Calculs de probabilités : Conditionnement et indépendance

Terminales S2
Cours
Chapitre 8 du livre
Probabilités conditionnelles
Calculs de probabilités : Conditionnement et indépendance
1. Rappels de 1ère
Épreuve aléatoire: expérience dont les résultats ne sont dus qu'au hasard.
Éventualité ou issue: résultat possible.
 : Univers: ensemble des éventualités .
événement : partie ou sous-
ensemble de  
événement impossible : ∅ ,
événement certain : 
événement élémentaire : qui possède un seul élément
événements incompatibles : A ∩ B = ∅ ;
événement contraire : A =  \ A : ensemble des éventualités n'appartenant pas à A..
Probabilité sur  application de l'ensemble des événements dans [ 0 ; 1 ] telle que :
P(  

)=1;
si A ∩ B = ∅ , P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P( B )
Probabilité d'un événement: l'image de cet événement par l'application en question.
Conséquences de la définition:
P(∅)=0
P( A ) = 1 - P(A)
P(A∪ B ) = P(A) + P( B ) - P(A∩ B ) .
La probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des évènements élémentaires qui le
définissent.
Cas d'équiprobabilité : les événements élémentaires ont tous la même probabilité .
1
Dans ce cas les probabilités des évènements élémentaires sont toutes égales à
Card 
Card A
nombre de cas favorables
et P ( A ) =
ou encore
Card 
nombre de cas possibles
Attention! on n'est pas toujours dans un cas d'équiprobabilité.
Une variable aléatoire est une application X:   ℝ
ei x i = X ( e i )
On appelle loi de probabilité de X l'ensemble des couples ( x i, p i ) où p i = P ( X = x i ) donnés
sous forme de tableau en général.
i=n
Espérance mathématique: E ( X ) =
∑ pi x i
i=0
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i=n
Variance: V ( X ) =
i=n
2
∑ pi  xi – E  X  = ∑ pi x i 2−E 2  X = E  X 2 – E 2  X 
i=0
Écart-type:  ( X ) =
i=0
VX 
Exercice 1. 1:
On lance trois dés: un rouge, un bleu, un vert. On écrit un nombre de trois chiffres: le chiffre des
centaines est écrit sur le dé rouge, le chiffre des dizaines est écrit sur le dé bleu et celui des unités
l'est sur le dé vert.
a. Combien de nombres différents peut-on écrire de cette manière?
b. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants:
A: le chiffre des dizaines est le même que celui des unités;
B: les trois chiffres sont différents;
C: le nombre obtenu est le carré d'un entier naturel;
D: le nombre obtenu est strictement supérieur à 365.
Exercice 1. 2:
Voici les informations concernant la loi de probabilité d'une variable aléatoire Y:
yi
- 10
-6
1
2
3
pi = P Y = y i 
0,05
0,15
0,3
a
?
Calculer a pour que E ( Y ) = 0, puis calculer  ( Y ).
Exercice 1. 3:
Quatre personnes sont dans l'ascenseur, au rez de chaussée d'un immeuble de 10 étages.
Chaque personne sort au hasard à l'un quelconque des dix étages.
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants:
A: les quatre personnes sortent au 4ème étage;
B: Les quatre personne sortent au même étage;
C: aucune personne ne sort au 4ème étage;
D: les quatre personnes sortent à des étages différents.
Exercice 1. 4:
QCM A. On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité que la
1
3
8
1
carte tirée soit une figure? a.
b.
c.
d.
2
8
3
3
B. A et B sont deux évènements tels que P ( A ) =
Quelle est la probabilité de l'évènement A ∩ B?
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1
1
7
,P(B)= ,P(A∪B)=
.
5,
4
20
a.
1
10
b.
11
20
c. 1
d.
9
20
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C. Une loterie permet de gagner 10, 20, 30 , 40 €.
Quelle est la probabilité de gagner au moins 30€?
a.
gain
10
20
probabilité
1
8
1
6
7
8
b.
