Chapitre 10: La mécanique ondulatoire

Chapitre 10:
La mécanique ondulatoire
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10.1 Les ondes de Broglie
En se fondant sur le principe de
« symétrie de la nature », de Broglie
supposa qu’on pouvait attribuer aux
particules matérielles une dualité
onde-particule semblable à celle de
la lumière:
hc
h
E  hf 
 pc   

p
h
p
mvr  n

Hyp.de Broglie
Hyp.de Bohr
h
h
nh
p  mv  
r
 2 r  n


2
De Broglie supposa que les « ondes
de matière » avaient une longueur
d’onde λ = h/p. (comme la lumière).
Cette hypothèse permet de donner
aux postulats arbitraires de Bohr une
interprétation limpide: Les seules
orbites autorisées sont celles dont la
circonférence contient un nombre
entier de longueurs d’ondes (ondes
stationnaires).
NYC
Ch.10 E 6
h 6.626 1034
 
 0.143 nm
24
p 4.63 10
p  2mE  2 1.675 1027  0.04 1.6 10 19  4.63 10 24
2
p
car E  K  U  12 mv  0 
2m
2
10.2 La diffraction des électrons
2d sin   m
Neutrons
  109 pm
Rayons X
  71 pm
Electrons
  71 pm
E  0.07eV
E  17keV
E  300eV
h
h
 
p
2mE
mv 

2
1
E  mv 
2
p  2mE
E  hf 
p2  h  
E

2me
2me
hc

2
p2

si v
2m
2m
c
Voir 7.8
2
10.3 L’équation d’onde de Schrödinger
2 y 1 2 y

x 2 v 2 t 2
y ( x, t )  A sin(kx  t )  A sin(kx  t )  2 A sin  kx  cos t 
y ( x, t )   2 A sin  kx   cos t     x  cos t 
 2   x  cos t 
2
1    x  cos t 
 2
2
x
v
t 2
2  x  1
 2 cos t  1
2

cos t 


x


x


cos t  




2
2
2
2

x
v
t
v
2  x 
2
  2   x
2
x
v
2
Forme générale de toute
fonction d’onde.
En général, la solution
est une (ou plusieurs)
ondes progressives.
Dans le cas d’ondes
stationnaires, on peut
factoriser l’amplitude qui
est fonction de x mais
pas du temps.




2
2
2
mv


2
2

2

p
2
m
p


2
2
1

 
k 
 2  E U 
K  2 mv 

 E U  x
 
2
2

v

2
m
2
m
h


 
 p
Équation d’onde de Schrödinger indépendante du
 2   x  2m
temps à une dimension qui représente les états
 2  E  U  x    x 
2
x
stationnaires (E = constante)
10.4 La fonction d’onde
L’interprétation actuelle de la fonction d’onde est celle de Max
Born. Le carré de la fonction d’onde, indique la probabilité par
unité de volume de trouver une particule. La fonction d’onde
représente donc une « onde de probabilité » ou l ’ « amplitude
de probabilité ». Contrairement à physique classique, la
physique quantique, n’est pas déterministe: il n’est plus possible
de prédire exactement la position d’une particule, mais
seulement une probabilité. La mécanique quantique prédit
correctement les valeurs moyenne des grandeurs physiques
mais pas les résultats des mesures individuelles.

Fonction d’onde, onde de probabilité ou
amplitude de probabilité
2
Densité de probabilité
 2 dV
Probabilité de trouver la particule à
l’intérieur de ΔV (ou Δx)
 2 dx



 2 ( x) dx  1
Exprime que la particule doit se trouver
quelque part (fonction d’onde normalisée)
10.5 Particule dans une boite
La situation est équivalente aux
ondes stationnaires dans une corde.
 0    L   0
  x   A sin  kx   0 
2 L
n
 n
Ln
kx  kL  n
n
n 
2
n 
h 2L

pn
n
En 
p
1  nh 
nh




2m 2m  2 L  8mL2
2
n
pn 
2
2
nh
2L
2L
n
U 
2
La particule ne peut pas avoir une énergie
nulle, même à 0 oK. L’énergie la plus basse,
qui correspond à n=1, est l’énergie du niveau
fondamental. Cette énergie est d’autant plus
grande que la boîte est petite.
NYC
Ch.10 E18
a)
6.626 10
h
2
En 
n 
n 2  3.29  1013  n 2
2
27
14
8m p L
8 1.67 10  110
2

