Mme GUERRAB TQG

Enseignante: A. GUERRAB
Introduction : la théorie des probabilités
 La théorie des probabilités est une science qui a
pour but l’étude des expériences aléatoires; elle
vise à construire des modèles mathématiques
pour analyser des situations impliquant
l’incertitude, et à définir des mesures exactes de
cette incertitude par l’intermédiaire de ces
modèles.
Introduction : notions élémentaires
 Expérience :
Une expérience est tout processus impliquant une
certaine intervention humaine.
 Exemple:
1. Lancer une pièce de monnaie un certains nombre de fois ;
2. Observer le nombre de pièces défectueuses dans un lot de
pièces ;
3. Observer le nombre de clients qui entrent dans un
supermarché durant une journée ;
4. ...
Introduction : notions élémentaires
 Expérience aléatoire:
Toute expérience qui satisfait aux deux conditions
suivantes :
1. On ne peut pas prévoir avec certitude le résultat de
l’expérience ;
2. On peut décrire tous les résultats possibles avant l’expérience.
 Ensemble fondamental S:
On appelle ensemble fondamental S, l’ensemble de tous
les résultats possibles qui peuvent se produire dans une
expérience aléatoire.
Introduction : notions élémentaires
 Ensemble fondamental S:
On appelle ensemble fondamental S, l’ensemble de tous
les résultats possibles qui peuvent se produire dans une
expérience aléatoire.
 Exemple:
On lance deux dés et on note la somme des points
obtenus sur chacun d’eux.
S  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12
Introduction : notions élémentaires
Il existe deux façons permettant de décrire
l’ensemble fondamental S :
1.
Description explicite : énumérer tous les éléments de
l’ensemble S ;
2.
Description implicite : utiliser un formalisme mathématique
pour décrire l’ensemble S.
Exemple
Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer une
pièce de monnaie trois fois de suite et à observer la
suite de piles (P) ou de faces (F) obtenues.
Introduction : notions élémentaires
Description explicite
Introduction : notions élémentaires
Description implicite
S  (1 , 2 , 3 ) tel que i  P, F , i  1,2,3 
Résultats de chaque lancé
Chaque résultat peut être soit Pile ou Face
S est un ensemble de triplets
Introduction : notions élémentaires
 Événement :
On appelle événement tout sous-ensemble de l’ensemble
fondamental (S) associé à une expérience aléatoire.
Les événements sont notés par des lettres majuscules (A,
B, C,…) et peuvent être décrit d’une manière implicite ou
explicite.
On dit qu’un événement A se réalise si et seulement si
l’expérience aléatoire donne un des résultats constituant
cet événement.
Introduction : notions élémentaires
 Exemple :
Pour contrôler la qualité d’un lot de pièces produites
par une machine, on prélève successivement 3 pièces
de ce lot et, pour chacune d’elle, on note si elle est
bonne (B) ou défectueuse (D).
( B, B, B), ( B, B, D), ( B, D, B), ( D, B, B) 
S 

( B, D, D), ( D, B, D), ( D, D, B), ( D, D, D)
Soit les deux événements suivants :
 A : obtenir au moins 2 pièces défectueuses.
 B : obtenir une pièce défectueuse au 2ième tirage et
une bonne pièce au 3ième tirage.
Introduction : notions élémentaires
 Resultat :
( B, B, B), ( B, B, D), ( B, D, B), ( D, B, B) 
S 

( B, D, D), ( D, B, D), ( D, D, B), ( D, D, D)
L’événement A : obtenir au moins 2 pièces défectueuses
A  ( B, D, D), ( D, B, D), ( D, D, B), ( D, D, D)
L’événement B : obtenir une pièce défectueuse au
2ième tirage et une bonne pièce au 3ième tirage.
B  ( B, D, B), ( D, D, B)
Introduction : notions élémentaires
Exemple
( B, B, B), ( B, B, D), ( B, D, B), ( D, B, B) 
S 

