Démonstrations géométriques

Démonstrations géométriques
La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les propriétés des
figures et leurs relations.
Pour démontrer ces propriétés, elle fait appel à différents énoncés:
- des axiomes;
- des conjectures;
- des théorèmes.
Les axiomes sont des énoncés considérés comme évidents et acceptés
comme vrais.
Exemples: - le segment de droite représente le plus court chemin entre
deux points;
- par deux points ne passe qu’une seule droite.
Il est possible de percevoir des propriétés ou des relations qui ne sont pas du
tout évidentes et qui peuvent même se révéler fausses.
De tels énoncés sont appelés « conjectures ».
Exemple: Jusqu’au XVIIe siècle, on croyait que la Terre était le centre de
l’Univers, comme l’avait proposé Aristote.
C’était une conjecture qui avait été longtemps acceptée comme
vrai jusqu’au jour où Copernic et Kepler remettent en cause cette
conception de l’Univers.
Les conjectures peuvent servir de pistes de travail pour chercher ou
démontrer certaines réalités.
Cependant, pour n’induire personne en erreur, on se donne l’obligation de
démontrer leur véracité ou leur fausseté.
Pour être vraie, une conjecture doit s’appliquer à tous les cas.
Par contre, pour montrer qu’une conjecture est fausse, il suffit de trouver un cas
qui la contredit.
Ce cas est appelé un contre-exemple.
Exemple:
On pourrait émettre la conjecture suivante:
« Si c’est un œuf, alors il a été pondu par un oiseau. »
Cependant, les tortues pondent des œufs et elle ne sont pas des oiseaux.
Ce contre-exemple rend la conjecture fausse.
Lorsqu’une conjecture est démontrée, elle devient un théorème.
On démontre en établissant une preuve.
Voici quelques théorèmes :
La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle = 1800 .
Une bissectrice est une droite divisant un angle en deux angles
isométriques ( congrus ).
Dans un triangle rectangle possédant un angle de 300, la mesure du côté qui
fait face à l’angle de 300 vaut la moitié de la mesure de l’hypoténuse.
Des angles adjacents dont les côtés extérieurs sont en ligne droite sont
supplémentaires ( la somme de leurs mesures = 1800 ).
Nous allons les utiliser pour démontrer quelques situations.
Exemple 1 :
B
Dans le triangle rectangle suivant :
AD est une bissectrice;
D
5 cm
On regarde attentivement la figure.
Quelle est la mesure de
DAC ?
?
A
C
Ce qu’il faut prouver est toujours la dernière étape de la démarche.
Affirmations
Justifications
Étape 1 : m
BAC = 300
1) Si dans un triangle rectangle, la mesure
d’un côté vaut la moitié de la mesure de
l’hypoténuse, alors l’angle qui fait face
à ce côté vaut 300.
Étape 2 : m
DAC = 150
2) car AD est une bissectrice.
La démarche consiste à justifier ( par des axiomes, des énoncés ou des
informations données dans le problème ) chaque affirmation.
Exemple 2 :
A
Dans le triangle rectangle suivant, que
vaut la mesure de l’angle BAC ?
?
450
C
B
Affirmations
1350
Justifications
1) m
ABC = 900
1) Le triangle est rectangle.
2) m
ACB = 450
2) Des angles adjacents dont les côtés
extérieurs sont en ligne droite sont
supplémentaires .
3) m
BAC = 450
3) La somme des mesures des angles
intérieurs d’un triangle = 1800 .
D
Tu auras besoin de symboles mathématiques pour effectuer ce travail.
Voici les principaux à apprendre ( du moins au début !!!!!) .
le triangle ABC :
l’angle C :
A
∆ ABC
C
600
la mesure de l’angle C est de 600:
m
C = 600
B
ACB
C
ACD
Remarque: quand les figures sont plus complexes, on utilise 3 lettres pour
éviter la confusion.
angle formé par les segments AC et CB;
C étant le sommet .
D
le segment AB :
A
AB
5 cm
la mesure du segment AB est de 5 cm :
m AB = 5 cm
B
C
A
4 cm
l’arc AB :
AB
la mesure de l’arc AB est de 4 cm :
B
m AB = 4 cm
la droite d1 est parallèle à la droite d2 :
d1
d1 // d2
d2
d1
la droite d1 est perpendiculaire à la droite d2 : d1
d2
d2
Exemple 3 : Dans un triangle rectangle possédant un angle de 300, la mesure du côté
qui fait face à l’angle de 300 vaut la moitié de la mesure de l’hypoténuse.
C
Voici une démonstration qui prouve cet énoncé.
Construisons un triangle équilatéral de 8 cm de côté.
Traçons l’axe de symétrie passant pas le sommet C.
300
8 cm
8 cm
Nommons-le CD.
A
4 cm
D
B
8 cm
Affirmations
1) m
CDA = 900
m AD = 4 cm
2) m
ACD = 300
Justifications
1) L’axe de symétrie d’un triangle équilatéral
est aussi une médiatrice.
2) L’axe de symétrie d’un triangle équilatéral
est aussi la bissectrice de l’angle par
lequel il passe.
3) Donc, la mesure du côté face à un
3) C.q.f.d. ( ce qu’il fallait démontrer ).
0
angle de 30 dans un triangle
rectangle vaut la moitié de la mesure
de l’hypoténuse .
Remarques:
Dans cette dernière démonstration, il fallait connaître les énoncés suivants :
- un triangle équilatéral possède trois angles de 600 ;
- l’axe de symétrie d’un triangle équilatéral est aussi une médiatrice et la
bissectrice de l’angle du sommet d’où il origine;
- une médiatrice est un segment élevé perpendiculairement sur le milieu
d’un autre segment ;
- une bissectrice est une droite divisant un angle en deux angles isométriques.
Il y a beaucoup d’énoncés à connaître; les savoir est essentiel pour prouver
tes affirmations.
De plus, ces énoncés bien mémorisés t’aideront à comprendre les différentes
situations et à élaborer tes démonstrations.