De l`école au collège

Géométrie en SEGPA
2 séances : 12 janvier + 8 mars
objectif :
En appui sur les programmes du collège, il s'agira
de construire des situations d'apprentissages
géométriques prenant en compte les éléments
didactiques et pédagogiques spécifiques à
l'enseignement de la géométrie.
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Thierry Dias janvier 2007
séance 1
Faire de la géométrie en SEGPA : apprentissages et
difficultés
apports formateur (diaporama) + illustrations (mise en
situations)
un exemple de mise en œuvre : les situations de
communication
séance 2
La géométrie dynamique : la valeur ajoutée de l'outil
informatique
Présentation des outils logiciels
Mise en situation : construire un fichier de géométrie (la
figure et son programme)
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Thierry Dias janvier 2007
La géométrie
géo : la terre
metrikos : mesure
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Thierry Dias janvier 2007
L ’école élémentaire
contenus des textes officiels
espace
géométrie
repérage
relations et propriétés
orientation
solides
figures planes
compétences et savoirs :
compétences et savoirs :
pluri-disciplinaire
mathématiques
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Thierry Dias janvier 2007
deux géométries : empirique et théorique
référence aux travaux de Salin et Berthelot
L'objectif principal est de permettre aux élèves
de passer progressivement :
d'une géométrie où les objets et leurs propriétés
sont contrôlés par la perception
à une géométrie où ils le sont par explicitation
de propriétés et recours à des instruments.
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Thierry Dias janvier 2007
deux géométries : empirique et théorique
de je vois
du dessin
de l'objet
à
à
au
je sais
la figure
concept
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Thierry Dias janvier 2007
d'une géométrie à l'autre : du type empirique au type théorique
illustration :
Comment résoudre ce
paradoxe perceptif ??
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Thierry Dias janvier 2007
L ’école élémentaire
retour aux textes officiels
Les activités du domaine géométrique :
ne visent pas des connaissances formelles
(définitions),
mais des connaissances fonctionnelles,
utiles pour résoudre des problèmes dans
l'espace ordinaire, dans celui de la feuille de
papier ou sur l'écran d'ordinateur.
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Thierry Dias janvier 2007
L ’école élémentaire
programmes : progression
Les apprentissages se déroulent de manière continue
de la petite section de maternelle jusqu’au CM2. Un
vocabulaire précis doit être progressivement mis en
place.
Le principe est de partir du réel (et donc d’objets
matériels) puis d’abstraire peu à peu. La primauté est
donnée à la géométrie dans l’espace.
Il n’y a pas de démonstration bien entendu, mais un
début d’apprentissage du raisonnement, notamment
dans les activités de reproduction de figures.
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Thierry Dias janvier 2007
L ’école élémentaire
Structuration de l'ensemble des concepts :
aspects notionnels
Vergnaud
 Objets :
 point, droite, segment, angle, milieu
 carré, rectangle, losange, parallélogramme,
triangles, cercle
 cube, tétraèdre, pavé, face, arête, sommet
 Relations :
alignement, égalité de longueurs, perpendicularité,
parallélisme, symétrie axiale
 Mesures :
longueurs et aires : périmètre et aire du carré et du
rectangle, longueur du cercle.
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Thierry Dias janvier 2007
en SEGPA :
garder des exigences fortes en appui sur les
programmes du collège
l'adaptation doit principalement porter sur
l'organisation des situations , sur l'étayage de
l'enseignant et pas sur les contenus.
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Thierry Dias janvier 2007
Le collège
FIGURES PLANES
6°
Propriétés des quadrilatères et des triangles usuels.
Reproduction, construction de figures usuelles, de figures
complexes. Médiatrice d’un segment. Bissectrice d’un angle.
Cercle. Vocabulaire et notations.
5°
Parallélogramme (propriétés caractéristiques) Caractérisation
angulaire du parallélisme. Triangle : somme des angles,
construction et inégalité triangulaire, cercle circonscrit, médianes
et hauteurs.
4°
3°
Triangles : milieux et parallèles. Triangles déterminés par deux
parallèles coupant deux sécantes.
Triangle rectangle : théorème de Pythagore et sa réciproque,
cosinus d’un angle aigu, cercle circonscrit. Distance d’un point à
une droite. Tangente à un cercle. Bissectrices et cercle inscrit.
Triangle rectangle : relations trigonométriques. Théorème de
Thalès et sa réciproque. Angle inscrit, angle au centre. Polygones
réguliers.
