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Université de Rennes 1
Licence Sciences Technologie Santé
L2-PCGI
Electromagnétisme
Philippe Rabiller
2005
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
1
Plan du cours
• ch.1 Introduction
• ch.2 Vecteurs et champs
• ch.3 Champ et Potentiel électrostatiques
• ch.4 Champ Magnétique
• ch.5 Induction électromagnétique
• ch.6 Propagation des ondes électromagnétiques
• ch.7 Rayonnement électromagnétique
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Chapitre 4: Champ Magnétique
4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart
4.2 Force magnétique exercée sur un conducteur
4.3 Le potentiel vecteur
4.4 Rotationnel du champ magnétique - théorème
d’Ampère
4.5 Utilisation du théorème d’Ampère
4.6 Dipôle Magnétique
4.7 Matériaux Magnétiques
4.8 …
4.9 …
4.10 …
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4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart
Nous avons vu que la conclusion de notre exploration rapide du monde de
la relativité restreinte concernant la transformation d’une force lorsqu’on
l’observe depuis un repère immobile (1) ou depuis un repère animé d’un
mouvement rectiligne uniforme (2) conduisait à:
j




F1  F1x i  F1y j  F1z k




F2  F2x i  F2y j  F2z k
1
2
F1x  F2x 
V
k
i
1
V
v 2yF2y  v 2z F2z 
2
c  v 2x V
F2y
F1y 
 1  v 2x V c2 
F1z 
1
F2z
 1  v 2x V c2 
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4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart
Soit deux charges immobiles dans le repère (2): Q à l’origine et q à la
position r . Les vitesses v2x, v2y et v2z sont nulles et les forces s’écrivent:
F1x  F2x 
j
1
2
q
r
k
Q
V
i
F1y 
F2y
F1z 
F2z




Q q x2
4o x 22  y22  z 22 
3/ 2
Q q y2
4o x 22  y 22  z 22 
3/ 2
Q q z2
4o x 22  y 22  z 22 
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3/ 2
5
4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart
Appliquons maintenant les transformations de Lorentz aux coordonnées.
Pour simplifier on prend les deux charges dans le plan (x,y).
j
1
F1x 
2
q
r
k
Q
V
i
F1y 
γ Q q x1
4o γ 2 x12  y12 
3/ 2
γ Q q y1
4o γ x  y
2
2
1

2 3/ 2
1
(1  ( V/c )2 )
F1z  0
Cette expression peut se mettre sous la forme vectorielle:



 γ Q V yk 
 Qr
F1  q 
V
3
2 3
4

r
4

c
o
o r 

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4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart
Nous pouvons donc résumer ainsi les conséquences de la relativité
restreinte:
La force exercée par une particule chargée sur une autre particule, perçue
par un observateur dans un repère fixe - alors que les deux charges sont
au repos dans un deuxième repère mobile animé d’une vitesse de
translation V – ne peut plus s’exprimer simplement par une force radiale. Il
est nécessaire d’ajouter une composante perpendiculaire à la première et
proportionnelle à la vitesse V . Tout se passe donc comme si on ajoutait un
champ supplémentaire: le champ magnétique.
1
F=qE
2
Dans le repère où les charges sont au repos
q
r
q
k
Q
Q r2
E=
4or23
V
omo=c2
F=q(E+V
B)
Force de Lorentz
 Q r1
E=
4or13
mo  QV sin(q)k
B=
4 r12
Dans le repère où les charges sont mobiles
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4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart
Voyons à présent comment calculer le champ magnétique créé, non pas par
une charge ponctuelle en mouvement, mais par un courant de charges en
mouvement. Remplaçons la charge ponctuelle Q par un petit élément de
longueur dl d’un circuit électrique dans le plan (x,y) parcouru par un
courant I. Ce courant est un débit de charges, c’est à dire une quantité de
charge par unité de temps (exprimé en ampères, 1A=1Cs-1).
I
S
n
V
dl
Supposons que la section S du conducteur électrique est constante sur toute
la longueur et que n est la densité homogène de charges mobiles (de charge
élémentaire e). La quantité de charge comprise dans l’élément de circuit est
Q = n e S dl et le courant I donné par dQ/dt vaut donc: I = n e S (dl/dt).
Or dl/dt représente la vitesse V des charges en écoulement. Donc en tenant
compte du fait qu’en tout point du conducteur dl et V sont parallèles on peut
aussi écrire ceci sous la forme :
I dl = Q V
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4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart
La vitesse des électrons dans les bons conducteurs électriques peut atteindre
plusieurs milliers de kilomètres par seconde, mais reste néanmoins très
petite devant la vitesse de la lumière. On peut donc remplacer  par 1 dans
la suite du cours.
D’autre part l’angle q est l’angle compris entre la direction de r et la
direction de V donc de dl. Ces deux vecteurs étant dans le plan (x,y) ils
sont perpendiculaires au vecteur unitaire k. On a donc:
QV sin(q) k = I dl r sin(q) k / r = I dl r r
Et l’élément de champ magnétique dB créé par l’élément de circuit dl est
alors donné par:
mo I dl r
dB = 4
r3
Il s’agit de la loi de Biot et Savart. Dans le système international le champ magnétique
s’exprime en Tesla (T), le courant électrique en ampères (A) et les longueurs en mètres (m).
La constante mo vaut alors 4 10-7.
!
Le vecteur r donne la position de l’endroit où on calcule le champ, par rapport
à l’élément de circuit qui est la source de ce champ.
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4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart
Le courant I passant à travers une section dS, peut être écrit sous la forme
du produit de cette section par une densité de courant j: I = j ·dS.
Ainsi pour un élément de circuit de longueur dl et de section dS, le produit
I dl prend la forme (j·dS) dl = j d3r’où d3r’représente un élément de volume
du circuit générateur de champ magnétique.
Et la loi de Biot et Savart se généralise de la manière suivante pour un
circuit où le courant électrique I est réparti dans l’espace avec une densité
de courant j (r ’).
V’
r (r ’)
+
m
B ( r ) = 4o
’
j (r ’)
V
r (r ’)
r3
d3r ’
r’
Boucles de courants microscopiques dans certains
matériaux « MAGNETIQUES »  AIMANTS
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4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart
Quelques cas modèles de calcul du champ magnétique à partir de la loi de
Biot et Savart
• Fil rectiligne infini
 Symétrie axiale + fil infini  B ne dépend que de
la distance au fil r.
I
r
dB
a
 |dl r| = dl r sin(q) 
r
q
dl
 Elément dl // Oz  dl r // plan Oxy.
m I dl sin(q)
o
dB = 4
r2
 On exprime dl, sin(q) et r en fonction de r et a.
· l / r = tg(a) 
· sin q = cos a
· r = r / cos a
z
y
x
m I
o
 dB = 4r
cos(a) da
dl = r da / cos2a
m I
a = /2
m I
o
o
B = 4r
[sin(a)] 2 = 2r
a1=-/2
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4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart
« Règle du tire-bouchon »
mo
Rappelons l’expression de la loi de Biot et Savart: dB = 4
I dl
r
r3
Si on regarde dans le sens du courant, les lignes de champ sont:
• dans un plan perpendiculaire à l’élément de courant et au point où on
calcule le champ
• dirigées dans le sens de rotation des aiguilles d’une montre.
On peut donc retrouver la direction des lignes de champ en utilisant la règle
du tire-bouchon: « le courant avance comme le tire-bouchon tourne dans
les sens des lignes de champ».
I
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4.1 Champ magnétique, loi de Biot et Savart
• Spire circulaire: calcul sur l’axe de symétrie
 Par symétrie, Bx = By = 0
y
 Projection sur direction z
dBz = mo I dl
 cos(w)
2
I
a
w
4 r
x
dB
r
a
Bz = mo I 2a
cos(w)
2
4r
w
dBz
z
mo I a2
3(a)
=
B
sin
Bz =
o
2(a2+ z2)3/2
 Au centre de la spire:
m I
o
Bo = 2a
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4.2 Force magnétique exercée sur un conducteur
Plaçons un élément de circuit électrique, de longueur dl et parcouru par un
courant électrique I, dans un champ magnétique B. Nous supposons que le
champ électrique ambiant est nul et ne nous intéressons donc qu’à la
composante de la force magnétique.
dl
I
B
!
Ici le champ magnétique et l’élément de circuit
qui est soumis au champ sont au même endroit.
La force totale exercée par le champ magnétique sur l’élément de longueur
dl est la somme de toutes les forces de Lorentz exercées individuellement
sur toutes les charges élémentaires, en nombre N = n S dl.
F=NqV
B = QV
B
F = I dl B
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4.2 Force magnétique exercée sur un conducteur
Le champ crée par un circuit est l’intégrale (la somme) du champ crée par
un élément infinitésimal en sommant sur la totalité du circuit.
B=
mo I
4

dl
r
r3
De même, la force exercée par un champ magnétique sur un circuit rigide
est l’intégrale de la force exercée sur tout élément infinitésimal et en
sommant sur la totalité du circuit.
F =
 I dl
’
’
B
Ainsi la force s’exerçant mutuellement entre deux circuits rigides parcourus
par des courants I et I’ est donnée par:
- +
mo I’ I
dl ’ ( dl r )
dl
F = 4
- +
r3
dl r r

dF
I’
dl ’
I
Il peut également s’exercer un couple !
 Moteurs rotatifs
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4. 3 Le potentiel vecteur
De même que le champ électrique dérive d’un potentiel électrostatique
scalaire, le champ magnétique dérive d’un potentiel vectoriel: le potentiel
vecteur.