5
6
c.
17
24
d.
30
40
7
24
D. Deux évènements A et B sont incompatibles. Quelles sont les situations impossibles?
a. P ( A ) = P ( B ) = 0,6
b. P ( A ) = P ( B ) = 0, 3 et P ( A ∪ B ) = 0,7
c. P ( A ) = 1 et P ( B ) = 0
d. P ( A ) = 3 et P ( B ) = 4 et P ( A ∪ B ) = 7
2. Probabilités conditionnelles
2. 1. Introduction
Exemple 2. 1. 1:
Une société de 100 employés comprend 30 cadres. Parmi ces cadres, 12 parlent l'anglais. On
choisit au hasard un employé de cette entreprise. Représenter cette situation à l'aide d'un tableau
d'effectifs puis d'un diagramme ( de Venn ).
a. Quelle est la probabilité, sachant qu'on a choisi un cadre, que cet employé parle l'anglais?
b. Quelle est la probabilité qu'un employé, sachant qu'il n'est pas cadre, ne parle pas l'anglais?
2. 2. Définition
Définition
|| A et B sont deux évènements avec P ( A ) ≠ 0.
|| On appelle probabilité de l'évènement B sachant A, notée P A  B , le nombre
||
P A  B=
P  A ∩ B
P  A
PA est une probabilité; c'est la probabilité obtenue en remplaçant  par A et les évènements de 
par leur intersection avec A.
Conséquence || P  A∩ B= P  A×P A  B
Exemple 2. 2. 1.
Dans une classe de 21 élèves, il y a 13 filles dont 10 font de l'espagnol. Choisissant une fille au
hasard, quelle est la probabilité qu'elle fasse de l'espagnol?
Que devient ce résultat si je prends une classe de 35 élèves ou de 50?
Quel doit être l'effectif de la classe pour que ce résultat coïncide avec celui de la question suivante:
Choisissant un élève au hasard, quelle est la probabilité pour que ce soit une fille parlant
l'espagnol?
Exemple 2. 2. 2:
Je lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité, sachant que j'ai obtenu un nombre pair, d'obtenir
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un nombre supérieur ou égal à 4?
2. 3. Représentation et propriétés
Exercice 2. 3. 1.
On a défini une probabilité P dans  telle que:
P ( A ) = 0,3 P ( B ) = 0,6 P ( A ∩ B ) = 0,2
a. Calculer les probabilités suivantes: PA ( B ), PA ( B ), PB ( A ), PB ( A ), P
A
( B ) et P ( B ).
A
b. Représenter par un arbre de probabilités.
Règles pour un arbre de probabilité:
●
La somme des probabilités marquées sur les branches issues d'un même noeud est égale à 1.
●
Le produit des probabilités marquées sur l'ensemble des branches d'un chemin est la
probabilité de l'intersection des évènements apparaissant le long de ce chemin.
●
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins aboutissant à cet
événement.
P(A)
P(
A)
A
P A  B
P A  B  =1 – P A  B
B
P A∩ B =P  A× P A B
A
P A  B
B
B
P  A∩ B = P  A× P A B
P A  B
P  A∩ B = P  A× P A B
B
P  A∩ B = P  A  × P A B
P  B = P A  B×P  A  P A  B×P  A
PA ( B ) + P B ( A ) = 1
P ( A ∩ B ) = P ( B ) × PB ( A ) = P ( A ) × PA ( B )
P  B= P  B ∩ A P  B ∩ A=P  A× P A  B P  A× P A  A 
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En généralisant
n
p2
p1
∑ p k =1
pn
1
A1
A2
.............................
An
m
q1= p A  B 1 
qn = p A  B m
1
B1
.
.
t1
B2
1
............ B m
.
.
tp
R 1 ..... R p
∑ qk =1
1
........................................................
...................................
...................................
.
.
p
∑ t p=1
1
............ R 1 .............. R 1
z 1= p1×q 1×t 1= P  A1 ∩ B 1 ∩∩ R 1
...............
