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A-IV Le Potentiel Électrique Scalaire

Fc
A
A-IV.1 Définition - Propriétés
La troisième notion de notre cours d’électrostatique,
après celle de force de Coulomb et celle de champ
électrique, est la notion de potentiel électrostatique
scalaire.

Fo
M

E
B
q 
Son introduction utilise la notion de travail d’une force.
Remarques
Soit un point M d’un parcours AB où se trouve une

q
charge
soumise à un champ E qui occasionne une
force de Coulomb Fc à laquelle un observateur
oppose une force  pour maintenir l’équilibre.
Il faut que le déplacement de la charge
entre A et B se fasse sans accélération. On
dit que le déplacement est quasi-statique
avec comme condition en chaque position
On appelle différence de potentiel VB  VA le travail


de la force F entre A et B W(F
; A  B) divisé par

Le travail W(Fo ; A  B) est donné par
l’expression
  
Fo  Fc  0
Fo
o
o

W(Fo ; A  B)
VB  VA 
q
L’unité de potentiel est le Volt
q

B
W(Fo ; A  B)  A Fo .d
1
Potentiel électrique en un point M
Considérons l’expérience précédente qui conduit
l’observateur du point A rejeté à très grande distance

des sources du champ E au point M.
M

q
Calculons explicitement ce potentiel pour le champ
créé par une charge ponctuelle.
O

q'

Fo 
M’
M
A
q0
q
V(M) 
4o r

E q M

Le sens de Fo
est arbitraire
r '  OM '

r  OM
Pour un parcours rectiligne radial


qq' M r '.dl
qq' r dr '
qq'
W(Fo ;   M)  





4o  r '3
4o  r '2 4o r
Le potentiel créé par une charge ponctuelle à la
distance r peut alors s’écrire
M’
A
L’origine de ce potentiel est dans les charges

électriques sources du champ E .


qq ' r '
Fo  
4o r 3

Fc

Fo
Si le potentiel VA est pris égal à zéro alors le
potentiel au point M devient

W(Fo ;   M)
V(M) 
q

E
M
r
q
2
Propriétés du potentiel créé par un charge ponctuelle
C’est un grandeur scalaire, algébrique.
V(M) 
q
4o r
Le signe du potentiel est celui de la charge q.
Il est en intensité inversement proportionnel à la distance
de la charge qui le crée.
Il est directement proportionnel à la valeur de la charge.
Ne dépendant que du module r il est constant à distance
constante de la charge.
Nous montrerons dans les compléments que le chemin
suivi pour arriver au point M n’influe pas sur la valeur du
potentiel en ce point.
q
r
Potentiel
constant sur
une sphère
centrée sur la
charge
Une autre manière d’exprimer ce résultat : la différence
de potentiel entre deux points ne dépend pas du trajet suivi
pour la calculer.
La définition même du potentiel à partir du travail,
processus continu, implique que le potentiel est une
fonction continue des positions dans l’espace.
3
A-IV.2 Relation Champ - Potentiel

E q M
Reprenons les deux relations de définition du champ et du
potentiel ,créés par une charge ponctuelle


1 qr
1 q
E qM 
VqM 
3
4o r
4o r
De manière purement formelle nous avons

M
VqM
q0
dV
1 q

E
2
dr
4o r
E notant la valeur algébrique du champ le signe lui étant
conféré par celui de q.
dV
Cette relation à une dimension E  
dr
se généralise-t-elle à trois dimensions?
Pour le montrer il faut introduire un nouvel opérateur
vectoriel s’appliquant à une fonction scalaire à trois
variables d’espace f(x,y,z) et que l’on appelle gradient (f)
Noté simplement
grad f
f
signifie une dérivation
x
partielle par rapport à la variable notée, ici x.
La notation
2
3
Exemple : si f ( x, y, z)  x y  z
f
 2xy
x
f
 x2
y
f
 3z 2
z
 2

2
grad f  2xy i  x j  3z k
Par définition en coordonnées cartésiennes
f  f  f 
grad f  i 
j k
x
y
z
4
1
1
f ( x, y, z)  
Considérons la fonction
r x 2  y2  z2


1/2
  

Il vient facilement avec r  x i  y j  zk
  

1
x i  y j  zk
r
grad f  grad  


3/2
r
r3
x 2  y2  z2


Soit la relation locale cherchée entre le champ et le
potentiel électriques

E(M)  grad V(M)

E
A
VA
M
B

VB
A-IV.3 Différence de potentiel
La relation locale entre le champ et le potentiel électriques produit également une relation globale.