( B, D, D), ( D, B, D), ( D, D, B), ( D, D, D)
 Événement A : n’obtenir aucune pièce défectueuse
 Événement B : obtenir exactement une pièce défectueuse
 Événement C : obtenir au plus une pièce défectueuse
A  ( B, B, B)
B  (B, B, D), (B, D, B), (D, B, B)
C  ( B, B, B), ( B, B, D), ( B, D, B), ( D, B, B)
Remarques
A et B sont incompatibles
A est un événement simple
A implique C
B et C sont deux événements composés
Introduction au calculs de Probabilités
Probabilité d’un résultat s  S
Sous l’hypothèse d’équiprobabilité pour un
ensemble fondamental S contenant N résultats,
on assigne à chaque résultat s S, une probabilité
1/N.
P(s) = 1/N où N=|S|
s S
La cardinalité de l’ensemble
S
Introduction au calculs de Probabilités
• Probabilité d’un événement E  S
La probabilité d’un événement E sera définie comme la somme des
probabilités de chacun des événements élémentaires qui le constitue.
• Exemple
Soit l’ensemble fondamental associé à l’expérience aléatoire consistant
à lancer un dé une fois est S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sous l’hypothèse de
l’équiprobabilité, on assigne à chacun des 6 résultats une probabilité
1/6.
Soit l’événement A = obtenir un nombre pair de points sur le dé.
Par définition A = {2, 4, 6} ou comme la réunion de trois événements
élémentaires A = {2} U {4} U {6}. Ainsi, P(A) = P({2}) + P({4}) +
P({6}) = 3/6 = 0.5.
Introduction au calculs de Probabilités
 Probabilité d’un événement E  S
Sous l’hypothèse d’équiprobabilité, on appelle
probabilité d’un événement E, le nombre réel noté P(E)
et défini par :
nombre de résultats favorables à E
P( E ) 
nombre de résultats de S
 Exemple
Soit l’événement B = obtenir un nombre impair de points
sur le dé. Le nombre de cas favorables est 3 puisque B =
{1, 3, 5}. Or le nombre de résultats possibles de S est 6
puisque S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Donc, P(B) = 3/6 = 0.5
Introduction au calculs de Probabilités
 Propriétés:
Soient A et B deux événements relatifs à la
même expérience aléatoire :
1. P(A)  0
2. P(S) = 1
3. Si A et B sont incompatibles ou mutuellement
exclusifs alors
P(A  B) = P(A) + P(B)
Introduction au calculs de Probabilités
 Règles
Soient E et F deux événements relatifs à la même expérience
aléatoire
:
1. P(E’) = 1 – P(E)
2. P() = 0
3. Si E  F alors P(E)  P(F)
4. 0  P(E) 1
5. P(E  F) = P(E) - P(E  F’) = P(F) - P(F  E’)
6. P(E  F) = P(E) + P(F) - P(E  F) (règle d’addition ou calcul des
probabilités totales)
Introduction au calculs de Probabilités
Contexte : définition classique de la probabilité
 L’ensemble fondamental S est fini
 Les résultats de l’ensemble S sont équiprobables
 La probabilité d’un événement E, notée P(E), est déterminée
de la manière suivante :
P( E ) 
nombre de résultats favorables à E
nombre de résultats de S
Il est souvent difficile d’énumérer tous les résultats possibles
des ensembles E et S pour calculer P(E)
Analyse combinatoire
Analyse combinatoire : Contexte et définition
 Définition
L’analyse combinatoire est un ensemble de
formules qui ont pour but de dénombrer les
différentes dispositions que l’on peut former à
partir des éléments d’un ensemble fini.
 Définition
Une disposition est une collection d’éléments. Une disposition peut
être :


