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A-IV Le Potentiel Électrique Scalaire
A-IV.1 Définition - Propriétés
La troisième notion de notre cours d’électrostatique,
après celle de force de Coulomb et celle de champ
électrique, est la notion de potentiel électrostatique
scalaire.
Son introduction utilise la notion de travail d’une force.
Soit un point M d’un parcours où se trouve une
charge soumise à un champ qui occasionne une
force de Coulomb à laquelle un observateur
oppose une force pour maintenir l’équilibre.
On appelle différence de potentiel le travail
de la force entre A et B divisé par
AB
M
q
E
c
F
o
F
q
AB
E
c
F
o
F
AB VV 
q
o
F
q)BA;F(W
VV o
AB 
)BA;F(W o
Remarques
Il faut que le déplacement de la charge
entre A et B se fasse sans accélération. On
dit que le déplacement est quasi-statique
avec comme condition en chaque position
Le travail est donné par
l’expression
0FF co
)BA;F(W o
 B
Aoo d.F)BA;F(W 
L’unité de potentiel est le Volt

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Potentiel électrique en un point M
Considérons l’expérience précédente qui conduit
l’observateur du point A rejeté à très grande distance
des sources du champ au point M.
Si le potentiel est pris égal à zéro alors le
potentiel au point M devient
M
M’
q
E
c
F
o
F
A
E
A
V
q)M;F(W
)M(V o
L’origine de ce potentiel est dans les charges
électriques sources du champ .
Calculons explicitement ce potentiel pour le champ
créé par une charge ponctuelle.
Pour un parcours rectiligne radial
Le potentiel créé par une charge ponctuelle à la
distance r peut alors s’écrire
E
3
o
or4 'r'qq
F
r4 'qq 'r 'dr 4'qq 'rdl'.r 4'qq
)M;F(W o
r2
o
M3
o
o
r4 q
)M(V o
q
M
r
0q 
Mq
E
'OM'r 
'q
M’
A
M
OMr
o
F
O
Le sens de
est arbitraire
o
F

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Propriétés du potentiel créé par un charge ponctuelle
C’est un grandeur scalaire, algébrique.
Le signe du potentiel est celui de la charge q.
Il est en intensité inversement proportionnel à la distance
de la charge qui le crée.
Il est directement proportionnel à la valeur de la charge.
Ne dépendant que du module r il est constant à distance
constante de la charge.
Nous montrerons dans les compléments que le chemin
suivi pour arriver au point M n’influe pas sur la valeur du
potentiel en ce point.
Une autre manière d’exprimer ce résultat : la différence
de potentiel entre deux points ne dépend pas du trajet suivi
pour la calculer.
La définition même du potentiel à partir du travail,
processus continu, implique que le potentiel est une
fonction continue des positions dans l’espace.
r4 q
)M(V o
q
r
Potentiel
constant sur
une sphère
centrée sur la
charge

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A-IV.2 Relation Champ - Potentiel
Reprenons les deux relations de définition du champ et du
potentiel ,créés par une charge ponctuelle
De manière purement formelle nous avons
E notant la valeur algébrique du champ le signe lui étant
conféré par celui de q.
Cette relation à une dimension
se généralise-t-elle à trois dimensions?
Pour le montrer il faut introduire un nouvel opérateur
vectoriel s’appliquant à une fonction scalaire à trois
variables d’espace f(x,y,z) et que l’on appelle
Noté simplement
Par définition en coordonnées cartésiennes
M
0q 
Mq
E
Mq
V
3
o
Mq rrq
41
E
r
q
41
Vo
Mq 
E
r
q
41
dr
dV 2
o
dr
dV
E
(f) gradient
f grad
k
z
f
j
y
f
i
x
f
f grad 
La notation signifie une dérivation
partielle par rapport à la variable notée, ici x.
Exemple : si
x
f
32 zyx)z,y,x(f 
xy2
x
f
2
x
y
f
2
z3
z
f
kz3jxi2xyf grad 22  

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Considérons la fonction
Il vient facilement avec
Soit la relation locale cherchée entre le champ et le
potentiel électriques
1/2
222 zyx
1
r
1
)z,y,x(f 
kzjyixr 
33/2
222 rr
zyx
kzjyix
r
1
gradf grad
V(M) grad)M(E 
A-IV.3 Différence de potentiel
La relation locale entre le champ et le potentiel électriques produit également une relation globale.
Calculons ce que l’on appelle la circulation du vecteur champ électrique entre les points A et B d’une
courbe quelconque, en utilisant la relation locale entre le champ et le potentiel
AB
M
E
A
V
B
V
E
  B
ABA
B
A
B
AVVdVd.Vgradd.E 
BA
B
AVVd.E 
Il a été fait usage de la relation
On peut la déduire de
variation totale de la fonction V(x,y,z) lorsque les trois variables varient.
d.VgraddV 
dVdz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
d.Vgrad 
kdzjdyidxd
Avec