B A
Si l’intérêt de manipuler un champ scalaire plutôt qu’un champ vectoriel est
évident dans le cas de l’électrostatique, l’intérêt de manipuler un potentiel
vecteur l’est moins à priori, mais permet d’une part de faire un parallèle entre
électrostatique et magnétisme et recouvre tout son sens lorsqu’on traite par
exemple l’interaction rayonnement matière dans le cadre de la mécanique
quantique.
Rappelons quatre identités vectorielles. Soit deux vecteurs A et B et une
fonction scalaire f.
 •(  A) = 0
 •( A B) = B•( A) - A•( B)
 (fA ) = (f ) A + f ( A)
 •( fA ) = (f )•A + f •A
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4. 3 Le potentiel vecteur
Divergence du champ magnétique :
Calculons la divergence du champ magnétique à partir de l’expression

    μ o j r '   r r '  3 
généralisée de la loi de Biot et Savart:
 B   
d r'
m
 •B = 4o

 
 4π
’)
j
(r
•
r (r ’)
r3
r3


d3r ’
Nous avons pu inverser l’opérateur Nabla et l’intégrale car ces deux opérations
agissent sur des coordonnées différentes (Nabla sur « r » et l’intégrale sur « r’ »).
Appliquons ensuite la deuxième identité vectorielle au terme de droite de
l’équation:
 •( A B) = B•( A) - A•( B)
• j
r
r3
= r3 • 
r
j
- j• 
r
r3
0
Le premier terme de droite de l’équation est nul car  agit sur des fonctions
de r et j ne dépend que de r’.
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4. 3 Le potentiel vecteur
Divergence du champ magnétique :
Pour calculer le second terme, rappelons que  agit sur des fonctions de r,
indépendamment de r’. On peut donc, pour simplifier, faire le calcul pour la
valeur particulière r’=0.
Plaçons nous dans un repère cartésien: r2 = x2 + y2 + z2

-3zy
z
 z = 
=
y (x2+y2+z2)3/2
y r3
r3
-3yz
y
 y = 
=
z (x2+y2+z2)3/2
z r3
r3
r =
r3
 z
y r3
 y
z r3
 x
z r3
 z
x r3
 y
x r3
 x
y r3
+ permutations
circulaires
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
r = 0
r3
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4. 3 Le potentiel vecteur
Divergence du champ magnétique :
Finalement, nous venons de montrer que la divergence du champ magnétique
est nulle.
 •B = 0
Potentiel vecteur :
Rappelons maintenant la première des identités vectorielles
 •(  A) = 0
Nous voyons que nous pouvons toujours définir le champ magnétique
comme étant le rotationnel d’un autre vecteur que nous appellerons
Potentiel Vecteur. Le potentiel vecteur n’est défini qu’à un vecteur près dont le
rotationnel est nul ! On parle alors de choix de jauge.

( A+ C) = 
A + 
C =
A
si
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
C = 0
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4. 3 Le potentiel vecteur
Potentiel vecteur :
Pour calculer le potentiel vecteur, nous repartons de l’expression générale du
champ magnétique et utilisons la troisième identité vectorielle:
 (fA ) = (f ) A + f ( A)
m
B ( r ) = 4o

j (r ’)
r (r ’)
r3
d3r ’
1
Mais avant, faisons apparaître le terme r3 sous une forme différente : -
r
r
1

x (x2+y2+z2)1/2

1
r =
1

y (x2+y2+z2)1/2
1

z (x2+y2+z2)1/2
x
r3
= -
y
r3
z
r3
= -
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r
r3
20
4. 3 Le potentiel vecteur
Potentiel vecteur :
On peut donc écrire le champ magnétique sous la forme:
B ( r ) = 4o


1
r
j (r ’) d3r’
= 
j
r
-
1

r
m
Or

1
r
j
j (r ’)
0
m
Ce qui conduit pour le champ magnétique à: B ( r ) = o
4

j (r ’) 3 ’
dr
r
On aboutit donc à la définition du potentiel vecteur (après inversion de
« Nabla » et du « Signe Somme »:


B A
m
A ( r ) = 4o

j (r ’) 3 ’
dr
r
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4. 3 Le potentiel vecteur
Parallèle avec le potentiel électrostatique :
Replaçons nous dans la même géométrie que celle adoptée pour l’étude du potentiel
électrostatique:
V( r ) =
r- r’
r’
r
1
4o

r( r ’)d3r’
| r - r ’|
- V( r ) =
+
m
A ( r ) = 4o
 | r - r ’|
j ( r ’)
d3r ’

!
Scalaire !!!
E( r )
Vectoriel !!!
A( r ) = B( r )
Ces lois ne sont vraies, sous cette forme, que dans le cas
statique. Nous verrons qu’il faut les compléter en
électrodynamique…
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4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère
En électromagnétisme il y a le théorème de Gauss qui relie le flux du champ
électrique à travers une surface fermée à la charge électrostatique totale
contenue dans le volume délimité par la dite surface.
dS
E =
S E·dS =
qi
=
o
E
Qtotal
Q
o
V
SV
De la même manière il existe un autre théorème que nous allons démontrer le théorème d’Ampère - qui relie la circulation du champ magnétique le
long d’un contour au courant total traversant la surface s’appuyant sur ce
contour.
CB =
L B·dl = m  I = m I
o
i
I
B
dl
o total
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SG
G
23
4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère
Pour mener à bien la démonstration nous avons besoin de calculs
préliminaires.
r- r’
Montrons que 
1
1
= - ’
| r - r ’|
| r - r ’|
| r - r ’| = ( (x-x’)2 + (y-y’)2 + (z-z’)2 )1/2
r
r’
+
2(x-x’)
1
Vx = - ·
2 ((x-x’)2 +(y-y’)2 +(z-z’)2 )3/2
V=
1
| r - r ’|
Vx = -
1
r - r’
=| r - r ’|
| r - r ’|3