Ordonnée ou non et
Formée d’éléments Distincts ou non.
Analyse combinatoire : contexte et définition
 Exemples
 Dispositions Ordonnées ou non :
 Les deux ensembles suivants : A0 = {a, b, c} et A1 = {c, b, a} sont
deux dispositions non ordonnées.
 Les deux mots suivants : M1 = abc et M2 = acb sont deux
dispositions ordonnées.
 Dispositions formées d’éléments Distincts ou non :
 La disposition suivante est formée d’éléments distincts : A0 = {1, 2,
3}.
 La disposition suivante est formée d’éléments non distincts : D0 =
{1 ; 1 ; 2 ; 4 ; 4 ; 3}.
Analyse combinatoire :notions générales
 En analyse combinatoire, il est important de
distinguer deux principes fondamentaux :
1. Le principe de multiplication : Si une opération A
peut être effectuée de m façons, et si après que A a été
effectuée, une deuxième opération B peut être effectuée
de n façons, alors les deux opérations successives peuvent
être effectuées de m  n façons.
2. Le principe d’addition : Si deux opérations A et B
sont mutuellement exclusives et s’il y a m façons de
réaliser A et n façons de réaliser B, alors il y a m + n
façons de réaliser l’une ou l’autre de ces deux opérations.
Analyse combinatoire : Exemples
 Exemples
Dans une organisation, deux postes différents doivent
être comblés. Cinq personnes ont posé leur candidature.
De combien de façons différentes peut-on attribuer ces
deux postes P1 et P2 ?
• Réponse
Pour occuper le poste A, il y a cinq candidats possibles.
Une fois que le poste A est comblé, il reste 4 candidats
possibles pour combler le poste B.
Donc, il existe 5 X 4 = 20 façons différentes
Opération B : combler le poste 2 une fois le poste 1 est
comblé = 4 façons différentes
Opération A : combler le poste 1 = 5 façons différentes
Analyse combinatoire : Exemples
 Exemple 2
De combien de façons peut-on distribuer deux prix
différents parmi dix enfants si les deux prix peuvent être
accordés à un même enfant ?
 Réponse
Pour attribuer le prix 1, il y a 10 enfants candidats.
Une fois que le prix 1 est attribué, tous les enfants, c’està-dire les 10, sont encore candidats pour le deuxième prix
puisque le même enfant peut gagner deux prix.
Donc, il existe 10 X 10 = 100 façons différentes.
Opération B : attribuer le prix 2 une fois le prix 1 est
attribué = 10 façons différentes
Opération A : attribuer le prix 1 = 10 façons différentes
Analyse combinatoire :
notions générales
 La notion factorielle : Définition
On désigne par factorielle n et l’on note n!, le produit des n premiers
entiers positifs.
n! = n  (n-1)  (n-2) … 3  2  1
Par convention, on a 0! = 1
 Exemples :
4! = 4  3  2  1 = 24
5! = 5  4  3  2  1 = 120
 Règle de simplification
Calculer 10!/6! ?
Réponse : 10!/6! = (10  9  8  7  6!) / 6! = 5040
Analyse combinatoire :
Arrangement sans répétition
 Définition
Soit un ensemble S de n éléments distincts ; on
appelle arrangement sans répétitions de ces n
éléments pris à la fois (r  n) toute disposition
ordonnée de r éléments distincts choisis dans S.
Le nombre de ces dispositions est le suivant :
n!
A  n  (n  1)  (n  2)  ...  (n  r  1) 
(n  p)!
p
n
Analyse combinatoire: Arrangement sans répétition
 Exemple explicatif
Soit un ensemble S = {a, b, c, d}, on cherche l’ensemble de
toutes les dispositions ordonnées de 2 éléments.
 Réponse
D1 = (a ; b)
D2 = (a ; c)
D3 = (a ; d)
D4 = (b ; c)
D5 = (b ; d)
D6 = (c ; d)
Étape 1 : On cherche tout d’abord tous
les sous-ensembles de 2 éléments
qu’on peut construire à partir de A
D7 = (b ; a)
D8 = (c ; a)
D9 = (d ; a)
D10 = (c ; b)
D11 = (d ; b)
D12 = (d ; c)
A42 
4! 4  3  2!