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Thierry Dias janvier 2007
Le collège
TRANSFORMATIONS
6°
Symétrie orthogonale par rapport à une droite
Construire le symétrique de différents objets
5°
Symétrie centrale
Construire le symétrique de différents objets
4°
Agrandissement et réduction
3°
Images de figures par une translation
Translation et vecteur, égalité vectorielle
Images de figures par une rotation.
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Thierry Dias janvier 2007
Le collège
GRANDEURS ET MESURES
6°
Longueurs, masses, durées : comparaison, calcul, changements
d'unités
Angles : comparaison, rapporteur
Aires : mesure, comparaison et calcul d’aires (figures
élémentaires)
Volume du parallélépipède rectangle : approche et calculs simples
Liaisons unités de volume et de contenance, changements d'unités
5°
Longueurs, masses, durées : calculs
Angles (mesure)
Aires : parallélogramme, triangle, disque, changements d'unités
Volumes : prisme, cylindre de révolution
4°
Calculs d’aires et volumes (pyramide et cône)
Grandeurs quotients courantes, vitesse moyenne
3°
Aire de la sphère, volume de la boule
Effet d’une réduction, d’un agrandissement sur des aires, des
volumes
Grandeurs composées (changement d’unités)
Thierry Dias janvier 2007
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L ’école élémentaire
quatre mots-clés (types de tâches) :
 Reproduire :
des figures, y compris la réalisation pratique de solides
 Décrire :
des figures, pour les identifier ou les représenter
 Représenter :
notamment des solides, avec les problèmes de faces
visibles ou invisibles, les patrons
 Construire :
des figures, avec des matériaux et des outils multiples :
règle, équerre, gabarit, calque, compas
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Thierry Dias janvier 2007
Le collège
cinq mots-clés (types de tâches) :
Reproduire
Réaliser une copie de l’objet à l’identique. L’élève doit : analyser la
figure, mobiliser les propriétés de la figure pour définir une chronologie
des tracés, faire un choix d’instruments, mettre en place des contrôles.
Compléter
Une partie de la figure est déjà reproduite, l’élève doit poursuivre la
reproduction. Il doit pour cela, en plus des compétences sollicitées pour
reproduire une figure, identifier les éléments déjà reproduits.
Construire
A partir d’un programme de construction. L’élève doit maîtriser : le
vocabulaire et sa signification, les propriétés des objets, la syntaxe
spécifique de la géométrie, le code dans le cas d’un schéma
A partir d’un schéma coté. L’élève doit : connaître les conventions de
codage, analyser une figure, distinguer la figure du dessin
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Thierry Dias janvier 2007
Le collège
cinq mots-clés (types de tâches) :
Représenter, dans le cas d’un objet de l’espace.
L’élève doit alors : faire abstractions de certaines propriétés de l’objet,
connaître les conventions
Décrire
Pour reconnaître une figure parmi d’autres.
L’élève doit : identifier les caractéristiques des figures, maîtriser le
vocabulaire
Pour reproduire une figure.
L’élève doit : analyser la figure, communiquer les différentes étapes de
la construction, ce qui nécessite de définir une chronologie, de choisir
le vocabulaire adapté, de se décentrer pour contrôler que le message est
recevable par un tiers.
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Thierry Dias janvier 2007
Où se trouvent les principales difficultés des élèves...
de l’école au collège : une transition difficile ?
Deux modes de construction des connaissances qui
peuvent s’opposer :
1. Un mode de type empirique basé sur l’intuition
et l’expérimentation
 géométrie science expérimentale
2. Un mode de type théorique s’appuyant sur la
déduction et qui trouve son aboutissement dans la
démonstration
 géométrie platonicienne
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Thierry Dias janvier 2007
Où se trouvent les principales difficultés des élèves...
De l’école au collège : une transition difficile ?
Dans le mode de type empirique
Ceci est un carré…
et un carré n’est pas un rectangle !
Dans le mode de type théorique
Les propriétés de cette figure (4 angles
droits, 4 côtés isométriques)
définissent un carré…
et un carré est aussi un rectangle !!
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Thierry Dias janvier 2007
Où se trouvent les principales difficultés des élèves...
De l’école au collège : une transition difficile ?
Dans le mode de type empirique
Les problèmes spatiaux relèvent d’une solution
validée empiriquement.