Ici, gradient dans le
monde « sans prime »
x-x’
| r - r ’|3
1
1
r - r’
Par symétrie:  | r - r ’| = | r - r ’|3 = -  | r - r ’|
’
(on remplace r par r’)
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24
4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère
Montrons à présent que ·A = 0 pour une distribution de charge statique.

m
·A ( r ) = 4o
·
j ( r ’)
| r - r ’|
d3r ’
 •( fA ) = (f )•A + f •A
·
j ( r ’)
| r - r ’|
=
inversion de  et 
identité d' algèbre vectoriel le
1
1
·j ( r ’) + j ( r ’) · 
| r - r ’|
| r - r ’|
 

0  agit dans le " monde" en r et j dépend de r '
Remplaçons le gradient en « r » par son homologue en « r’».
’ ·
j ( r ’)
| r - r ’|
Et utilisons l’égalité:
=
1
1
’·j ( r ’) + j ( r ’) · ’
| r - r ’|
| r - r ’|
1
1
’
=

 | r - r ’|
| r - r ’|
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25
4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère
·
Nous obtenons alors:

| r - r ’|
’)
j
(
r
1
=
’·j ( r ’) - ’ ·
| r - r ’|
| r - r ’|

r
" séparation des mondes" en
m
·A ( r ) = 4o
j ( r ’)
1
’·j ( r ’) d3r’ | r - r ’|
’·j ( r ’) exprime la loi de
conservation de la charge et
vaut donc -dr(r ’)/dt.
 V d3r = dV   V = dV /d3r
mo
4

’ ·
j ( r ’)
| r - r ’|
d3r ’
Théorème de la divergence  intégrale de
surface contenant tous les courants. A la
surface le courant est alors nul ou tangent à
la surface. Donc l’intégrale est nulle.
 

j(r ' )  dS'
 r  r'
V = j  [j] = charge/unité de temps/unité surface
d j /d3r  (charge /unité volume )/unité de temps
On a donc :

r'
et
1

·A ( r ) = moo t
4o

et
 

j(r ' )  0 ou
 

j(r ' )  dS'
r ( r ’)
d3r’ = c-12 Vt(r)
| r - r ’|
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26
4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère
Nous retrouvons, via les potentiels vecteur et électrostatique, que magnétisme
et électrostatique sont bien deux grandeurs liées, ce que nous avait appris
l’introduction à la relativité restreinte.
·A ( r ) + c12 Vt(r) = 0
Dans le cas de courants continus, ou régime stationnaire, le potentiel
électrostatique ne dépend pas du temps et la divergence du potentiel vecteur
est nulle, ce que nous cherchions à démontrer.
 V (r)
t = 0

Rotationnel du champ magnétique :
·A ( r ) = 0
 B =  (  A)
Nous allons, une nouvelle fois, utiliser une identité que nous ne
démontrerons pas ici (mais que vous pouvez vérifier vous même).
 (  A) = (·A) - 2A
vecteur
0
vecteur
2Ax
2Ay
2Az
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27
4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère
Reprenant l’expression du potentiel vecteur trouvée précédemment et notant
encore une fois que l’opérateur Nabla n’agit que sur les coordonnées en
« r », on peut donc écrire le rotationnel du champ magnétique sous la forme:

2
m
B = -  A = - 4o


mo
B = -  A = - 4

Il faut donc calculer 2
2
’)
j
(
r
d3r ’
2
| r - r ’|
j ( r ’)  2
1
| r - r ’|
d3r ’
1
1
1
=
·

=
·

| r - r ’|
| r - r ’|
R
Où pour alléger l’écriture nous posons:
R = | r - r ’| = (x-x’)2 + (y-y’)2 + (z-z’)2
1/2
= X 2 + Y 2 + Z2
1/2
Et donc les opérations de dérivées seront en "/X " etc.
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28
4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère
Calculons la composante suivant X de 
 1

1
=
X R
X X2 + Y2 + Z2
1
R
- (1/2) 2X
1/2
= X 2 + Y 2 + Z2
De même pour les composantes suivant Y et Z de 
 1