 12
2!
2!
Étape 2 : On cherche ensuite pour chaque
sous-ensemble les différentes dispositions
ordonnées qu’on peut avoir
Analyse combinatoire: Arrangement sans répétition
 Exemple 1

Dans une compétition de patinage artistique, trois
médailles (or, argent, bronze) sont convoitées par douze
candidates. De combien de façons l’attribution de ces
médailles peut-elle se faire s’il ne peut y avoir d’ex æquo
?
 Réponse
Rq1 : chaque candidat ne peut avoir qu’une seule médaille.
Rq2 : une médaille ne peut être attribuer qu’un seul candidat puisque il
ne peut y avoir d’ex æquo.
12 1110  1320
Méthode 1 : principe de multiplication
A123 
12!
12 1110  9!

 1320
(12  3)!
9!
Méthode 2 : Arrangement
Analyse combinatoire: Arrangement sans répétition
 Exemple 2
Dans un groupe on compte 18 filles et 13 garçons.
On veut former un comité exécutif de quatre membres
pour remplir les postes de président, de vice-président, de
secrétaire et de trésorier. De combien de façons peut-on
former ce comité :
a) s’il n’y a pas de contrainte ?
b) si les postes de président et de secrétaire doivent être
occupés par une fille et les autres postes par un garçon ?
Analyse combinatoire: Arrangement sans répétition
 Réponse
a) S’il n’y a pas de contrainte ?
Méthode 1 : principe de multiplication
31 30  29  28  755160
Méthode 2 : Arrangement
A314 
31!
31 30  29  28  27!

 755160
(31  4)!
27!
a) Si les postes du président et du secrétaire doivent être occupés une
fille et les autres postes par un garçon ?
Méthode 1 : principe de multiplication
18 1317 12  47736
Méthode 2 : Arrangement
18!
13!
A182  A132 

 18 17 13 12  47736
(18  2)! (13  2)!
Analyse combinatoire: Arrangement avac répétition
 Définition
Soit un ensemble S de n éléments distincts ;
on appelle arrangement avec répétitions de ces n
éléments (r  n) toute disposition ordonnée de r
éléments distincts choisis dans S avec répétition.
Le nombre de ces dispositions est le suivant :
A  n  n  n  ...  n  n
p
n
p
Analyse combinatoire: Arrangement avec répétition
 Exemple 1:
combien de mots de 3 lettres peut-on former
avec l’alphabet ( on ne tient pas compte du sens
du mot).
 Réponse:
ce nombre de mots est égal au nombre
d’arrangement avec répétition de 3lettres parmi
les 26 lettres de l’alphabet soit:
A  26  26  26  26
3
26
3
Analyse combinatoire: Arrangement avec répétition
 Exemple 2:
Quelle est la capacité théorique d’un standard
téléphonique de numéros à 10 chiffres?
 Réponse:
Chaque chiffre peut être choisi de 10 façons.
On dispose de
A  10
10
10
possibles théoriquement
10
lignes
Analyse combinatoire: Permutation sans répétition
• Définition
Soit un ensemble A de n éléments distincts ; une
permutation sans répétitions de ces n éléments est
un arrangement sans répétitions de ces n éléments
pris n à la fois.
Une permutation sans répétition de n éléments n’est
qu’une façon particulière d’ordonner ces éléments.
Ainsi le nombre de permutations est déterminé de la
manière suivante :
Pn 
n
An
 n!
Analyse combinatoire: Permutation sans répétition
• Exemple 1:
Soit un ensemble A = {a, b, c}, on cherche toutes
les dispositions ordonnées de ces 3 lettres.
• Réponse:
D1 = (a ; b ; c)
D2 = (a ; c ; b)
D3 = (b ; a ; c)
D4 = (b ; c ; a)
D5 = (c ; a ; b)
D6 = (c ; b ; a)
A33 
3! 3  2