Calculons ce que l’on appelle la circulation du vecteur champ électrique E entre les points A et B d’une
courbe quelconque, en utilisant la relation locale entre le champ et le potentiel
B
B
B
A E.d  A gradV.d  A dV  VA  VB
Il a été fait usage de la relation dV  gradV.d
On peut la déduire de
gradV.d 
B
A E.d  VA  VB
V
V
V
dx 
dy 
dz  dV
x
y
z
variation totale de la fonction V(x,y,z) lorsque les trois variables varient.



Avec d  dx i  dy j  dzk
5
Remarques concernant les relations champ – potentiel

Le fait que localement E(M)  grad V(M)
B
et globalement  E.d  VA  VB
A
implique que le champ soit orienté vers les potentiels
décroissants.
A
VA  VB
B
A
VA  VB
B

E

E
Circulation du champ électrique sur une courbe
fermée. Partant du point A et retour au point A il vient

C E.d  VA  VA  0
La fonction potentiel étant définie continue elle
reprend la même valeur après un tour complet. D’où la
propriété importante du champ électrique:
la circulation du champ électrique sur une courbe
fermée est nulle

E
C
M
A


C E.d  0
6
A-IV.3 Surfaces équipotentielles
Le potentiel est une fonction scalaire de points V(x,y,z)
Surface équipotentielle
z
Un domaine où V(x,y,z) = Ct doit permettre de trouver une
M
autre fonction z  SV ( x, y) qui explicite la coordonnée z en
fonction de x et y.
Cette dernière fonction représente une surface, relation
entre x , y et z sur laquelle V = Ct.
De telles surfaces sont dites équipotentielles.
Les domaines équipotentiels ne se limitent pas à des
surfaces, ils peuvent s’étendre à des volumes (voir la leçon
sur les conducteurs) à l’équilibre où tout le volume du
conducteur est au même potentiel (volume isopotentiel).
x

E
A
Soient deux points A et B quelconques, distincts, sur une
surface équipotentielle SV .
B
A E.d  V  V  0
y
O
Direction des lignes de champ par rapport aux surfaces
équipotentielles.
La circulation du champ électrique entre A et B sur un
parcours appartenant à la surface SV est nulle
SV
Suite
B
d
SV
7
Pour que cette expression soit nulle pour tout point A et B de

la surface équipotentielle il faut que
E  d
Comme le vecteur infinitésimal d appartient à la surface SV
on déduit la propriété importante:
Les lignes de champ sont orthogonales aux surfaces
équipotentielles.

E
A
B
d
SV

E
SV
8
Electrostatic Potential Map H2O
Negatively charged region
(red)
Oxygen
(red)
H2O
(no net charge)
Hydrogen
(white)
Positively charged region
(blue)
9
Electrostatic Potential Map H3O+
Less positive
(green)
Oxygen
(red)
H3O+
(+1 charge)
Hydrogen
(white)
More positive
(blue)
10
H3O+ and water
How do they interact?
Most positive charge
Most negative charge
11
Electrostatic Potential Map
H3O+ + 3 H2O
H3O+ surrounded by three
water molecules –
still +1 charge
Green signifies reduced
positive charge compared with
H3O+ alone.
12
BENZENE
13
A-IV.4 Potentiel créé par plusieurs charges ponctuelles
Distribution discrète de charges
La définition même du potentiel dans ses relations à la force électrique permet d’appliquer le principe de
superposition et de déduire le potentiel total par simple sommation, ici plus simple que pour le champ car
nous avons affaire à une somme de scalaires et non plus de vecteurs.
Pour deux charges
V
V
q1 q 2 M
q1 M