Dans le mode de type théorique
Les problèmes de géométrie relèvent d’une solution
prouvée mathématiquement.
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Thierry Dias janvier 2007
Où se trouvent les principales difficultés des élèves...
De l’école au collège : une transition difficile ?
Pour aider les élèves à franchir cette difficulté, il faut
aménager des situations dans lesquelles on permet aux
élèves de faire progressivement la différence entre :
réalité spatiale
et
modèle géométrique
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Thierry Dias janvier 2007
Où se trouvent les principales difficultés des élèves...
De l’école au collège : une transition difficile ?
En instaurant une transition entre ces deux modes de
construction des connaissances : l’utilisation des
instruments.
monde réel - outils perceptifs : la vue, le toucher
espace spatio-géométrique outils d ’aide à la perception : les instruments
espace géométrique - outil de validation : la théorie
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Thierry Dias janvier 2007
donc...
Pour quoi enseigner la géométrie :
 1. Apprendre aux élèves à penser géométriquement
 2. Apprendre aux élèves à voir dans l ’espace
 3. Apprendre aux élèves à raisonner
Comment enseigner la géométrie :
 1. Mettre en œuvre des situations de recherche
 2. Mettre en œuvre des situations de communication
 3. Faire une place aux nouvelles technologies
 4. Lier la géométrie aux autres disciplines
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Thierry Dias janvier 2007
Comment enseigner la géométrie
Mettre en œuvre des situations de communication
Analyser, reproduire et décrire une figure
 Donner du sens à un programme de construction
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Thierry Dias janvier 2007
La spécificité du vocabulaire mathématique est assez rebutante.
Par ailleurs dès lors que sont abordées des tâches de
construction ou d’argumentation la précision des termes
employés, des arguments proposés (nécessaires et suffisants),
leur structuration (chronologie ou enchaînement discursif)
paraissent souvent arbitraires aux élèves.
Pour autant le langage est indissociable de l’action (ainsi
verbalise-t-on des actions peu familières). Au delà de toute
ambition géométrique, on ne peut donc se satisfaire de la
difficulté à verbaliser certaines actions simples.
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Thierry Dias janvier 2007
Rédaction de programmes de construction de figures
géométriques qui seront reconstruites par des tiers.
D’abord activité en groupe avec une planification
hebdomadaire. Les groupes ont pour charge de reproduire
les figures puis de se mettre d’accord sur un programme.
L’enseignant intervient beaucoup comme médiateur et pour
apporter une aide sémantique.
Les programmes lus à haute voix sont enregistrées dans
chaque groupe .
Lors de la réécoute la nécessité de les reformuler apparaît.
Une aide tutorielle sur les propriétés et les caractéristiques
des figures en jeu est fournie.
Les programmes sont communiqués à une autre classe de
SEGPA .
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Thierry Dias janvier 2007
Organisation 1 : une seule figure par binôme E/R
Dans un premier temps, les élèves élaborent un message écrit
(sans dessin), qu’ils transmettent pour exécution à leur
correspondant.
Dans un second temps, les récepteurs réalisent la production
demandée par leur camarade. En cas d’ambiguïté, ils peuvent
poser une question aux émetteurs mais par écrit.
Dans un troisième temps, émetteurs et récepteurs appariés, se
réunissent pour comparer avec l’attendu, débattre des différences
et écrire deux messages définitifs qu’ils donnent à l’enseignant*.
* Celui-ci peut alors, soit organiser un débat collectif pour valider les
messages, soit évaluer chaque message avec le groupe réalisateur de la
dernière mouture.
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Thierry Dias janvier 2007
Organisation 2 : deux figures simultanées (une différente pour
chaque binôme E/R)
• temps 1 : travail en binôme : observation de la figure,
reproduction de la figure, description par un message
• temps 2 : travail en binômes : échanges des messages : lecture
de la description écrite, construction de la figure
• temps 3 : mise en commun par regroupement de binômes :
comparaison des figures et conclusions sur les écrits, si des
différences sont importantes, on peut essayer de corriger le
message écrit en tenant compte de ces différences
• temps 4 : mise en commun collective : difficultés et réussites
rencontrées, dégagement par l'enseignant des invariants (ce qui
fonctionne bien), institutionnalisation
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Thierry Dias janvier 2007
Un exemple de séquence
A/ règle + équerre : 2 séances
B/ règle + équerre + compas : 2 séances
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Thierry Dias janvier 2007
A/ Règle + équerre
séance 1
objectif : permettre de découvrir que ce sont les propriétés
qui fondent les caractéristiques des polygones particuliers
que sont le carré et le rectangle et non pas leur forme.
propriétés travaillées : côtés isométriques (et/ou deux à
deux), angle droit.
