 N
Spointe = 0,5 mm2 = 5×10-7 m2: l’aire de
la tête de la punaise
15
Ppointe =
= 3×107 Pa = 300 bar
5×10-7
2 – Poussée d’Archimède
Principe de la poussée d’Archimède
 Tout corps immergé dans fluide (liquide ou gaz), reçoit de la part
de ce fluide une poussée verticale dirigée de bas en haut et dont lur
est égale au poids du fluide déplacé.
Sa valeur, qu’on peut noter FA, se calcule par la formule:
FA    g  V
  est la masse volumique du fluide en kg/m3 (kilogramme par
mètre cube) ;
• g est l’intensté de la pesanteur en N/kg ( newton par kilogramme)
• V est le volume du fluide déplacé en m3 (mètre cube) ;
•La valeur FA est en newton (N).
3 – condition d’équilibre et de flottAbilité d’un corPs
Condition d’équilibre d’un corps flottant
 Le centre de poussée C est au dessus du centre de gravité G :
Si les deux points ne sont pas alignés, le couple de forces qui apparaît
redressera le solide dans sa position verticale : l’équilibre est alors
stable.
•Le centre de poussée C est en dessous du centre de gravité G :
Si les deux points ne sont pas alignés, le couple de forces qui
apparaît, fera chavirer le solide : l’équilibre est alors instable.
Conclusion :
Pour pouvoir
« descendre » le centre
de gravité d’un bateau,
on ajoute un leste (« la
quille ») sous la coque
du bateau.
Condition de flottabilité d’un corps
•Un corps flotte si la valeur de son poids égale à
la valeur de la force de poussée d’Archimède.
•Un corps coule si la valeur de son poids est
supérieure à la valeur de la poussée
d’Archimède.
4 – Pression exercée par les fluides
a. Pression en un point d’un fluide
 La pression est la même en tout point d'un plan horizontal
(plan isobare).
Il n'existe qu'une seule pression en un point donné d'un liquide.
La pression en un point d'un liquide
dépend :
_ de la profondeur de ce point ;
_ de la masse volumique du liquide.
b. Calcul de la pression en un point d’un fluide:
principe fondamental de l’hydrostatique
La différence de pression entre
deux points A et B d'un liquide
est égale à :
PB – PA = ρ g h
 - ρ est la masse volumique du
liquide exprimé en kilogrammes
par
mètre cube (kg.m-3)
 g est l'intensité de la pesanteur
(soit à Paris : 9,81 N.kg-1)

h est la différence de niveau
entre les deux points exprimée en
mètres (m)
 - PA et PB sont les pressions
exprimées en Pascals(Pa).
EXEMPLE
•Deux points situés dans l'eau sont à 10 m l'un au-dessus
de l'autre.
•La masse volumique de l'eau étant ρ = 1000 kg·m-3
•Calculer la différence de pression entre ces deux points.
Réponse: PA – PB = ρ g h
PA – PB = 1 000×9,81×10
B
PA – PB = 9,81×10 4 Pa
10 m
A
5 – l’effet Venturi
C’est un phénomène où la pression d’un fluide diminue lorsque la vitesse de son
écoulement augmente.
•Application: Aile d’avion
La pression de l’air au dessous de l’aile est supérieure à la
pression de l’air au-dessus de l’aile.
T6 –qu’est-ce qu’une Voiture
puissante?
Mouvement des fluides
Transmission de Pression par les liquides
a. Théorème de Pascal
Un liquide étant considéré comme incompressible, toute variation de
pression en un point du liquide se transmet intégralement à tous
les points.
F'
B
F
A
•Les points A et B sont tous
les deux à la même
pression.
•Une augmentation de la
pression en A provoque la
même augmentation en B
ainsi qu'en tous les points du
liquide.
b. Principe de transmission
F'
B
F
•Soit le système ci-contre, qui permet
de multiplier la valeur d'une force :
A
Une force
F exercée sur le petit piston
de section S produit une augmentation
de la pression au point A égale
F
p
S
Cette augmentation de pression est intégralement transmise
à tous les points du liquide et en particulier au point B.
L'augmentation de pression au point B produit sur
le grand piston S’ une force
F ' telle que
F' pS'
soit
F'
p
S'
Dans une transmission hydraulique, la force disponible sur
le piston de travail est égale au produit de la force exercée sur
le piston de mise en pression par le rapport des sections des deux
pistons.
F’ = F ×
S’
S
Le choix de S’ > S permet d'obtenir F’ > F
Les pistons ayant des sections circulaires de diamètres respectifs
D1 et D2 , le rapport des sections est aussi égal au rapport des carrés
des diamètres, soit
D2
F’ = F ×
( )
D1
2
trAVAil d’une force
a. Le travail d’une force
A
F