1 q1
4o r1
V
M
V
r1
q 2 M

1 q2
4o r2
1  q1 q 2 
  
4o  r1 r2 
M1
r2
q1

Pour une distribution discrète de N charges q i , Mi
M2
q2
q1 q 2 M

V
 qi M
1 N qi


4o i1 ri
ri  Mi M

i  1, N
i  1, N
14
A-IV.5 Compléments

a- Calcul du potentiel pour un trajet quelconque
Pour un parcours quelconque l’expression du
travail est au départ la même


qq' M r '.dl
W(Fo ;   M)  

4o  r '3

r '.dl
Il faut alors estimer l’expression générale 3
r'



Soit en coordonnées cartésiennes r '  x ' i  y' j  z' k



et d  dx ' i  dy' j  dz' k
Il vient
Avec

r '.d  x'dx'  y'dy'  z'dz'  1d(u')
2
u'  x'2  y'2  z'2  r'2
Le travail peut alors s’écrire

qq'
W(Fo;M)  
4o
r2 d(u')


r2
qq'  1 
qq'


2u'3/2 4o  u'   4or
M

r  OM

O
r '  OM '
q0

E q M
A
M’
 q'
Fo
Soit pour le potentiel
V(M) 
q
4o r
L’expression est la même que celle trouvée
pour le parcours linéaire radial. Ce qui
montre en toute généralité que la différence
de potentiel entre deux points ne dépend pas
du chemin suivi. C’est la moindre des choses
si on veut que le potentiel en un point ait un
sens physique.
15
b- Potentiel créé par une distribution de charges
Au même titre que pour le champ électrique
donnons les expressions du potentiel électrique
scalaire produit par une distribution de charges
dans les trois cas de dimensionnalités.
M



1
( r ' )
V( r ) 
d

  
4o
r  r'

r

r
Le potentiel de la charge totale du domaine 2D
est donné au point M par

r'
S
S
M

r'
C
Le potentiel de la charge totale du domaine 3D
est donné au point M par


r'
O
Les calculs du potentiel électrique en un point M
sont valables que le point M soit situé hors ou dans
le domaine de la distribution de charges.

r



1
( r ' )
V( r ) 
dS

S  
4o r  r '
Le potentiel de la charge totale du domaine 1D
est donné au point M par
M


1
( r ' )
V( r ) 
d

C  
4o r  r '
16
c- Propriétés locales du potentiel électrique
Deux relations impliquant le champ électrique nous permettent de déduire une propriété locale du
potentiel électrique.
Nous avons établi une relation locale entre le champ électrique et la densité de charges

(M)
divE(M) 
o

De même qu’une relation directe entre le potentiel et le champ électrique E(M)  grad V(M)
(M )
En combinant les deux relations
div gradV(M )  
o
L’opérateur divergence du gradient n’est autre que le laplacien noté Δ.
On en déduit l’équation de Poisson reliant le potentiel et la densité locale de charges
V(M )  
(M )
o
En un point dépourvu de charge cette équation se réduit à l’équation de Laplace V(M)  0
La forme explicite du laplacien d’une fonction
scalaire V(x,y,z) est dans la version cartésienne
V( x, y, z) 
 2V
x
2

 2V
y
2

 2V
z 2
17
A-IV.6 Exercice à faire
N°1- Potentiel d’une sphère chargée en volume
O
V( M) ?
R
M
Soit une sphère de rayon R portant une charge
uniformément répartie dans tout son volume avec une
densité ρ constante.
1- Calculer par une méthode directe le potentiel
électrique en un point M à la distance r du centre O
de la sphère avec OM = r.
2- Étudier et tracer V(r) pour r variant de 0 à 
3- Retrouver l’expression du potentiel à partir de celle
du champ électrique.
N°2- Potentiel créé par un fil fini chargé
Soit un fil rectiligne, fini, de longueur 2c, de centre O, portant
une charge électrique uniformément répartie de λ coulombs par
unité de longueur.
y
1-Trouver le potentiel électrique en un point M ce coordonnées
(a,b) dans le repère (O;x,y) donné.
M
λ
b
x
a
c
O
c
2-En déduire dans ce repère les composantes du champ
électrique.
3-Déterminer les lignes équipotentielles dans le plan de la
figure de même que les lignes de champ. Montrer leur
perpendicularité.
18
N°3- Potentiel créé une plaque carrée uniformément chargée
2c

