Structure d`ordre 3
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Contribution à l'étude de systèmes mécaniques à structure auto – similaire Etienne Bertaud du Chazaud Lundi 20 décembre 2004 PHASE 1 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Position du problème Les aérogels Guide d’onde 1D Corde vibrante auto-similaire 2 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Les structures auto-similaires… • Objets Mathématiques • Objets Physiques 3 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Les fractales de masse ×1/3 Tapis de Sierpinski D = Log(8)/Log(3) ≈ 1,89 Ordre 0 1 Ordre 2 Ordre 4 Aérogel de silice D ≈ 2,4 4 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Les fractales de surface ×1/3 Île de von Koch D = Log(4)/Log(3) ≈ 1,26 Ordre 1 Ordre 2 Ordre 4 Côte bretonne D ≈ 1,22 5 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Vibrations of Fractal Drums Sapoval et al., Physical Review Letters 67-21, 1991 • Milieu de propagation homogène • Les limites correspondent à une fractale de surface 6 Pose photographique (1s) sur un mode localisé, Sapoval, Gobron et Margolina E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Density of state on fractals : fractons Alexander et Orbach, Journal de Physique-Lettres 43, 1982 • Milieu de propagation correspondant à une fractale de masse sur une certaine échelle • Des modes phonons et fractons sont observés Modes étendus Modes localisés ( ) ph d 1 ( ) fr ~ d 1 ~ d d () est la densité d’état, c’est à dire le nombre de modes propres compris dans la bande d à la fréquence . 7 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Direct experimental observation of fracton mode patterns in one-dimentional Cantor composite Alippi et al., Physical Review Letters 68-10,1992 • Alternance de résine époxy et de céramique piezo-électrique • Le schéma de construction est une pré-fractale de Cantor d’ordre 4 Résine époxy dans la structure Modes étendus Céramique piézo-électrique Modes localisés dans la structure 8 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? PLAN 1. Création et étude d’une structure mécanique à 1D 2. Création et étude d’une structure mécanique à 2D 3. L’arrangement est-il un paramètre déterminant ? 9 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? PLAN 1. Création et étude d’une structure mécanique à 1D 2. Création et étude d’une structure mécanique à 2D 3. L’arrangement est-il un paramètre déterminant ? 10 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Etude numérique de la corde chargée Modèle mécanique discret Cantor ordre 3 (D ≈ 0,63) Système continu y p diffuseurs ; masse des surcharges masse de la corde Modèle mécanique discret de N masses y1 y1 2 D y y N N Solution du problème aux valeurs propres 11 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Représentation de quelques modes propres étendus d’une structure d’ordre 3 N=108 ; = 2,45 mode 5 – /0 = 2,46 mode 27 – /0 = 24,30 12 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Représentation de quelques modes propres localisés d’une structure d’ordre 3 N=108 ; = 2,45 mode 21 – /0 = 13,41 mode 23 – /0 = 16,90 13 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires A propos de la localisation… y(x) Log(|y(x)|) Localisation forte (décroissance exponentielle) 14 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Représentation de l’ensemble des modes propres d’une structure d’ordre 3 N=108 ; = 2,45 /0 15 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Densité d’état intégrée Structure d’ordre 3 – = 2,45 DOS intégrée d’une structure non chargée de masse identique Ordre – mode – / 0=13,41 Ordre 3 –3 mode 2721 – / 0=24,30 Ordre 3 – mode 5 – /0=2,46 16 Ordre 3 – mode 23 – /0=16,90 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Ratio de participation Structure d’ordre 3 – = 2,45 Vibration d’une corde entière (2/3) Vibration d’un tiers de corde (2/9) Vibration de deux neuvième de corde (4/27) Mode 21 17 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Caractère auto-similaire de la densité d’état intégrée Structure d’ordre 5 – = 1,86 ×3 ×3 18 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Evolution de la densité d’état intégrée avec le rapport de chargement Structure d’ordre 3 → +∞ =0 = 1,09 = 0,52 = 0,06 → +∞ =0 = 1,09 = 0,52 = 0,06 19 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Evolution du ratio de participation avec le rapport de chargement Structure d’ordre 3 Rôle de la masse des diffuseurs Rapport de chargement 20 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Dans la corde vibrante auto-similaire : [Synthèse du problème 1D] • La localisation est observée. • Elle correspond à une zone de valeurs particulieres de la densité d’état intégrée et du ratio de participation. • Le rôle du rapport de chargement est connu. • Ces structures ont des caractéristiques de filtre particulières. • On peut déterminer les zones de localisation et les adapter (rôle de ), déterminer la dimension fractale D du modèle, l’ordre de pré-fractalité n à partir des courbes. 