F
B

d
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Une force travaille quand elle se déplace
W = F × d × cos 
•W > 0 si 0 <
 < 90°
Dans ce cas le travail est moteur; la force agit dans le sens du déplacement
•W < 0 si
 > 90°
Dans ce cas le travail est résistant; la force agit dans le sens contraire du déplacement
•W = 0 si
 = 90°
Dans ce cas le travail est nul; la force agit perpendiculairement au déplacement
b. Le travail d’un couple de forces

L’arbre d’un moteur tourne d’un angle
Le travail de la force
du moteur est
en radian
F
W  F  R 
F
R
O
L’arbre est soumis au couple
de moment
F'
( F ; F ')
M = F×D = 2 F×R
Le travail d’un couple de forces est donc
W  2  F  R   M 
Le travail W est exprimé en J;
Le moment du couple M est exprimé en N·m;
L’angle
exprimé en radian(rad);

c. Puissances mécaniques
1.
La puissance est l'énergie dissipée pendant un temps donné
La puissance moyenne est P d’une force est définie par:
P=
W
t
P est la puissance en watt(W);
W est le travail en joules;
et
t est la durée en secondes(s)
Pour un déplacement sur un distance l du point d’application de la force
F
à une vitesse v(vitesse linéaire):
W = F· l = F·v·l
On en déduit:
P=
W
t
v=
= F·v
2. La puissance d’un couple est
M
P 
t
l
t
Or

t
et
donc
  ( vitesseangulaire)
  2 n
P  2 nM

en radian par secondes(rad·s-1),
P en W,
M en N·m, n fréquence de rotation en
tr·s-1
Dynamique des fluides
1. Lignes de courant
Les lignes de courant sont les trajectoires suivies par les
molécules d'un fluide en mouvement (voir figure ).
2. Écoulement permanent

Un écoulement est dit permanent lorsque les lignes de
courant ne varient pas au cours du temps.
En un point du fluide, toutes les molécules passent avec
la même vitesse (les vitesses sont indépendantes du temps).


Dans un écoulement parfait, on considère que toutes
les molécules traversant une même section ont la même
vitesse.
3. Débit massique et débit volumique d'un liquide
a. Débit massique
Le débit massique Qm est le rapport de la masse m de liquide
s'écoulant pendant le temps t
Qm
m


t
 Sv
Unités:
m(masse) en kg;
t(durée) en s; Qm(débit massique) en kg/s
ρ(masse volumique) en kg/m3;
S(l’aire de la section) en m2;
v(vitesse moyenne d’écoulement du fluide) en m/s
b. Débit volumique
Le débit volumique Qv est le
volume de fluide, par unité
de temps, qui traverse une
section droite.
Unité : mètre cube par seconde
(m3/s )
QV
V

t
 Sv
QV(débit volumique) en m3/s
V (volume) en m3; t(durée) en s; S(l’aire de la section) en m2;
v(vitesse moyenne d’écoulement du fluide) en m/s
Remarque:
ρ étant la masse volumique du liquide, on constate:
Qm = ρ×QV
On utilise plus généralement le débit volumique que l'on notera,
sauf ambiguïté Q
• Exemple :
• Dans un tube de diamètre intérieur d = 12,7 mm
s'écoule, à la vitesse moyenne de 1,2 m/s, de
l'huile de masse volumique 820 kg/m³.
Calculer:
• le débit volumique Qv
• et le débit massique Qm
Solution
L’aire:
2
d
s  
4
d2
(12, 7)2  106
6
s  
 
