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Projection, cosinus et trigonométrie. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Une initiation pour petits et grands. Lumière et ombre Comment connaître la hauteur de cette pyramide dont le sommet est inaccessible? Le soleil darde ces rayons, et fait apparaître une ombre au sol Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Un bâton planté dans le sol Fait apparaître aussi une ombre Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre On accepte l’idée que les rayons du soleil arrivent parallèles sur Terre Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Les ombres sont proportionnelles à l’objet qui forme cette ombre. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre On peut mesurer les longueurs du bâton et de son ombre. Et connaître ainsi le rapport de l’un à l’autre. Pour l’appliquer ensuite à la pyramide. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Par exemple si un bâton de 1 mètre donne une ombre de 1,50 mètre, cela signifie que l’ombre est une fois et demi celle du bâton. Et donc, l’ombre de la pyramide est une fois et demi celle de la pyramide. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Projeter Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Le sol Différents points projettent leur ombre sur le sol. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter, c’est envoyer les points sur une droite Projeter en suivant une direction. Lumière et ombre Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre On peut modifier la direction de cette projection. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre On peut modifier la droite sur laquelle on projette Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre On peut modifier la droite sur laquelle on projette Pour projeter, il faut (D) Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Une droite sur laquelle on projette, Une direction pour la projection. () A () (D) Coordonnées A’ Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Le projeté d’un point A, est le point d’intersection de la parallèle à () passant par A et de la droite (D). A (D) Coordonnées () A’ Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A’ est le projeté de A sur (D) parallèlement à (). A E (D) () E’ A’ Coordonnées Triangle rectangle Projection orthogonale Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre C’ B’ Cosinus Milieux Et triangles B C Effet d’une projection sur les formes B A (D) Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Un segment [AB] On projette A en A ’. On projette B en B ’. A’ () B’ M A (D) Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A’ B Un point de [AB] M est projeté en M ’ entre A ’ et B ’. () M’ B’ B A (D) Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A’ () B’ B A (D) Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A’ Le projeté du segment [AB] est le segment [A’B’] () B’ B Un triangle A (D) Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A’ () C B’ B A (D) Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A’ L ’ensemble du triangle est projeté sur le segment [A’B’] () C B’ Un disque On projette des points du cercle. (D) Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre L ’ensemble du disque est projeté sur le segment [A’B’] A’ B’ () En général, on obtient toujours un segment. (D) Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A’ () B’ En général, on obtient toujours un segment. (D) Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A’ () B’ Effet d’une projection sur les longueurs La longueur est conservée. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre La longueur est agrandie. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre La longueur est diminuée. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Effet d’une projection sur les longueurs En général, la projection modifie les longueurs. Elle ne conserve les longueurs que lorsque celles-ci sont parallèles à la droite sur laquelle on projette. Elle augmente ou diminue les autres. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre De même, elle modifie la nature des figures géométriques. Elle n’a donc que peu de rapport avec les transformations géométriques (symétries, translations, rotations) Projection et milieu. On projette un segment. On projette son milieu. On obtient le milieu du projeté. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Projection et milieu Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Donc la projection conserve le milieu. C’est à dire que le projeté du milieu d’un segment est le milieu du segment projeté. Milieu sur un quadrillage. 6 carreaux 8 carreaux Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 3 carreaux 3 carreaux Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre On obtient ici le milieu 4 carreaux Coordonnées 4 carreaux Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre On obtient ici le milieu Projection de longueurs égales. On obtient 7 parties de longueurs égales. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 1 2 3 4 5 6 7 On obtient 7 parties, de longueurs égales, limitées par les bandes horizontales. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre On obtient 5 parties, de longueurs égales, limitées par des bandes verticales de deux carreaux de largeur. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 1 2 3 4 5 On veut partager un segment en 5 parties égales. Mais, oh quel dommage! Ce segment n’est pas directement partageable en cinq parties …. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus 9 carreaux Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 8 carreaux Alors, comment qu’on va faire?. On reproduit le segment en quession. Mais de manière asqui soit placé juste comme ifau pour pouvoir en couper cinq parties égales. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 5 4 3 2 1 Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 5 4 3 2 1 Milieux dans le triangle Par le milieu d’un côté On trace la parallèle au deuxième côté. Elle coupe le troisième côté en son milieu Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Si on trace une droite qui passe par les milieux de deux côtés Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Elle se trouve être parallèle au troisième côté. Projeter Lumière et ombre // Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre // Les milieux font apparaître quatre triangles superposables. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Les milieux font apparaître trois parallélogrammes. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Donc le segment des milieux est deux fois moins long que le côté auquel il est parallèle. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Projection orthogonale Dans une projection orthogonale, la direction de la projection est perpendiculaire à la droite sur laquelle on projette. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Projection orthogonale Sur une droite A On place des points B Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre C D E On les projette orthogonalement A B C Coordonnées Triangle rectangle D Cosinus E Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A’ B’ C’ D’ E’ Les segments projetés sont plus courts que les segments initiaux. A Donc la projection orthogonale réduit les longueurs. B C Coordonnées Triangle rectangle D Cosinus E Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A’ B’ C’ D’ E’ Comment s’opère cette réduction? A B C Coordonnées Triangle rectangle D Cosinus E Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A’ B’ C’ D’ E’ Comparer les longueurs On peut mesurer les longueurs et les comparer par différence. A B C Coordonnées Triangle rectangle D Cosinus E Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A’ B’ C’ D’ E’ Segment initial A AB 6,3 Segment projeté A’B’ 5,6 0,7 Différence BC CD 2,7 4,1 0,3 0,5 C Triangle rectangle D Cosinus E Projection orthogonale Milieux Et triangles 5,6 cm Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A’ 2,4 cm B’ C’ 2,1 B’C’ 2,4 C’D’ 3,6 D’E’ 1,9 B Coordonnées DE 3,6 cm 1,9 D’ E’ 0,2 Segment initial A AB 6,3 Segment projeté A’B’ 5,6 0,7 Différence BC 2,7 CD C Triangle rectangle Cosinus 0,5 E 5,6 cm Projeter Lumière et ombre A’ 2,4 cm B’ 0,2 On va donc chercher à les comparer par leur rapport. C ’est à dire par quel nombre elles ont été multipliées au cours de la projection. D Projection orthogonale Quadrillages 2,1 Cette différence dépend donc de la longueur initiale. Coordonnées Milieux Et triangles DE B’C’ 2,4 C’D’ 3,6 D’E’ 1,9 0,3 B Effet d’une projection 4,1 C’ 3,6 cm 1,9 D’ E’ Segment initial A AB 6,3 Segment projeté A’B’ 5,6 Le segment initial est multiplié par 0,89 B BC CD 2,7 0,89 Triangle rectangle 0,88 D Cosinus E Projection orthogonale 5,6 cm Quadrillages Projeter Lumière et ombre A’ 2,4 cm B’ 2,1 B’C’ 2,4 C’D’ 3,6 D’E’ 1,9 C Milieux Et triangles DE 0,90 Ce rapport prend des valeurs qui sont assez proches. Les mesures et les calculs arrondis peuvent