1
=
Y R
Y X2 + Y2 + Z2
 1

1
=
Z R
Z X2 + Y2 + Z2
1
R
- (1/2) 2Y
1/2
-X
=
3/2
R3
= X 2 + Y 2 + Z2
-Y
=
3/2
R3
- (1/2) 2Z
1/2
= X 2 + Y 2 + Z2
3/2
= -ZR3
On aurait pu déduire les deux dernières expressions par permutations circulaires ...
Le laplacien est alors donné par la divergence du vecteur que nous venons de trouver:
2
 -X
 -Y
 -Z
= ·  1 =
+
+
X R3
Y R3
Z R3
| r - r ’|
R
1
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29
4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère
Calculons la composante suivant X du laplacien :
- 
X
X R3
= -

X
X X2 + Y2 + Z2
= -
X2 + Y2 + Z2
3/2
3/2
- X (3/2) 2X X2 + Y2 + Z2
X2 + Y2 + Z2
1/2
3
2X2 - Y2 - Z2

X
=
X R3
R5
Et par permutation circulaire :
2X2 - Y2 - Z2

| r - r ’| = +2Z2
2
1
2
1
| r - r ’| = 0
+ -X2 + 2Y2 - Z2
+ -X2 - Y2
R5
Sauf pour r = r’ !!!
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30
4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère
En conclusion cette expression du rotationnel du champ magnétique, sous forme
intégrale, n’a de sens que localement, c’est à dire pour r’  r !!!


mo
B = -  A = - 4
2
j ( r ’)  2
1
| r - r ’|
d3r ’
Soit alors un petit volume V ’entourant r et suffisamment petit pour considérer j(r’)
homogène sur ce volume - donc égal à j(r) - et qui peut être sorti de l’intégrale .
Comme nous l’avions vu pour le gradient de 1/|r-r’|, nous avons l’égalité suivante
pour les laplaciens dans les mondes en « r » et « r’»:
2
1
| r - r ’|
= -  ’2
1
| r - r ’|
On a alors pour le rotationnel du champ magnétique:
 B =
mo j ( r)
4
En « r »
! V

 ’2
V ’
1
| r - r ’|
d3r ’
En « r ’ »
’ tend vers zéro autour de la position r où on regarde le champ magnétique B
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31
4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère
Appliquons le théorème de la divergence à l’équation obtenue:

mo j ( r)
B =
4

’2
V ’
1
| r - r ’|
 ’2

’
S’

S’
 B =
mo j ( r)
4

1
| r - r ’|
= ’·’
1
| r - r ’|
1
| r - r ’| ·dS
( r - r ’)
| r - r ’|3
dS
2
R
S’
d3r ’
·dS
S ’ est une petite surface entourant r. On
peut donc prendre une sphère et R = r-r’
est parallèle à dS
Or dS en coordonnées sphériques est égal à
R2 sin(q)dq dj . Donc l’intégrale vaut 4 .
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32
4. 4 Rotationnel du champ magnétique - théorème d’Ampère
On aboutit donc après ces quelques étapes de calcul à l’expression locale du
théorème d’Ampère:
 B( r) = mo j ( r)
!
Expression valable uniquement en régime stationnaire et pour des matériaux non magnétiques !!!
Nous pouvons alors intégrer le rotationnel du champ magnétique, ainsi que la densité
de courant sur toute une surface:

B( r) ·dS = mo
S
 j ( r) dS
S
Courant traversant
la surface S
Théorème de Stokes
 B( r)·dl
C
= moI
Théorème d’Ampère
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
33
4.5 Utilisation du théorème d’Ampère
Long cylindre conducteur :
Soit un long cylindre conducteur parcouru par un courant Io de densité homogène j
sur toute la section du cylindre de rayon R : Io =  R2 j
Si on considère « long » comme « infini », on sait que par symétrie seule la
composante azimutale est non nulle. On prend comme contour adapté à la symétrie
un cercle perpendiculaire à l’axe du conducteur.
Pour un cylindre de rayon r  R : I(r) =  r2 j
m o Io r
B(r  R ) =
2 R2
B( r)·dl = 2 r B = mo I(r)

C
Symétrie axiale B ne dépend que de r !!!
Pour un cylindre de rayon r  R :
B(r  R ) =
m o Io
2 r
I(r) =  R2 j = Io
2 r B = mo Io
B(r)
Le champ magnétique pénètre linéairement
dans un milieu conducteur parcouru par un
courant homogène
R
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r
34
4.5 Utilisation du théorème d’Ampère
Bz
z
Long solénoïde:
z
Bj
j r
z
Br
Par symétrie B ne dépend
ni de z ni de j
y
x
Composante radiale Br
Comme  •B = 0, alors le flux de B à travers une
surface fermée est nul.
 B·dS = + Bz·dS = +z
 B·dS = + Br·S·l
I