 126, 7  10
4
4
•Débit volumique Qv
m2
QV  S  v
6
6
QV  S  v  126, 7  10  1, 2  152  10 m / s
3
QV  S  v
Débit massique Qm
Qm    S  v  820  152  10
6
1
 1, 25  10 kg / s
c. Équation de conservation des débits
En admettant que le débit est le même dans toutes les portions
du circuit (conservation de la matière), on obtient l'équation
suivante, appelée équation de continuité :
v1 S1 = v2 S2
Remarque.
Dans un écoulement, vitesse et section sont des grandeurs
inversement proportionnelles.
Exercice:
1. Quelle doit être la section en (1)
pour que la vitesse de l'eau en
sortie soit de 140 m/s ?
2. Quelle est la vitesse de l'eau dans
le tuyau (2 ), sachant que sa
section a un diamètre de
1,2 cm ?
Solution
Q = 8,4 L/min = 1410-6 m3/s
QV  S  v
1. Section en (1)
Q 14 10
S 

v
140
6
 10
7
m
2
2.
•Aire de la section (2)
d
1, 2 10
S2 

4
4
2
2
4
6
 36 10 m
2
•Vitesse en (2)
6
Q 14 10
v 

0,
4
m
/
s
6
S 36 10
d. Puissance hydraulique
La puissance transmise par un fluide hydraulique est
appelée "puissance hydraulique".
1. Cas d’un vérin hydraulique
F : force exercée par la tige du vérin
v : vitesse en sortie de tige
S : section du piston
Qv : débit reçu
p : pression dans la chambre du véri
La puissance utile d'un vérin est donnée par la relation : Pu =
F×v
Si on considère les pertes négligeables : Pu = Pa
Or F = p×S;
Qv
v=
; p en pascal; Qv en m3/s;
S
Pa en Watt
Donc
Pa = F v = P×S×
Qv
= p×Qv
S
2. Cas général
Un fluide hydraulique de débit Qv et de pression p transporte
une puissance hydraulique P, telle que:
P = p×Qv
Ou encore
p en pascals
Qv en m3/s et P est en Watt
p×Qv
P=
600
p en bar
Qv en L/min et P est en kiloWatt
Exemple
Un vérin de rendement 80 %, reçoit un débit de 36 L/min sous une
pression de 80 bars.
Calculez la puissance utile du vérin.
Réponse
p×Qv
• Puissance absorbée:
80×36
P=
P=
600
= 4,8 kW
600
• Puissance utile:
Pu = 4,8×0,80
= 3,84 kW
4. Équation de Bernoulli
1. Cas général
Soit un fluide parfait, incompressible, s'écoulant dans une
conduite non constante (S1 < S2 ).
Considérons une portion de ce fluide de masse volumique
et de volume V.

L’équation de Bernoulli traduit la variation de la vitesse v,
de la pression p et de l’altitude z entre les positions (1) et (2):
1 2
1 2
 v1  p1   gz1   v2  p2   gz2
2
2

s’exprime en kg·m-3; v en m ·s-1; p en Pa et z en m
2. Cas d’un écoulement horizontal: Effet Venturi
z1 = z 2
Soit un écoulement permanent dans une conduite horizontale
présentant un étranglement.
L’équation de Bernoulli entre l’état (1) et l’état (2) s’écrit:
1
1
2
2
 v1  p1   v2  p2
2
2
Comme S1
> S 2 , v2 > v 1 et par conséquent p2 < p 1
La pression d’un fluide diminue lorsque la vitesse de son écoulement
augmente.
Applications:
Pistolet à peinture; vaporisateur; aile d’avion…
5. Viscosité d’un fluide
Dans la réalité, les fluides parfaits qui s’écoulent sans frottement
n’existent pas.
L’écoulement d’un fluide réel fait apparaître des frottements des
molécules entre elles et avec les parois de la conduite.
•La viscosité dynamique d’un fluide réel caractérise son aptitude
à s’écouler . On la note:
 (éta) ; elle s’exprime en pascal seconde(Pa·s)
•La viscosité cinématique est donnée par la formule suivante:
(m2/s)

  (nu ) 