 6  P3  3! 3  2 1
0!
1
Case 1
Case 2
Case 3
Objet 1
Objet 2
Objet 3
3 possibilités
Case 1
Case 2
Case 3
2 possibilités
Case 1
Case 3
1 possibilité
Case 1
Analyse combinatoire: Permutation sans répétition
• Exemple 2 :
Calculer le nombre de possibilités qu’il y a de ranger
sur une étagère de bibliothèque 5 gros livres, 4
livres de grosseur moyen et 3 livres beaucoup plus
minces. Sachant que les livres de même dimension
sont placés les uns à coté des autres.
• Réponse :
G
M P
5!4!3!3! 103680
5!
4! 3!
Analyse combinatoire: Permutation sans répétition
• Exemple 3 :
Dans le cadre d’un jeu, il faut placer sur une rangée
de cinq sièges cinq enfants dont Anne et Pierre.
Trouvons le nombre de façons de procéder :
a)
b)
c)
s’il n’y a pas de contrainte ?
si Anne et Pierre doivent être assis côte à côte ?
si Anne et Pierre ne doivent pas être assis côte à côte ?
• Réponse :
a) 5! = 120 façons différentes.
b) Il y a quatre façons pour que Anne et pierre s’assoient l’un à
coté de l’autre : APEEE, EAPEE, EEAPE et EEEAP.
Analyse combinatoire: Permutation sans répétition
• Réponse exemple ...
Cas 1
A P E E E
2!  3! = 12 façons différentes
Cas 2
E A P E E
2!  3! = 12 façons différentes
Cas 3
E E A P E
2!  3! = 12 façons différentes
Cas 4
E E E A P
2!  3! = 12 façons différentes
Analyse combinatoire: Permutation sans répétition
Réponse exemple ...
c) Le nombre de façons pour que Anne et pierre ne soient pas
assis l’un à coté de l’autre est le suivant :
5! – 48 = 120 – 48 = 72 façons différentes
Le nombre de permutations pour
que Anne soit à coté de Pierre
Le nombre total de permutations
Analyse combinatoire: Permutation avec répétition
• Définition
Soit un ensemble A de n éléments non tous
discernables; on repartit ces n éléments en k
groupes discernable. Les éléments d’un même
groupe sont indiscernables.
Le nombre de permutations avec répétitions de
ces n éléments est donné par;
n!

Pn1,n2,,,,,,,,,,nk ! ! !
n1 n2 nk
n
Analyse combinatoire: Permutation avec répétition
• Exemple:
De combien de façon peut-on ranger 5 boules
blanche, 3boules noires et 2 boules rouges si l’on suppose
indiscernables les boules de même couleur.
10
5, 3, 2
P
10!

5 !3 !2 !
Analyse combinatoire: Combinaison sans répétition
Définition
Soit un ensemble A de n éléments distincts ; toute
disposition non-ordonnée de r éléments distincts
(r  n) choisis dans A est une combinaison sans
répétitions de r éléments pris à la fois.
Une combinaison sans répétition est le nombre de
sous-ensembles de cardinalité r qu’on peut construire
à partir d’un ensemble A de cardinalité n. Ce nombre
est déterminé de la manière suivante :
p
A
n
!
p
Cn 
 n
p!(n  p)! p!
Analyse combinatoire: Combinaison sans répétition
• Exemple explicatif
Soit un ensemble A = {a, b, c, d}, on cherche tous
les sous-ensembles de cardinalité 2 qu’on peut
construire à partir de l’ensemble A.
• Réponse
SE1 = {a, b}
SE2 = {a, c}
SE3 = {a, d}
SE4 = {b, c}
SE5 = {b, d}
SE6 = {c, d}
4!
4  3  2!
C 

6
2!(4  2)!
2!2!
4
2
Analyse combinatoire: Combinaison sans répétition
• Exemple 1:
Dans une université, il y a 5 économistes et 6
sociologues. On doit former un comité composé de
3 économistes et de 3 sociologues. Combien de
comités différentes pourrait-on former si :
a) Tous peuvent y participer
b) Un économiste ne peut y participer
c) Deux sociologues doivent absolument faire partie de ce
comité.
Analyse combinatoire: Combinaison sans répétition
• Réponse:
a)
5!
6!
C C 