Br = 0
 B·dS = - Bz·dS = -z
Ceci est vrai que le cylindre soit à l’intérieur ou à l’extérieur
du solénoïde.
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35
4.5 Utilisation du théorème d’Ampère
Long solénoïde: Composante azimutale Bj
z
La circulation du champ magnétique le long d’un contour
du type C (de rayon r) où C’ donne:
 B·dl = 2rB
C
C
j
• A l’intérieur du solénoïde, le contour C n’est traversé par
aucun courant et donc Bj=0 partout à l’intérieur.
• Le contour C’ est traversé une fois par le courant I et donc à
l’extérieur du solénoïde la composante azimutale est donnée par
I
(sauf si le pas de l’hélice est nul, auquel cas le contour n’est traversé
par aucun courant) :
Bj = moI /2r
à l’extérieur
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36
4.5 Utilisation du théorème d’Ampère
Long solénoïde:
Composante axiale Bz
Comme  B( r) = mo j ( r) = 0 en dehors du conducteur,
on a donc à l’intérieur comme à l’extérieur du solénoïde:
Bz
=0
r
z
( Br = 0 et rBj=cste )
C’est à dire que Bz est constant et peut prendre au plus deux
valeurs distinctes à l’intérieur ou à l’extérieur du solénoïde.
•Vu de loin ( r   ), le solénoïde ressemble à un fil infini
et Bz(r ) = 0, donc Bz=0 partout à l’extérieur.
G
I
•Le contour G, de longueur h=1 suivant « z » est traversé par
un courant NI où N est le nombre de spires par unité de
longueur du solénoïde. La circulation de B le long de ce
contour vaut Bz·h = Bz = mo N I où Bz est alors la seule
composante non nulle de B à l’intérieur du solénoïde.
Bz = moN I
à l’intérieur
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37
4.5 Utilisation du théorème d’Ampère
Long solénoïde:
Résumé et Lignes de champ
z
Br = 0
Bj = moI /2r
Bz = moN I
= 0 si hélice à pas nul !!!
à l’extérieur
à l’intérieur
I
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38
4.6 Dipôle Magnétique
• De même que la notion de développement multipolaire est importante et en
particulier celle de dipôle électrique car souvent utilisée pour modéliser le
comportement de la matière au point de vue électrique, il est important
également de faire apparaître la notion de dipôle magnétique, d’autant que les
« monopôles » magnétiques n’existent pas.
• Comme dans le cas électrique, la notion de dipôle magnétique fait référence
à une situation où l’observation du champ magnétique ou du potentiel vecteur
se fait loin du circuit qui leur donne naissance.
• Cette description est tout à fait adaptée lorsqu’on s’intéresse par exemple
aux propriétés magnétiques des atomes où les électrons gravitant autour des
noyaux constituent des boucles microscopiques de courant (diamagnétisme et
paramagnétisme électronique).
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
39
4.6 Dipôle Magnétique
Intéressons nous à la boucle de courant ci dessous, et plus particulièrement
au calcul du potentiel vecteur au point (x,0,z).
z
(x,0,z)
A
r’
r
q

x
Le plan xOz est un plan de symétrie et pour
tout élément dl à l’azimut j, il existe un autre
élément à l’azimut –j de telle sorte que les
composantes du potentiel vecteur s’ajoutent
suivant y et s’annulent suivant x.
j
Soit ej le vecteur unitaire parallèle à dl pour
l’azimut j .
a
y
dl

m
A ( r ) = 4o
j (r ’) 3 ’
dr
r
j(r’)d3r’ = I dl = I a dj ej
mI
A = 4o

2
0
a cosj dj
ej
r’
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
40
4.6 Dipôle Magnétique
 Il faut exprimer r’ en fonction de r et j .
z
• d’une part
(x,0,z)
A
r’
r
q

x
r’2 = r2 + a2 – 2ar cos.
2
r
a
a
• d’autre part r’ >> a 
 1 - 2+
cos
r
r
2r
•le produit scalaire r·a s’écrit ’ra cos ou xa cosj
j
moI
A = 4r
a
y
dl
• or x = r sinq

2
2
a
a cosj 1 - 2 + ax2 cosj dj ej
r
2r
0
mo Ia2x
A = 4 r3 ej

π
0
cos2 (mx)dx  π2
mo Ia2
A = 4 r3 r sinq ej
• expression que l’on peut mettre sous la forme:
mo m r
A = 4 r3
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
41
4.6 Dipôle Magnétique
z
• le potentiel vecteur s’exprime donc sous la forme
d’un produit vectoriel:
mo m r
A = 4 r3
A
r
• la quantité m = I S est le dipôle magnétique associé
à la boucle de courant. Son module est donné par le
produit du courant par la surface s’appuyant sur la
spire de courant jusqu’à présent supposée plane.
m
y
• Pour une boucle non plane, on peut généraliser la
notion de moment dipolaire (cf. moment inertie en
mécanique) :
x
dl
r’
+
m= 1
2

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r’ Idl
42
4.6 Dipôle Magnétique
z
Calculons à présent le champ magnétique: B( r ) = 
mo m r
A = 4 r3
B
r
x
m
    y 
m  r  m x
0
 
