Calculs de probabilités : Conditionnement et indépendance

Terminales S2
Cours
Chapitre 8 du livre
Probabilités conditionnelles
Calculs de probabilités : Conditionnement et indépendance
1. Rappels de 1ère
Épreuve aléatoire: expérience dont les résultats ne sont dus qu'au hasard.
Éventualité ou issue: résultat possible.
: Univers: ensemble des éventualités .
événement : partie ou sous-ensemble de
événement impossible : ∅ ,
événement certain :
événement élémentaire : qui possède un seul élément
événements incompatibles : A ∩ B = ∅ ;
événement contraire :
A
=
\ A : ensemble des éventualités n'appartenant pas à A..
Probabilité sur
application de l'ensemble des événements dans [ 0 ; 1 ] telle que :
P (
  ) = 1 ;
si A ∩ B = ∅ , P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P( B )
Probabilité d'un événement: l'image de cet événement par l'application en question.
Conséquences de la définition:
P ( ∅ ) = 0
P (
A
) = 1 - P ( A )
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B ) .
La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le
définissent.
Cas d'équiprobabilité : les événements élémentaires ont tous la même probabilité .
Dans ce cas les probabilités des évènements élémentaires sont toutes égales à
1
Card 
et P ( A ) =
Card A
Card 
ou encore
nombre decas favorables
nombre de cas possibles
Attention! on n'est pas toujours dans un cas d'équiprobabilité.
Une variable aléatoire est une application X:   ℝ
ei x i = X ( e i )
On appelle loi de probabilité de X l'ensemble des couples ( x i, p i ) où p i = P ( X = x i ) donnés
sous forme de tableau en général.
Espérance mathématique: E ( X ) =
∑
i=0
i=n
pixi
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Variance: V ( X ) =
∑
i=0
i=n
pixi– E X2
=
∑
i=0
i=n
pixi
2−E2X=EX2– E2X
Écart-type:  ( X ) =
VX
Exercice 1. 1:
On lance trois dés: un rouge, un bleu, un vert. On écrit un nombre de trois chiffres: le chiffre des
centaines est écrit sur le dé rouge, le chiffre des dizaines est écrit sur le dé bleu et celui des unités
l'est sur le dé vert.
a. Combien de nombres différents peut-on écrire de cette manière?
b. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants:
A: le chiffre des dizaines est le même que celui des unités;
B: les trois chiffres sont différents;
C: le nombre obtenu est le carré d'un entier naturel;
D: le nombre obtenu est strictement supérieur à 365.
Exercice 1. 2:
Voici les informations concernant la loi de probabilité d'une variable aléatoire Y:
yi
- 10 - 6 1 2 3
pi=PY=yi
0,05 0,15 0,3 a ?
Calculer a pour que E ( Y ) = 0, puis calculer
( Y ).
Exercice 1. 3:
Quatre personnes sont dans l'ascenseur, au rez de chaussée d'un immeuble de 10 étages.
Chaque personne sort au hasard à l'un quelconque des dix étages.
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants:
A: les quatre personnes sortent au 4ème étage;
B: Les quatre personne sortent au même étage;
C: aucune personne ne sort au 4ème étage;
D: les quatre personnes sortent à des étages différents.
Exercice 1. 4:
QCM A. On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité que la
carte tirée soit une figure? a.
1
2
b.
3
8
c.
8
3
d.
1
3
B. A et B sont deux évènements tels que P ( A ) =
1
5,
, P ( B ) =
1
4
, P ( A ∪ B ) =
7
20
.
Quelle est la probabilité de l'évènement A ∩ B? a.
1
10
b.
11
20
c. 1 d.
9
20
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C. Une loterie permet de gagner 10, 20, 30 , 40 €.
Quelle est la probabilité de gagner au moins 30€?
gain 10 20 30 40
probabilité
1
8
1
6
a.
7
8
b.
5
6
c.
17
24
d.
7
24
D. Deux évènements A et B sont incompatibles. Quelles sont les situations impossibles?
a. P ( A ) = P ( B ) = 0,6 b. P ( A ) = P ( B ) = 0, 3 et P ( A ∪ B ) = 0,7
c. P ( A ) = 1 et P ( B ) = 0 d. P ( A ) = 3 et P ( B ) = 4 et P ( A ∪ B ) = 7
2. Probabilités conditionnelles
2. 1. Introduction
Exemple 2. 1. 1:
Une société de 100 employés comprend 30 cadres. Parmi ces cadres, 12 parlent l'anglais. On
choisit au hasard un employé de cette entreprise. Représenter cette situation à l'aide d'un tableau
d'effectifs puis d'un diagramme ( de Venn ).
a. Quelle est la probabilité, sachant qu'on a choisi un cadre, que cet employé parle l'anglais?
b. Quelle est la probabilité qu'un employé, sachant qu'il n'est pas cadre, ne parle pas l'anglais?
