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ASI 3
Méthodes numériques
pour l’ingénieur
Calcul des valeurs propres

Illustration : un système mécanique à
deux degrés de liberté
)(
2212
22
2
2
22121
21
2
1
tfukuk
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m
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m
222
111 Ltxtu
Ltxtu
masse seconde lasur uniquementagissant force :)( ressortdu raideur de constante : ressortdu bout au masse : reposau ressort du position : ressortdu position : étatd' variable:
1
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1
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K
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tu
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m1m2f(t)
k1k2
x1(t)x2(t)
Seconde loi
de Newton
Écriture matricielle

Fréquences de résonance
, poseon
,
0
0
: que telle matrice une on trouve si
,
2
22
1
1
2
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bPDv
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Puv
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)(
)(
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22
2
111
21
2
tgv
dtvd
tgv
dtvd
Le comportement des deux ressorts est découplé - si l’on admet
que les deux valeurs propres sont positives, il existe deux pulsations
propres caractérisant le système

Résonances
(T. Von Karman, the wind and beyond,1963)
•1831, près de Manchester, des miltaires
passent un pont au pas
• les avions qui vibrent et s’écrasent
•immeubles et tremblements de terre
•Ariane : moteur et structure
•pont de Tacoma
–1,6 km, pointe de la technologie
–7 novembre 1940 : vents de 67 km/h, il se désagrège

0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
2
4
6
8
10
fréquence excitatrice a
Module de l'amplitude de la réponse
Amplitude de la réponse d ’un
système oscillant
22
2
22
22
2
1
1
avec )( :solution
aa
aa
a
a
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kketx
exxx
ti
ti