A( r )
ici r est quelconque
3

y/r


 mom 
A
x/r 3 
4 

0




x

  3



z
r
y
 


  mom 

  y 
 A 


4 
z  r3 






y
   x3     3 
 x  r  y  r 
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43
4.6 Dipôle Magnétique




   x3   x   2 12 2 3/2   3xz
z  r 
z  x  y z   r5



 3yz
 y


  3    y  2 12 2 3/2   5
z  r 
z  x  y z   r



 r23x2
  x    
x

x  r3  x  x2 y2z23/2 
r5



mom
B 
4 r5
 3xz 
 3yz 
 3zzr2 



 r23y2


y
y
    

y  r3  y  x2 y2z23/2 
r5


Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
44
4.6 Dipôle Magnétique
 mo m
B
4 r 5
Br
B
m
0
 
0
 m
 
mo 3(m · r )
r
Br = 4
5
r
m -m
Bm = 4o r3
r
y
x
 x
 
μo
y

 
3
4π
r
z
 
On peut remettre cette expression du champ
magnétique sous forme vectorielle indépendante
d’un choix de repère. On voit apparaître une
composante le long du vecteur r et une deuxième
dans la direction opposée au moment dipolaire
magnétique.
z
Bm
 3 xz 

 μom  z
 3 yz  
4π r 5
 3 zz  r 2 


mo 3(m · r ) · r - r2 m
B = 4
r5
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
45
4.6 Dipôle Magnétique
Analogie avec le champ électrique créé par un dipôle électrique.
z
Bm
z
Ep
Br
B
Er
E
m
r
r
p
y
x
y
x
mo 3(m · r ) · r - r2 m
B = 4
r5
E=
1
3(p · r ) · r - r2 p
4o
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r5
46
4.7 Matériaux Magnétiques
Dans les substances « magnétiques » il existe des « boucles de courant
microscopiques » qui donnent naissance à des dipôles magnétiques. Ces
dipôles peuvent s’ajouter de façon constructive et la matière devenir ainsi
« aimantée ».
Si N est la concentration en dipôles magnétiques m par unité de volume, on
définit alors l’aimantation M par unité de volume par :
M=Nm
Le potentiel vecteur produit par un élément de volume d3r’ est alors donné
par:
mo M ( r - r’ ) 3
d r’
dA = 4
3
| r - r’ |
Et comme on a déjà montré que:
Le potentiel vecteur total vaut:
’
1
r - r’
=
| r - r ’|
| r - r ’|3
m
A ( r ) = 4o

M
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’
1
| r - r’ |
d3r ’
47
4.7 Matériaux Magnétiques
On peut ramener la précédente intégrale en volume en une somme de deux
intégrales, l’une de surface et l’autre en volume faisant apparaître des
densités équivalentes de courant en surface e et volume je:
m
A ( r ) = 4o

M
’
1
| r - r’ |
d3r ’
Pour cela on va utiliser des identités, devenues familières (ou presque) :
 (fA ) = (f ) A + f ( A)
 •( A B) = B•( A) - A•( B)
La première nous permet la séparation en deux intégrales:
-m
A ( r ) = 4o

’
M
m
d3r’ + 4o
| r - r’ |

’ M
| r - r’ |
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
d3r ’
48
4.7 Matériaux Magnétiques
Dans la deuxième intégrale de la partie droite de l’équation, on reconnaît la
forme de la définition générale du potentiel vecteur, à condition de poser:
je =’
M
Pour faire apparaître une expression similaire pour la première intégrale on
utilise l’identité suivante, où le vecteur C est un vecteur constant et le
vecteur M = M/|r-r’|:
 •( M C) = C•( M) - M•( C)
 
 



 



M d3r  C    M C d3r 

 
C  M d3r


0
Le théorème de la divergence nous permet de passer d’une intégrale de
volume à une intégrale de surface:
 
 



 



M d3r  C   M C  dS  
 
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005




M dS  C
49
4.7 Matériaux Magnétiques
Ceci doit être vrai quelque soit le vecteur C constant, donc les deux
intégrales entre parenthèses sont égales:



M



3
d r    M  dS  
On a donc finalement, en posant: e = M
la surface en tout point
m
A ( r ) = 4o

n
m
e
dS’ + 4o
| r - r’ |





M  n dS
où n est le vecteur normal à
 | r - r’ |
je
d3r ’
e et je sont des densités de courants dits « Ampériens », à ne pas
confondre avec les courants « libres » générés par la mise en mouvement
des porteurs de charge libres sous l’action d’un champ électrique externe.
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
50
4.7 Matériaux Magnétiques
Champ magnétique auxiliaire: s’il existe simultanément des courants de
charges libres et des courants équivalents ampériens (matière aimantée), le
théorème d’Ampère est toujours applicable.
Dans la version « locale », avec jl et je les densités de courant libre et
équivalente, le théorème d’Ampère s’écrit donc:
 B( r) = mo ( jl ( r) + je ( r) )
En rappelant l’expression de la densité de courant équivalente en fonction de
l’aimantation je = M on aboutit à:
 B( r) = mo ( jl ( r) +  M ( r) )

