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The Small-World
Phenomenon: An
Algorithmic Perspective,
de Jon Kleinberg
Philippe Gambette
Introduction
 Les grands graphes, des outils indispensables dans
divers domaines.
 Les graphes petit-mondes :
 pour modéliser l’expérience de Milgram dans les années 60 de
la lettre expédiée par réseau d’amitié :
 un faible diamètre, mais surtout…
 … une gestion décentralisée du trajet de la lettre
 Un modèle de grille.
 Des bornes sur ces algorithmes décentralisés.
L’expérience de Milgram
Le modèle de Watts et Strogatz :
Voisins proches
Voisins éloignés
Ne permet pas d’expliquer l’algorithme « décentralisé »
Le modèle proposé par Kleinberg
Le modèle de Watts et Strogatz :
- les arêtes sont dirigées.
- la structure de grille nxn au lieu de cercle pour les voisins
proches (à distance inférieure à p).
- la probabilité de relier deux voisins éloignés u et v n'est plus la
même, on relie à présent chaque noeud à q voisins éloignés avec
probabilité proportionnelle à d(u,v)r.
Une borne minimale et une maximale
Pour r=0, l’espérance du nombre de pas est minoré par kn2/3.
Pour r=2, p=q=1, l’espérance du nombre de pas est majoré par k.log(n)2.
Des bornes minimales
Borne minimale en fonction de r :
log de la minoration de
l’espérance du nombre
de pas de l’algorithme
2
Pour 0<r<2, espérance du nombre de pas : k.n(2-r)/3,
k dépendant de p, q, r.
Pour r>2, espérance du nombre de pas : k.n(r-2)/(r-1),
k dépendant de p, q, r.
r