34


2

m p  1.67 1027 kg
L  11014 m
E1  3.29 1013 J  2.05 MeV
E2  1.311012 J  8.20 MeV
b)
hf  E2  E1  1.311012  3.29 10 13  9.85 10 13 J
E 9.85 1013
21
f 


1.487

10
Hz
34
h
6.626 10
c
3 108
 
 0.202 pm
 rayon gamma
f 1.487 1031
10.5 Puits de potentiel fini
•
•
Normalement, une particule classique ne
peut pas pénétrer à l’extérieur du puits dans
une région où E < U.
Pourtant, la fonction d’onde ne s’annule pas
à l’extérieur du puits mais diminue
exponentiellement. Donc il existe une
probabilité de trouver la particule à
l’extérieur du puits, dans une région
interdite par la mécanique classique. Ce
résultat surprenant se manifeste par l’effet
tunnel.
Schrodinger1D - Puits de potentiel fini
Simulations\finitewell.html
10.5 L’effet tunnel
Puisque la fonction d’onde
pénètre dans la zone
interdite E < U, il est possible
que la particule se retrouve à
l’extérieur.
Tunnel V = 2E, d = l
Tunnel - Angle
10.6 Le principe d’incertitude de Heisenberg
Le principe d’incertitude de Heisenberg énonce qu’il existe une limite
fondamentale sur ce qu’il est possible d’observer et de mesurer. Cette limite n’est
pas déterminée par les instruments de mesure mais par la nature elle-même.
x  
p  p 
E
c
h
x  p   
x  p  h
E  t  h


hf h

c 
Pour pouvoir observer une particule, un électron
par exemple, il faut le bombarder avec des
photons. La précision de la mesure Δx n’est pas
plus grande que la longueur d’onde λ de la
lumière utilisée. Comme la lumière transfert sa
quantité de mouvement à l’électron, celà introduit
une incertitude Δp. Diminuer λ pour diminuer Δx
va augmenter Δp.
Une particule localisée peut être représentée
par un paquet d’onde de longueur Δx constitué
de plusieurs ondes sinusoïdales dont les
longueurs d’onde sont variables Δλ, ce qui
implique une incertitude Δp.
Fichier vidéo MPEG
Fichier vidéo MPEG
NYC
a)
b)
Ch.10 E 27
h 6.63 1034
26
E 


6.63

10
J
8
t
110
E  6.63 1026 J
E 6.63 1026
8
f 


1.00

10
Hz
34
h
6.63 10
f  1.00 108 Hz
NYC
Ch.10 P3
2
a)
n2
Ln  mvr  n
rn 
Ch.9
2
mke
n
n
n mke 2 mke 2 2 mke 2
pn  mv 

 2 2 

rn  2 n 2 
n
n
hn

2 
mke


p1  2 mke h  2  9.110
2
b)
31
 9 10  1.6 10
9

19 2
p  2 p1
h
h
6.63 1034
x 


 0.165 nm  rBohr
p 2 p1 2  2.99 1024
6.63 1034  2.99  1024 kg  m s
10.7 La dualité onde-particule
Voir Interférence quantique 2 fentes
 2  12   22
2
 2  1   2  12   22  21 2 cos 
Le fait que le carré de la somme des
amplitudes de probabilité donne le résultat
corect implique que, pendant sa progression
dans le montage, l’électron est représenté par
une superposition de deux états.
Selon le principe de complémentarité, une description complète de la matière
et du rayonnement doit faire intervenir les deux aspects, corpusculaire et
ondulatoire. Autrement dit, l’onde et la particule sont deux représentations
complémentaires.
Même ceux qui sont à l’origine de cette théorie, Plank, Einstein et
Schrödinger, n’en n’ont jamais accepté les développements ultérieurs.
Diffraction 1 fente
Diffraction 1 fente
large 3l
Inerference 2
fentes 5l