21 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? PLAN 1. Création et étude d’une structure mécanique à 1D 2. Création et étude d’une structure mécanique à 2D 3. L’arrangement est-il un paramètre déterminant ? 22 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Etude numérique de la structure 2D Principe de construction du système auto-similaire Pré-fractale de Sierpinski, ordre 3 Surcharges ordre 3 (p diffuseurs) 23 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Modèle mécanique discret (détermination des modes propres) pM 2 l Modèle mécanique discret y1 y1 2 D y y N N (yij→yn et n=f(i,j)) Solution du problème aux valeurs propres 24 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Modes propres et Densité d’état intégrée Structure d’ordre 3 – = 8,9 Ordre 3 Ordre 0 25 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires A propos de la localisation… Tracé de Log(|z(x,y)|) le long de la médiane Localisation forte (décroissance exponentielle) 26 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Ratio de participation Structure d’ordre 3 – = 8,9 Vibration d’une membrane de côté l (4/9) Vibration d’une membrane de côté l/3 (2/27) 27 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Evolution de la densité d’état intégrée avec le rapport de chargement Structure d’ordre 3 p représente la fréquence au-delà de laquelle la localisation est observée t représente la fréquence au-delà de laquelle l’onde n’est plus bloquée 28 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Evolution du ratio de participation avec le rapport de chargement Structure d’ordre 3 29 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Carte de la localisation Structure d’ordre 3 min,- - max,++ max, min, 30 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Etude expérimentale d’une structure 2D d’ordre 2 = 0,27 31 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Etude expérimentale d’une structure 2D d’ordre 2 32 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Etude expérimentale d’une structure 2D d’ordre 2 = 0,27 33 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Etude expérimentale d’une membrane d’ordre 2 = 0,27 34 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Dans la membrane vibrante auto-similaire : [Synthèse du problème 2D] • La localisation est observée. • Elle correspond encore à une zone de valeurs particulières de la densité d’état intégrée et du ratio de participation. • Le rôle du rapport de chargement est connu. • Ces structures ont des caractéristiques de filtre particulières. 35 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales de masse ? PLAN 1. Création et étude d’une structure mécanique à 1D 2. Création et étude d’une structure mécanique à 2D 3. L’arrangement est-il un paramètre déterminant ? 36 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Fractales déterministes ou permutées : Influence de l’arrangement des sous-parties 37 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Densité d’état intégrée et ratio de participation pour différents arrangements Cas de la corde d’ordre 3 – = 2,45 Localisation principale Localisation secondaire 38 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Quelques modes localisés pour différents arrangements Cas de la corde d’ordre 3 – = 2,45 Localisation principale /0=13,41 Localisation secondaire /0=16,90 39 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Densité d’état intégrée pour différents arrangements Cas de la membrane – a = 8,9 A 2D 40 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Ratio de participation pour différents arrangements Cas de la membrane – = 8,9 41 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Quelques modes localisés pour différents arrangements Cas de la membrane – = 8,9 42 E. B. du Chazaud – Systèmes mécaniques auto-similaires Les fractales de masse présentent-elles un comportement vibratoire particulier ? Conclusions et perspectives Conclusions • Localisation à 2D comme à 1D. • « Cross-over » dans la densité d’état intégrée. • Le ratio de participation permet de confirmer ces résultats. • L’évolution de la zone de localisation avec la masse est connue. • Le système n’est pas trop sensible aux permutations Perspectives • Design de filtre. • Etude d’une structure 2D rigide. • Peut-on imaginer des résultats comparables sur des objets 3D ? 43