(Pa·s)
(kg/m3)
 ( nu )  vis cos itécinématique

 (éta )  vis cos itédynamique
  ( rho)  massevolumique

Autres unités plus pratiques:
•Le stokes (St): 1 m2/s = 104 St
•Le centistokes (cSt): 1 cSt = 10-2 St
Fluide
eau
glycérine
bitumes de pétrole
Température(°C)
Viscosité dynamique(Pa·s)
0
1,79×10-3
20
1,00×10-3
100
0,28×10-3
0
12
20
1
20
106 à 103
50
103 à 101
La viscosité des liquides diminue si la température augmente.
6. Les différents régimes d’écoulement:
On distinguent deux régimes: écoulement laminaire et écoulement
Turbulent.
Les régimes d’écoulement sont déterminer à l’aide d’un nombre appelé
Le nombre de Reynolds et noté Re
(sans unité)
v : Vitesse d’écoulement en m/s
vD 
 Re   D : diamètre (mètre)
 
cinématique en m /s

:
vis
cos
ité

2
7. Les pertes de charge:
La viscosité du fluide et la longueur de la conduite engendrent
des pertes de pression appelées aussi pertes de charge
Les pertes de charges linéiques, notées p, sont exprimées en pascal
(Pa):


2 
L  ·v 
p  K· ·

D 2 


K: coefficient de pertes de charge(sans unité)
L: longueur de la conduite(en m)
D: diamètre de la conduite(en m)
 : masse volumique du fluide(en kg/m3)
v : vitesse du fluide(en m/s)
Pour un écoulement laminaire:
64
K
Re
Pour un écoulement turbulent:
0,316
K 4
Re
Remarque :
Il existe d’autres pertes de charge liées à des coudes, des
rétrécissements, des vannes…
Dans la pratique, des tableaux ou des abaques permettent de
calculer les pertes de charge en mètres de longueur de conduite.
Énergie hydraulique
Étude d’un système composé d’une pompe hydraulique entraînée
par un moteur alimentant un vérin
vérin

pompe
M
moteur
1. Moteur
L’arbre du moteur est soumis à un couple de forces de moment M

M  F ·d 
d en m

M en N·m
F en N
Puissance utile du couple moteur
Pu ( moteur )
 Pu ( moteur ) en watt(W)
 fréquence de rotation en tr/s
 2 nM n
 M en N·m

Rendement du moteur
moteur
Pu ( moteur )

Pa ( moteur )
(nombre sans unité)
2. La pompe
Caractéristiques:
- débit Q en m3/s
- fréquence de rotation n en tr/s
- la cylindrée C: volume du fluide refoulé à chaque tour de pompe
Q
C
n
(C est en m3/tr)
Puissance hydraulique d’une pompe
 P : puissance en watt
 p: pression en pascals(Pa)
 p·Q 
 Q: débit en m /s

u
Pu ( pompe )
3
Rendement d’une pompe
( pompe )
Pu ( pompe )
P a(pompe) = P u(moteur)

Pa ( pompe )
3. Vérin
Le fluide exerce une force pressante F sur le piston du vérin
provoquant son déplacement d’une distance d(sa course),
à la vitesse constante v pendant une durée t;
Dans ce cas la puissance est donnée par:
Pu ( vérin )
 Pu: puissance en watt

F: force exercée en N

F ·d

 F ·v  d: distance(course) en m
t
 v: vitesse en m/s
 t: durée en secondes(s)

Rendement d’un vérin
vérin
Pu ( vérin )

Pa ( vérin )
P a(vérin) = P u(pompe)
4. Rendement d’une installation hydraulique
 
Puissance utile mécanique fournie par le vérin
Puissance électrique absorbée par le moteur
Pu ( vérin )

Pa ( moteur )
Pa(moteur)
Pu(moteur)
Pu(pompe)
P
M
Pa(pompe)
Pp(moteur)
Pu(Vérin)
V
Pa(Vérin)
Pp(pompe)
Pp(vérin)
Pu ( moteur ) Pu ( pompe ) Pu ( vérin )

·
·
Pa ( moteur ) Pa ( pompe ) Pa ( vérin )
 moteur · pompe ·vérin