O
2c
Soit une plaque carrée de côté 2c, de centre O, portant une charge
électrique  par unité de surface.
x
M
1-Calculer le potentiel électrique créé en un point M de l’axe à la
distance x = OM.
2-Donner l’expression de ce potentiel en O.
3-Retrouver l’expression du champ électrique en M à partir de
celle du potentiel.
19
A-V L’Énergie Électrique
A-V.1 Généralités sur l’énergie potentielle d’un système physique
Une définition très générale de l’énergie potentielle
d’un système physique peut être la suivante:
L’énergie potentielle d’un système physique est
l’énergie qu’un observateur doit dépenser pour mener
le système dans son état présent, à partir de
constituants initialement à l’infini les uns des autres
L’origine de cette énergie peut être multiple compte
tenu de la complexité éventuelle du système.
Système constitué
Nous intéresse ici l’énergie potentielle de charges
électriques en présence de champ électrique.
Comme les charges électriques sont ponctuelles nous
ne sommes pas concernés par l’énergie potentielle
d’une charge ponctuelle dans son propre champ.
Par contre, pour un ensemble de charges de dimension
finie, il sera nécessaire de considérer l’énergie
potentielle propre du système de charges dans le champ
global qu’elles créent.
Éléments issus d’endroits où
ils sont très éloignés les uns
des autres
20
A-V.2 Énergie potentielle électrique d’une charge ponctuelle dans un champ électrique extérieur
Quand nous avons construit le potentiel électrique nous
avons calculé le travail d’un observateur mis en jeu pour
déplacer une charge q depuis une grande distance jusqu’à
un point M dans le champ créé par une charge q’.

qq'
O
W (Fo ;   M) 
4o r
q'  0
Avec l’expression du potentiel créé en M par la charge q’
V(M) 
V( M)
M
q'
4o r
q
V(M) créé par la
source de champ
W  qV
Nous obtenons l’expression de l’énergie potentielle
recherchée, celle d’un charge q placée au potentiel V.
M
Wq dans V  qV
Cette expression est valable pour toute source de champ
localisée

q
Source de
champ
21
A-V.3 Énergie potentielle électrique d’un couple de deux charges en interaction
L’énergie potentielle de la charge q 2 dans le champ de la charge q1
est
W
 q 2V
q 2 dans V2
q1 q 2
expression dans laquelle Vq
1 q 2
V
q1 q 2
q1

4o r12
r12  r21
q1
L’énergie potentielle de la charge q1 dans le champ de la charge q 2
est
W
 q1 V
q1 dans V1
q2
V
q 2 q1
q 2 q1
expression dans laquelle
V
q 2 q1

q2
4o r21
Dans le cas présent l’une des énergies n’existe pas sans l’autre.
Elles représentent la même quantité physique qui est l’énergie
d’interaction entre les deux particules chargées.
W
q1 dans V1
W
q 2 dans V2
En prévision de la suite nous noterons cette énergie
W
q1  q 2
1

  W
W

q 2 dans V2 
2  q1 dans V1
22
A-V.4 Énergie potentielle électrique d’un système de charges en interaction
Soit un système de N charges ponctuelles qi
i  1, N
Chaque charge, par exemple q i est soumise au potentiel Vi dû aux
N-1 autres charges
qj
1
Vi 

4o ji rji
rji étant la distance entre la charge q j et la charge q i
Cette charge q i a une énergie potentielle égale à Wi  qi Vi
q3
q2
qN
qi Vi
q1
qj
L’énergie potentielle de l’ensemble des N charges en interaction est
donnée par
1N
1N
W   Wi   qi Vi
2 i1
2 i1
Le facteur ½ se justifie facilement par récurrence et a déjà été vu
pour deux charges (faire la démonstration).
23