2. 2. Définition
Définition || A et B sont deux évènements avec P ( A ) ≠ 0.
|| On appelle probabilité de l'évènement B sachant A, notée
PAB
, le nombre
||
PAB= PA∩B
PA
PA est une probabilité; c'est la probabilité obtenue en remplaçant  par A et les évènements de 
par leur intersection avec A.
Conséquence ||
PA∩B=PA×PAB
Exemple 2. 2. 1.
Dans une classe de 21 élèves, il y a 13 filles dont 10 font de l'espagnol. Choisissant une fille au
hasard, quelle est la probabilité qu'elle fasse de l'espagnol?
Que devient ce résultat si je prends une classe de 35 élèves ou de 50?
Quel doit être l'effectif de la classe pour que ce résultat coïncide avec celui de la question suivante:
Choisissant un élève au hasard, quelle est la probabilité pour que ce soit une fille parlant
l'espagnol?
Exemple 2. 2. 2:
Je lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité, sachant que j'ai obtenu un nombre pair, d'obtenir
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un nombre supérieur ou égal à 4?
2. 3. Représentation et propriétés
Exercice 2. 3. 1.
On a défini une probabilité P dans telle que:
P ( A ) = 0,3 P ( B ) = 0,6 P ( A ∩ B ) = 0,2
a. Calculer les probabilités suivantes: PA ( B ), PA (
B
), PB ( A ), PB (
A
), P
A
( B ) et P
A
(
B
).
b. Représenter par un arbre de probabilités.
Règles pour un arbre de probabilité:
●La somme des probabilités marquées sur les branches issues d'un même noeud est égale à 1.
●Le produit des probabilités marquées sur l'ensemble des branches d'un chemin est la
probabilité de l'intersection des évènements apparaissant le long de ce chemin.
●La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins aboutissant à cet
événement.
P ( A ) P (
A
)
A
A
PAB
PA B =1– PAB
PAB
PAB
B
B
B
B
PA∩B=PA×PAB
P A∩B =PA×PAB
P A∩B =PA×PAB
P A∩B =P A ×PAB
PB=PAB×PAPAB×PA
PA ( B ) + PB (
A
) = 1 P ( A ∩ B ) = P ( B ) × PB ( A ) = P ( A ) × PA ( B )
PB=PB∩APB∩A=PA×PABPA×PA A
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En généralisant
p1
p2
pn
∑
1
n
pk=1
A1
A2
.............................
An
q1=pA1B1
qn=pA1Bm
∑
1
m
qk=1
B1
B2
............
Bm
........................................................
. . ................................... .
. . ................................... .
t1
tp
∑
1
p
tp=1
R1
.....
Rp
............
R1
..............
R1
...............
R1
....................
R1
.......
Rp
z1=p1×q1×t1=PA1∩B1∩∩R1
........................................................................
zn=pn×...
PR1= z1z2...zn
Formule des probabilités totales: Si
{
B1, B1, ... , Bnsont deux à deux incompatibles
et B1∪B2∪...∪Bn=
alors, pour tout évènement A:
PA=PB1A×PB1PB2A×PB2PBnB×PBn
Exercice 2.3.2:
Inverser un arbre de probabilités
Une société effectue auprès de 10 000 personnes une étude de marché concernant un nouveau
produit. Dans cet échantillon, 40% sont des jeunes ( moins de 20 ans ) et 20% d'entre eux se
déclarent intéressés par le produit. En revanche, 10% seulement des personnes de plus de 20 ans se
déclarent intéressés par le produit. On choisit au hasard une personne dans l'échantillon. On note J
l'événement:'' La personne est jeune '' et I l'événement '' La personne est intéressée ''.
1. Établir deux arbres de probabilité : l'un commençant par J, l'autre par I. On utilisera celui qui
convient dans chaque question et on complètera les deux en écrivant les probabilités
correspondant à chaque branche.
2. a. Calculer
PI∩J, P I∩J, P I∩J, P I∩J
.
2. b. Calculer P ( I ).
2. c. Calculer la probabilité que la personne ait moins de vingt ans sachant qu'elle est
intéressée par le produit.
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