 200
3!(5  3)! 3!(6  3)!
b)
4!
6!
C C 

 80
3!(4  3)! 3!(6  3)!
c)
5!
4!
C C 

 40
3! (5  3)! 1! (4  1)!
3
5
3
4
3
5
3
6
3
6
1
4
Analyse combinatoire: Combinaison sans répétition
Exemple 2
De combien de façons on peut sélectionner 4 personnes d’un
groupe de 5 couples mariés :
a) S’il doit y avoir deux hommes et deux femmes ?
b) Si le mari et son épouse ne peuvent être choisis ?
Réponse
5!
C C  (
) 2  100
2!(5  2)!
b) Il y a cinq cas :
a)
2
5
2
5
Cas1 : choisir 4 homme et aucune femme OU
Cas2 : choisir 3 hommes et une femme qui n’est pas l’épouse d’aucun de ces derniers OU
Cas3 : choisir 2 hommes et 2 femmes qui ne sont pas épouses d’aucun de ces derniers OU
Cas4 : choisir un homme et 3 femmes qui ne sont pas l’épouse de ce dernier OU
Cas5 : choisir 4 femmes et aucun homme
Analyse combinatoire: Combinaison sans répétition
Réponse exemple 2 …
Cas1 : choisir 4 hommes et aucune femme OU
C45  C05  5
Cas2 : choisir 3 hommes et une femme qui n’est pas l’épouse d’aucun de ces derniers OU
5
53
3
1
C C
 20
Cas3 : choisir 2 hommes et 2 femmes qui ne sont pas épouses d’aucun de ces derniers OU
C25  C252  30
Cas4 : choisir un homme et 3 femmes qui ne sont pas l’épouse de ce dernier OU
C15  C351  20
Cas5 : choisir 4 femmes et aucun homme
C05  C45  5
5 + 20 + 30 + 20 + 5 = 80 façons différentes
Analyse combinatoire: Combinaison sans répétition
• Exemple 3
Un club de bridge est composé de cinq couples de
gens mariés. Afin d’organiser un tournoi, il faut
choisir un comité de quatre membres. De combien
de façons ce comité peut-il être constitué :
a)
b)
s’il n’y a pas de contrainte ?
si les femmes doivent être représentées ?
• Réponse
a)
10!
C 
 210
4!(10  4)!
10
4
b) C15  C35  C25  C25  C35  C15  C45  C05  205
Une femme
2 femmes
3 femmes
4 femmes
Analyse combinatoire: Combinaison avec répétition
Définition:
Le nombre de combinaisons de r éléments pris
parmi n éléments avec remise est
C
p
n  p 1
(n  p  1)!

p!(n  1)!
Exemple:
Les combinaisons avec répétition à deux
éléments
de
l’ensemble
{1,2,3}
sont:
{1,1},{1,2},{1,3},{2,2},{2,3} et {3,3}
2
3 2 1
C
(3  2  1)!

6
2!(3  1)!
Probabilité conditionnelle: Introduction
Définition:
La notion des probabilités conditionnelles
s’introduit chaque fois que l’on dispose d’une
information partielle sur le résultat d’une expérience
aléatoire.
D’une manière générale, il est possible de
définir la probabilité d’un événement A sachant
qu’on possède une certaine information représentée
par un autre événement B. Cette probabilité
conditionnelle sera représentée formellement de la
manière suivante :
P( A / B)
L’information qu’on possède
ou qu’on connaît
P(A sachant que B s’est réalisé) =
Probabilité conditionnelle: Introduction
Exemple:
on lance un dé à 6 faces. Soient les
événements;
A « avoir le chiffre 2 »
C « avoir un chiffre impair »
B « avoir un chiffre pair » D « avoir un chiffre ˃0 »
1
P ( A) 
6
1
P(A sachant que B s’est réalisé) =
3
(˃) P(A)
P(A sachant que D s’est réalisé) = 0 (˂) P(A)
P(A sachant que C s’est réalisé) =
1
6
(=) P(A)
Probabilité conditionnelle: Introduction
Si A est un événement associé à une expérience
aléatoire et B un événement de probabilité non nulle
associé à la même expérience aléatoire, alors la
probabilité de réalisation de A lorsque B est réalisé
s’appelle la probabilité conditionnelle de A sachant B
et l’on note :
P( A  B)
P( A | B) 
où P(B)  0
P( B)
Probabilité conditionnelle: Introduction
Exemple:
Dans l’expérience aléatoire consistant à lancer
deux dés, quelle est la probabilité d’avoir une somme
égale à 8 sachant que les deux dés indiquent des
résultats différents ?
Réponse
A : Obtenir une somme égale à 8
B : les deux dés indiquent des résultats différents
S  (1,1), (1,2), (1,3),..., (6,6) 36 résultats
A  (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) 5 résultats
B  (1,2), (1,3)..., (1,6), (2,1), (2,3),..., (2,6),...
P( A / B) 
P( A  B) (4 / 36)