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Thierry Dias janvier 2007
Fig. 1
Fig. 2
mots interdits pour les émetteurs : carré, rectangle
remarque : l'enseignant veille bien à proposer les figures de
façon inclinées afin d'éviter la position prototypique.
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Thierry Dias janvier 2007
séance 2
objectif : prendre conscience que l'orientation d'une
figure ne change pas ses propriétés, mais que le
programme de construction peut s'en trouver changé.
propriétés travaillées : côtés isométriques (et/ou deux à
deux), angle droit, milieu d'un segment, éventuellement
diagonales
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Thierry Dias janvier 2007
Fig. 1
Fig. 2
remarque : même figure, même dimension, mais orientation différente
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Thierry Dias janvier 2007
B/ Règle + équerre + compas
séance 3
objectif : découvrir des constructions de figure à partir
d'un carré
propriétés travaillées : milieu d'un segment; arc de
cercle, centre d'un cercle, éventuellement diamètre et
rayon d'un cercle
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Thierry Dias janvier 2007
Fig. 1
Fig. 2
remarque : même base carrée (visible ou non au choix)
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Thierry Dias janvier 2007
séance 3 bis
Fig. 1
Fig. 2
remarque : ces figures peuvent être données en même temps que celles
de la séance 3 lors d'un séance plus différenciée
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Thierry Dias janvier 2007
Un exemple de projet de constitution d'un
fichier de géométrie.
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Thierry Dias janvier 2007
Une classe de 6ème du collège de la Grange du Bois et les
classes de CM2 se sont lancées un défi dans le domaine de
la géométrie. Les fiches proposées ont été élaborées par
les élèves...
http://perso.orange.fr/ecole.pierre.brossolette/geompr.html
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Thierry Dias janvier 2007
Trace un cercle de 8 cm de diamètre.
Nomme le centre I.
Trace verticalement un segment qui passe par I, nomme-le AB.
Trouve le milieu du segment AI et nomme-le E.
Mets la pointe de ton compas sur E et la mine sur A. A gauche, trace un
demi-cercle.
Trouve le milieu du segment BI et nomme-le F.
Mets la pointe de ton compas sur F et la mine sur B. A droite, trace un
demi-cercle.
Maintenant, efface le segment AB et tous les points.
Colorie l'un des pétales en noir.
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Thierry Dias janvier 2007
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Thierry Dias janvier 2007
Comment enseigner la géométrie
Mettre en œuvre des situations de communication
Solutions des belles constructions à réaliser… à faire réaliser
A
G
B
H
D
C
J
K
E
L
F
M
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Thierry Dias janvier 2007
Concepts
VERGNAUD G. (1990) La théorie des champs conceptuels. Recherches en
Didactique des Mathématiques vol 10 2/3 pp. 133-170
"Un concept est un triplet de trois ensembles C= (S, I, S)
S : ensemble des situations qui donnent sens au concept (la
référence)
I : ensemble des invariants sur lesquels repose
l’opérationalité des schèmes (le signifié)
S : ensemble des formes langagières et non langagières qui
permettent de représenter symboliquement le concept, ses
propriétés, les situations et les procédures de traitement (le
signifiant)"
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Thierry Dias janvier 2007
BERTHELOT R. & SALIN M.H.,L’enseignement de la géométrie à l’Ecole
primaire, Grand N n°53 (p. 39-56), IREM de Grenoble, 1994
BERTHELOT R. & SALIN M.H.,Un enseignement des angles au cycle 3,
Grand N n°56 (p. 69-116), IREM de Grenoble, 1995
BERTHELOT R. & SALIN M.H., L’enseignement de la géométrie au début
du collège. Comment concevoir le passage de la géométrie du constat à la
géométrie déductive ?, Petit x n° 56, IREM de Grenoble, 2001
IREM DE LILLE, Travaux géométriques : Apprendre à résoudre des
problèmes, cycle 3, IREM de Lille, CDDP Nord - Pas de Calais, 2000
HOUDEMENT C., KUZNIAK A., Géométrie et paradigmes géométriques,
Petit x n° 51, p. 5 à 21, IREM DE Grenoble, 1999
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