( B(mr) - M )=
jl ( r)
o
Nous introduisons alors la quantité
champ magnétique auxiliaire.
H= B -M
mo
que nous appellerons
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
51
4.7 Matériaux Magnétiques
Le théorème d’Ampère prend donc une forme n’impliquant que les courants
de charges libres lorsque’il est exprimé en fonction du champ magnétique
auxiliaire:
 H( r) = jl ( r)
 H( r)·dl
= Il
Et sans rentrer dans le détail de l’origine microscopique des dipôles
magnétiques, on peut traiter l’aimantation d’un matériau aimanté dans le
cadre de la Réponse Linéaire, c’est à dire qu’on écrit que la réponse
« Aimantation » est proportionnelle à l’excitation « champ magnétique »:
B = mo(H + M)
M = m H
B = m H = mo(1+ m ) H = mo mr H
m s’appelle la susceptibilité magnétique et mr la perméabilité relative.
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
52
3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques)
Dans les milieux isolants, les charges ne sont pas libres de se déplacer
« indéfiniment » lorsqu’elles sont soumises à un champ électrique. Elles sont
liées à des « centres attracteurs » et ne peuvent s’écarter plus d’une certaine
distance de ces attracteurs, entraînant cependant localement la formation de
petits dipôles électriques.
Supposons un matériaux homogène de volume donné où ces dipôles de
moment dipolaire p sont en concentration n. Le moment dipolaire total P ou
Polarisation Electrique de l’échantillon « par unité de volume » vaut:
P = np
d3r’
P
Le potentiel électrostatique créé par unité de
volume est alors donné par :
dV( r ) =
r - r’
V( r )
P·(r - r’)
4o |r -
r’|3
d3r’
valable « loin » du diélectrique !!!
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
53
3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques)
d3r’
On peut transformer cette expression en
introduisant le gradient de la fonction 1/r où
r ( r’) = |r - r’| :
P
dV( r ) =
r - r’
P·’(1/r)
4o
d3r’
V( r )
Par intégration sur tout le volume de diélectrique on obtient :
V( r ) =
1
4o

1
P·’ r
d3r’
Expression que l’on peut transformer en tenant compte de l’identité :
 •( fA ) = (f )•A + f •A
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
54
3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques)
En posant f= 1/r on obtient :
V( r ) =
1
4o

P
’· r
d3r’ -
1
4o

’·P d3r’
r
1
4o

’·P d3r’
r
intégrale de volume
intégrale de surface
V( r ) =
1
4o

P·dS
r
-
Or on a déjà vu que le potentiel est de la forme V(r) = (1/ 4o )  dq/r
Donc si N est le vecteur normal à la surface: P·N représente une densité de
charge surfacique de charges liées, tandis que -’·P représente une densité
de charge volumique.
Si la polarisation est constante dans l’espace, alors seule la densité de charge
surfacique existe. Un diélectrique parallèlépipédique où la polarisation serait
perpendiculaire à deux faces se comporte comme un condensateur plan !
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
55
3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques)
La conservation de charge, implique que si la distribution de charge
volumique (de charges liées) est non nulle, il existe un courant de
polarisation associé:
r
 ·P
·jpol = - liée =
jpol =  P
t
t
t
Lorsqu’on applique l’équation de Poisson reliant champ électrique et charge, il
faut prendre la charge totale, c’est à dire la somme des charges libres et liées.
On introduit alors une nouvelle grandeur, appelée Déplacement Electrique que
l’on note D et qui est définie par:
D = oE + P
·D = rlibres
On peut également dire qu’à l’intérieur d’un diélectrique le champ électrique
est la somme de deux contributions: une contribution associées aux charges
libres D/o et une contribution associée aux charges liées -P/o.
Electromagnétisme - L2 PCGI - Université Rennes 1 - 2005
56
3.9 Cas des milieux isolants (diélectriques)
Sans rentrer dans le détail de l’origine microscopique des dipôles, on peut
traiter la polarisation électrique d’un diélectrique dans le cadre de la Réponse
Linéaire, c’est à dire qu’on écrit que la réponse « Polarisation » est
proportionnelle à l’excitation « champ électrique »:
P = E
D = o(1+ )E = or E =  E
 est la susceptibilité électrique
r est la permittivité électrique relative du milieu
 est la permittivité électrique ou constante diélectrique du matériau
Dans le vide =0 et r =1. La plupart des matériaux ont une permittivité relative
comprise entre 2 et 5. Cependant on peut trouver des matériaux où cette
permittivité relative peut dépasser 105 !
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4.7 Matériaux Magnétiques
Parallèle avec la polarisation électrique: On peut établir un parallèle entre
électrostatique et magnétostatique:
D = oE + P
champ
auxiliaire dans
la matière
cham
p dans
le vide
H = m1 B - M
o
rtot
·E =
o
Réponse
de la
matière
·D = rlibres
jpol =
P
t
je = 
M
P = E
M = m H
 B = mo jtot
 H = jl
B = mo(H + M)
« Dans le vide
on voit toutes
les charges et
les courants »
« Mais dans la
matière les charges
et les courants libres
sont différents»
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