 0.133
P( B)
(30 / 36)
6!
A   30
4!
6
2
30 résultats
Probabilité conditionnelle: Indépendance en probabilité
Lorsque la réalisation d’un événement B ne modifie pas la
probabilité de la réalisation d’un événement A, on dit alors que
B est indépendant de A.
Définition
Les événements A et B sont dit indépendants en probabilité si
et seulement si :
P( A  B)  P( A)  P( B)
Note : indépendance versus incompatibilité (ou m.e)
Incompatibilité signifie que les deux événements A et B ne
peuvent se réaliser simultanément et par conséquent P( A  B)  0
Indépendance signifie que la probabilité de réalisation de
l’événement A n’est pas modifiée par la réalisation de
l’événement B et par conséquent P( A | B)  P( A)
Probabilité conditionnelle: Indépendance en probabilité
Exemple:
Soit l’expérience consistant à établir la composition d’une famille de trois
enfants ; considérons les événements suivants :
A: l’aînée est une fille
B: le deuxième enfant est une fille
C: la famille comprend une suite de deux filles
Parmi eux déterminons quelles sont les paires d’événements indépendants.
Réponse
S = {(f, f, f), (f, f, g), (f, g, f), (g, f, f)
(g, g, g), (f, g, g), (g, f, g), (g, g, f)}
A = {(f, f, f), (f, f, g), (f, g, f), (f, g, g)}
P(A) = 4/8 = 0.5
B = {(f, f, f), (f, f, g), (g, f, f), (g, f, g)}
P(B) = 4/8 = 0.5
C = {(f, f, f), (f, f, g), (g, f, f)}
P(C) = 3/8 = 0.375
Probabilité conditionnelle: Indépendance en probabilité
A B
= {(f, f, f), (f, f, g)}
P( A  B)  2 / 8  0.25
A C = {(f, f, f), (f, f, g)} P( A  C )  2 / 8  0.25
B  C = {(f, f, f), (f, f, g), (g, f, f)} P( B  C )  3 / 8  0.375
On cherche à savoir si
P( A  B)  P( A)  P( B)
0.25 = 0.5 * 0.5
oui
P( A  C )  P( A)  P(C ) 0.25 ≠ 0.5 * 0.375 non
P( B  C )  P( B)  P(C ) 0.375 ≠ 0.5 * 0.375 non
Probabilité conditionnelle: Indépendance en probabilité
Formule des probabilités composées
P( A  B)  P( A)  P( B | A)
 P( B)  P( A | B)
avec P( A)  0 et P( B)  0
Découle directement de la définition
de la probabilité conditionnelle
Probabilité conditionnelle: Indépendance en probabilité
Exemple:
Soit l’expérience qui consiste à tirer au hasard, l’une après
l’autre, sans remise, deux ampoules électriques dans une boîte
contenant 10 ampoules dont 3 sont défectueuses et 7 sont
bonnes. Soient :
• Di l’événement «l’ampoule choisie au ième tirage est
Défectueuse», i = 1,2.
• Bi l’événement «l’ampoule choisie au ième tirage est Bonne»,
i = 1,2.
On pourrait s’intéresser à l’événement choisir deux ampoules
défectueuses dans les deux tirages :
La probabilité associée à cet événement est : P( D2  D1 )
P( D2  D1 )  P( D1 )  P( D2 / D1 ) 
3 2 2
 