justifier ces petits écarts. Coordonnées Effet d’une projection 4,1 C’ 3,6 cm 1,9 D’ E’ En moyenne, au cours de la projection, les longueurs sont multipliées par 0,89 A B C Coordonnées Triangle rectangle 0,89 D Cosinus E Projection orthogonale Milieux Et triangles 5,6 cm Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A’ 2,4 cm B’ C’ 3,6 cm 1,9 D’ E’ On peut vérifier que toute autre longueur sur la même droite est multipliée aussi par 0,89 au cours de la projection orthogonale. A Coordonnées Triangle rectangle E 0,89 Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles 8,9 cm Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A’ E’ Inversement si on connaît la longueur du projeté, il suffit de la diviser par 0,89 pour retrouver la longueur du segment initial. A Coordonnées Triangle rectangle Cosinus E 0,89 Projection orthogonale Milieux Et triangles 10,24 cm Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A’ E’ Cosinus d’un angle En résumé : au cours de la projection orthogonale, Les longueurs sont multipliées par un coefficient indépendant de la longueur initiale . C’est ce nombre que l’on appelle le Cosinus de l ’angle formé par les deux droites. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 0,89 Variations du cosinus avec l’angle Pour un angle de Le Cosinus est égal à : Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 16° 11,5 cm 16° 11,5 12 = 0,96 Pour un angle de Le Cosinus est égal à : Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 26° 10,8 cm 26° 10,8 12 = 0,90 Pour un angle de Le Cosinus est égal à : Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 38° 9,5 cm 38° 9,5 12 = 0,79 Pour un angle de Le Cosinus est égal à : Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 48° 8,1 cm 48° 8,1 12 = 0,68 Pour un angle de Le Cosinus est égal à : Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 59° 6,2 cm 59° 6,2 12 = 0,52 Pour un angle de Le Cosinus est égal à : Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 71° 4 cm 71° 4 12 = 0,33 Pour un angle de Le Cosinus est égal à : Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages 81° Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 1,8 cm 81° 1,8 12 = 0,15 Variations du cosinus avec l’angle Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Quand l’angle augmente de 0° à 90°, le Cosinus diminue de 1 à 0. Dans un triangle rectangle Pour un angle aigu Le Cosinus fait intervenir les deux côtés de l’angle. Le côté a que l’on dit adjacent. Coordonnées Et h l’hypoténuse Cosinus Projection orthogonale Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre a h= Cos a Cos = h Triangle rectangle Milieux Et triangles a = h Cos a b = h Cos b h= Cos Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre b Cos = b h Résolution du triangle rectangle. Résoudre un triangle, c’est calculer les côtés et les angles à partir du minimum de données. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Si on connaît l’hypoténuse et un angle aigu On peut calculer le côté a a = h Cos Puis on peut calculer l’autre angle aigu = 90° - Coordonnées Triangle rectangle Puis, on peut calculer le côté b a b = h Cos Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Cos Cos b Par exemple a = h Cos = 12 Cos62 12 0,469 5,6 cm = 90 - 62 = 28° b = h Cos = 12 Cos 28 62° 12 0,883 Coordonnées Triangle rectangle a 10,6 cm Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Cos 62 Cos 28 b Si on connaît un côté et un angle aigu On commence par calculer le second angle aigu 90 - 77 = 13° On peut maintenant calculer l’hypoténuse h = 8,5 Cos 13 8,5 0,974 8,7 cm Coordonnées Triangle rectangle Connaissant l’hypoténuse, on peut calculer le troisième côté. a 8,7 Cos 77 Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre a 77° 8,7 0,225 1,9 cm h 8,5 13° Si on connaît deux côtés On peut calculer l’hypoténuse en utilisant la relation de Pythagore h= 10,3² + 9,7² = 200,18 h 14,1 cm Coordonnées Triangle rectangle h 10,3 Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 9,7 Si on connaît deux côtés On peut calculer l’hypoténuse en utilisant la relation de Pythagore h= 10,3² + 9,7² = 200,18 h 14,1 cm Coordonnées 14,1 10,3 Triangle rectangle Cosinus Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Cos = 9,7 14,1 0,688 Avec une machine, on trouve : Projection orthogonale Milieux Et triangles On peut maintenant calculer l’un des angles aigus par son Cosinus 47° Et enfin l’autre angle aigu : 9,7 90 - 47 43° Quelques valeurs particulières Si on partage un carré par une diagonale. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre On obtient un triangle rectangle isocèle. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Les deux angles aigus mesurent 45° Les deux côtés de l’angle droit sont égaux. On appelle a cette longueur. Par la relation de Pythagore, on calcule la longueur de l’hypoténuse. On obtient 2 .a Coordonnées Cos45 = Triangle rectangle 2 .a Cosinus Projection orthogonale a Milieux Et triangles Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre a 2 .a Et après simplification par a, Cos45 = Quadrillages a 1 2 Si on partage un triangle équilatéral par un axe de symétrie 30° Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 60° On obtient un triangle rectangle dont les angles aigus mesurent 30° et 60°. Si le côté du triangle équilatéral mesure a. 30° Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale a Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection 60° Projeter Lumière et ombre a/2 Le triangle rectangle a deux côtés qui mesurent a et a/2. Par la relation de Pythagore, on calcule le troisième côté 30° On obtient Coordonnées Triangle rectangle Cosinus a 3 .a 2 Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection 60° Projeter Lumière et ombre a/2 Cos30 = Cos60 = 3 .a 2 3 .a 2 a a /2 a = = 3 2 1 2 Quelques valeurs particulières Angle Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Cos 0° 1 30° 3 2 45° 60° 2 1 2 2 90° 0 Angles complémentaires Dans un triangle rectangle Les deux angles aigus sont complémentaires C ’est à dire que leur somme est égale à 90°. Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Leur cos est égal à Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Si l’un des deux angles mesure 12° 0,978 L’autre mesure 78° 0,208 Leur cos est égal à Si l’un des deux angles mesure L’autre mesure Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre 18° 0,951 72° 0,309 Leur cos est égal à Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Si l’un des deux angles mesure 24° 0,914 L’autre mesure 66° 0,407 Leur cos est égal à Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Si l’un des deux angles mesure 35° 0,819 L’autre mesure 55° 0,574 Leur cos est égal à Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Si l’un des deux angles mesure 45° 0,707 L’autre mesure 45° 0,707 Leur cos est égal à Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Si l’un des deux angles mesure 59° 0,515 L’autre mesure 31° 0,857 Leur cos est égal à Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Si l’un des deux angles mesure 78° 0,208 L’autre mesure 12° 0,978 Leur cos est égal à Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Si l’un des deux angles mesure 87° 0,052 L’autre mesure 3° 0,999 Pour deux angles complémentaires, les Cosinus varient en sens opposé. Quand l’un augmente, l’autre diminue Coordonnées Triangle rectangle cos 0,978 0,914 0,819 0,707 0,515 0,208 0,052 cos 0,208 0,407 0,574 0,707 0,857 0,978 0,999 Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre On peut chercher quelle relation lie ces deux valeurs. h b a Cos = Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Cos = b h a h Cos² = donc Cos² = b² h² a² h² Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre b² a² a² + b² h² + = = =1 h² h² h² h² Par la relation de Pythagore, a²+ b² = h² Cos² + Cos² = Repères et coordonnées. Quand on place un point, pour pouvoir déterminer sa position, on se réfère à deux axes. A Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre A Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Un axe horizontal Un axe vertical +6 +5 +4 +3 +2 A +1 Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 -2 -3 Milieux Et triangles -4 Quadrillages -5 Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Chacun de ces axes est orienté, et gradué +6 +5 +4 +3 A +2 +1 Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 -2 -3 -4 -5 Les deux axes se coupent au point O qui est l’origine du repère. On projette A sur l’axe horizontal. Puis on projette A sur l’axe vertical. +6 +5 Ordonnée de A +4 +3 A +2 +1 Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 -5 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 Abscisse de A +10 +6 +5 +4 +3 A +2,2+2 +1 Coordonnées Triangle rectangle Cosinus Projection orthogonale Milieux Et triangles Quadrillages -6 -5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +5 -3 -4 -5 Effet d’une projection Projeter Lumière et ombre Le couple (+5 ; +2,2) est le couple des coordonnées de A.
