Interférences avec des particules

Troisième cours de physique
Rappels
Interférences avec
faisceau de particules
Etat quantique
stationnaire
Equation de Schrödinger
indépendante du temps
Correspondance de
De Broglie
Paquet d’ondes 
Equation de
Schrödinger
fonction du
temps
Interprétation
probabiliste de 
+ Conditions aux limites
Exemple: Particule dans un
puits de potentiel infini
Quantification de l’énergie de
la particule
Origine physique de la
quantification
p

Rappels
h
h
 p  k  .k

2
E  .
Interférences  particule  paquet d’onde
Ψ
paquet d’onde  probabilité de présence
de la particule ponctuelle.
Interférences avec des particules
(animation)
Interférences avec des particules
(animation)

particule libre à l’origine = paquet d’onde gaussien
(x ) 
0 
2
k0
 (k  k 0 )2  2

 ikx
2
.e
dk
e

(x )  e
 ik 0 x

x2
2
2
.e
Partie oscillante
Amplitude: confinement dans l’espace

particule libre en déplacement
 (k  k 0 )2  2

2
 ( x )   ei( k ) t e ikx .e
dk

Vg
d(k )
vg 
dk
fonction d’onde de la
particule libre
vitesse de groupe
du paquet d’onde
Probabilité de présence de la particule
Incertitude du résultat d’une mesure
microscopique

v( t )

r (t)
1Å
1 eV
Perturbation
Mécanique classique
Trajectoire
position
vitesse
Mécanique quantique
Etat (dynamique) stationnaire
Atome isolé au
repos
F(t)
Energie variable
Energie
constante
Propriétés
indépendantes
du temps
Mouvement
Etat dynamique
 
ri ( t ), vi ( t )
(Périodicité)
« permanence»
E(t)
Non-stationnaire
Etat dynamique stationnaire quantique
position et vitesse incertaines
Mouvement
Energie
constante
Probabilité
indépendante du
temps
Charge électrique
statique
 ( x , t )   ( x, t )
fonction d’onde (paquet d’onde
en mouvement)
 (x)
Probabilités
x1
x2
x1
p=(n/N) (1-p)
x
a
p1
x2
p2
x3
p3
xm
pm
pi  0
 pi
1
x+dx
b
Densité de
probabilité
p( x )dx  Pr ob( x  x  dx)
( x )  probabilité?
p( x)  0
b
a p( x)dx
1
( x )  probabilité ?
p( x )  
|ψ|2
|ψ|
ψ

 2
p( r )   ( r )
2
Rappel: Equation de
Schrödinger
Particule libre
( x, t )
 2  2 ( x , t )
i

t
2m x2
Particule dans un potentiel
2
2
( x, t )
  ( x, t )
i


V
(
x
)

t
2m x2
Etats stationnaires
( x, t )  ( x)e
 i t

2
E
i t
( x)e 
( x, t )  ( x )
E  
2
 2  2 ( x, t )
 ( x , t )


V
(
x
)


i

2m x 2
t
E
i t
e  [
 d ( x )
.
 V( x ) ( x )] 
2
2m dx
2
2
E
i t
 iE
(i )(
) ( x ).e 

 d ( x )

.
 V( x )( x )  E.( x )
2
2m dx
2
2
Equation de Schrödinger indépendante du temps
Détermination des états stationnaires
( x )
( x )
1°) = amplitude de probabilité de présence de la particule
2
2°) = densité de probabilité de présence de la particule
 ( x ) dx  1
2
Fonction de carré sommable
Norme=1
3°) Solution de l’équation de Schrödinger
 2 d 2( x )

.

V
(
x
)

(
x
)

E
.

(
x
)
2m dx 2
-
4°) Conditions aux limites
( x) : fonction continue, dérivable
' ( x) : fonction continue
5°) Etats liés
E  V( )
+
 E ( x )   ( x | E)
Entracte 10 minutes
Détermination des états stationnaires
( x )
?
 d ( x )

.
 V( x )( x )  E.( x )
2
2m dx
2
2
Etats liés
E  V( )
( x) : fonction continue, dérivable
' ( x) : fonction continue
 ( x ) dx  1
2
( x )
2
2°) = densité de probabilité de présence de la particule
Particule de masse m dans un « puits de potentiel infini »
m
V=
V=
V=0
x
x=0
x=a
Mécanique classique
vitesse initiale
mv
E
2
F0
V=
m
2

V=
v0
Etat classique de
la particule
V=0
2
1
dVx=0 V
F

dx
x
2
0
x
V2  V1
F
F
x 2  x1
x=a
Mécanique quantique
( x )  ?
m
V=
( x )  0
V=
( x )  0
V=0
x
x=0
x=a
Solution
1°) Equation de Schrödinger
des états stationnaires E>0
V=
V=
V=0
2


" ( x )  V( x )( x )  E
2m
2


" ( x )  E
2m
x
( x )  ?
x=0
x=a
2mE
2
k  2 "( x )  k   0

2
( x )  A cos kx  B sin kx
Quantification de l’énergie
Solution
2°) Conditions aux limites
x0
V=
xa
V=
( x )  A cos kx  B sin kx
V=0
x
x=0
0
x=a
a
x0
2mE
k  2

( x )  0
A0
x  a sin( ka )  0
2
n
E
2
2ma
2
2
2
ka  n
Solution
3°) Norme (Carré sommable)
n
x.dx
  dx  1  B  sin
a
0
a
2
V=
V=
V=0
x
x=0
0
x=a
a
2
n
 n ( x) 
. sin( x )
a
a
2
2
2
B
a
n
E
2
2ma
2
2
2
n=1, 2, 3,... Etats possibles de la particule
n Nombre quantique
  n ( x)    n ( x)
probabilité   n   n
2
2
Etats quantiques possibles de la particule
||2
E
V=
V=
V=
V=
V=0
V=0
x
x=0
x=a
n
E
2
2ma
2
2
2
n=1
n=2
x
x=0
x=a
2
n
( x )  .sin( x )
a
a
n=3
Mécanique classique
origine mathématique de la quantification discrète des énergies possibles
E
n
E
2
2ma
2
V=
2
2
||2
V=
V=
V=
V=0
V=0
x
x
x=0
2
x=a


." ( x )  E.( x )
2m
2
( x )  .sin( k.x )
a
x=0
x=a
E   E ( x E)
n
k
a
(0)  0
 (a )  0
origine physique de la quantification discrète des énergies possibles
n
E
2
2ma
2
E
V=
2
2
||2
V=
V=
V=
V=0
V=0
x
x
x=0
x=0
x=a
2
( x )  .sin( k.x )
a
n
k
a
x=a
Onde stationnaire +
noeuds en 0 et en a
Interférence non-destructive + segment fini
origine physique de la quantification discrète des énergies possibles
n
2
E
.sin( k.x )
2 ( x ) 
2ma
a
2
2
||2
2
V=
V=
V=0
k quelconque
V=
V=
V=
x=0
V=
V=0
V=0
x
x
x=0
x=a
x=0
x=a
Interférence destructive
x=a
origine physique de la quantification discrète des énergies possibles
n
2
E
.sin( k.x )
2 ( x ) 
2ma
a
2
2
||2
2
V=
V=
V=0
x=0
x=a
Interférence destructive
segment semi-infini
(0)  0
 ( )  0
(k,E) 
Pas de confinement spatial
Quantification discrète des énergies
1°) Particules = ondes
2°) Auto-interférences non destructives
3°) Confinement spatial
(Cavité en résonance)
Electron +
noyau
Etats
liés=atome
Etats non-liés
E quelconque
E : valeurs discrètes
Diffusion, ionisation
FIN