10 9 30
Probabilité conditionnelle: probabilité totale
Contexte
Lorsque, dans le cadre de certaines expériences aléatoires, on
cherche à évaluer la probabilité d’un événement E, il peut arriver qu’il
soit très difficile d’évaluer directement P(E) alors qu’il est assez facile
d’évaluer la probabilité de E conditionnée par d’autres événements Ei,
i= 1,..,n. Dans ce cas, il plus adéquat d’utiliser la formule des
probabilités totales.
Définition
Soit E1, E2, E3,… En, un groupe d’événements incompatibles
deux à deux et dont la réunion est l’ensemble fondamental
(partition de S) et soit E un événement quelconque de S alors :
n
P( E )   P(Ei ) . P(E|Ei )
i 1
Probabilité conditionnelle: probabilité totale
Exemple:
Dans un cégep, il y a 3 filles pour 4 garçons. Il est connu
que 35% des garçons sont des fumeurs contre seulement 20%
des filles. Trouver la probabilité qu’en interrogeant un étudiant
au hasard dans ce cégep, on choisisse un fumeur.
Réponse
F : la personne interrogée est une fille
G : la personne interrogée est un garçon
E : la personne interrogée est un fumeur
P(E) = P(F).P(E/F) + P(G).P(E/G)
= (3/7)*(0.2) + (4/7)*(0.35) = 0.286
Probabilité conditionnelle: probabilité bayes
Contexte
Dans un premier temps on obtient une partition de S
représentée par les événements E1, E2, E3,… En avec leur probabilité
P(Ei), i=1,…,n associée.
Dans un deuxième temps, on dispose d’un événement A pour
lequel on connaît les probabilités conditionnelles P(A/Ei), i=1,…,n.
On demande de calculer P(Ei/A), Ei est l’un des événements
E1, E2, E3,… En , c’est-à-dire d’évaluer les probabilités de diverses
causes de A.
Probabilité conditionnelle: probabilité bayes
Définition
Soit E1, E2, E3,… En, une partition de S telle que P(Ei)>0, i=1,…,n et
soit Ei un des événements de cette partition et A un événement
quelconque de S alors :
P( Ei / A) 
P(Ei )  P( A / Ei )
n
 P(E ) . P(A|E )
i 1
i
i
Probabilité conditionnelle: probabilité bayes
Exemple:
Un professeur sait par expérience que la probabilité de
réussir son cours est de 0,95 pour l’étudiant(e) qui travaille
régulièrement, de 0,5 pour celui ou celle qui travaille plus ou
moins et de 0,2 pour qui ne travaille pas du tout. Il estime, de
plus, que parmi les élèves qui suivent son cours, 50 %
travaillent régulièrement et 35 % travaillent plus ou moins. Si
l’on considère un(e) étudiant(e) au hasard dans un groupe
auquel ce professeur enseigne, trouver la probabilité :
a) qu’il (ou elle) réussisse le cours
b) Qu’ayant réussi, il (ou elle) n’ait pas travaillé du tout.
Réponse
A : l’étudiant(e) qui travaille régulièrement
B : l’étudiant(e) qui travaille + ou C : l’étudiant qui ne travaille pas de tout
R : réussir le cours
Probabilité conditionnelle: probabilité bayes
Formule de
Probabilité totale
a) P(R) = P(A).P(R/A) + P(B).P(R/B) + P(C).P(R/C)
= (0.5)*(0.95) + (0.35)*(0.5) + (0.15)*(0.2) = 0.68
b)
P(C / R) 
P(C )  P( R / C ) 0.15  0.2

 0.0441
P( R)
0.68
Formule de Bayes
Enseignante: A. GUERRAB