R1
R 1 ....... R p
....................
........................................................................
z n= p n×...
P R 1 = z1 z 2 ... z n
Formule des probabilités totales: Si
{
B1, B1, ... , Bn sont deux à deux incompatibles
et B1 ∪B2 ∪...∪B n=
alors, pour tout évènement A: P  A= P B  A× P  B 1 P B  A× P  B 2  P B  B× P  B n 
1
2
n
Exercice 2.3.2:
Inverser un arbre de probabilités
Une société effectue auprès de 10 000 personnes une étude de marché concernant un nouveau
produit. Dans cet échantillon, 40% sont des jeunes ( moins de 20 ans ) et 20% d'entre eux se
déclarent intéressés par le produit. En revanche, 10% seulement des personnes de plus de 20 ans se
déclarent intéressés par le produit. On choisit au hasard une personne dans l'échantillon. On note J
l'événement:'' La personne est jeune '' et I l'événement '' La personne est intéressée ''.
1. Établir deux arbres de probabilité : l'un commençant par J, l'autre par I. On utilisera celui qui
convient dans chaque question et on complètera les deux en écrivant les probabilités
correspondant à chaque branche.
2. a. Calculer P  I ∩ J  , P  I ∩ J  , P  I ∩ J  , P  I ∩J  .
2. b. Calculer P ( I ).
2. c. Calculer la probabilité que la personne ait moins de vingt ans sachant qu'elle est
intéressée par le produit.
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Exercice 2.3.3:
Un sac contient des jetons de trois couleurs: la moitié de blancs, le tiers de verts, les autres sont
jaunes. 50% des jetons blancs , 30% des jetons verts, 40% des jetons jaunes sont ronds. Tous les
autres sont carrés. On tire un jeton au hasard.
a. Représenter la situation par un arbre de probabilités.
b. Quelle est la probabilité pour que le jeton tiré soit rond?
c. Sachant que le jeton tiré est rond, quelle est la probabilité pour qu'il soit blanc? pour qu'il
soit jaune? pour qu'il soit vert?
Exercice 2. 3. 4:
Une exploitation agricole produit des bovins de trois races différentes: Aubrac, Bazadaise et
Charolaise.
À une période donnée, une observation a donné les informations suivantes:
20 % du cheptel est de race Charolaise,
40 % des bovins sont des mâles,
30 % des mâles sont de race Aubrac,
35 % des bovins de race Charolaise sont des mâles,
la race Bazadaise compte autant de mâles que de femelles.
Quelle est la probabilité pour qu'un bovin qui n'est pas de race Aubrac soit une femelle de race
Bazadaise?
Faire la représentation à l'aide d'un arbre puis à l'aide d'un tableau d'effectifs.
3. Indépendance
3.1. Introduction
Activité 3. 1. 1:
Dans une urne il y a trois boules blanches et deux boules noires. On tire au hasard deux boules
l'une après l'autre.
On désigne par E l'évènement: " la première boule est blanche " et par F l'évènement " la deuxième
boule est noire ".
1. Calculer P ( E ), PE ( F ) et P ( E ∩ F ) dans chacun des cas suivants:
a. on extrait la boule, on note sa couleur et on la remet dans l'urne ( tirage avec remise );
b. on extrait la boule et on ne la remet pas dans l'urne après le tirage ( tirage sans remise ).
2. Quelle est la probabilité de l'évènement B: " les deux boules sont de couleurs différentes " dans
chacun des cas?
3.2. Événements indépendants
Définition:
|| A et B sont indépendants ⇔ P ( A ∩ B ) = P ( A ) × P ( B )
||
ou PA ( B ) = P ( B ) ou PB ( A ) = P ( A )
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Exercice 3.2.1:
On jette une pièce trois fois de suite. On désigne par A l'évènement: " obtenir trois PILE ou trois
FACE " et B l'évènement : " le côté FACE apparaît au moins deux fois ". E et F sont-ils
indépendants?
Exercice 3. 2. 2:
On considère le circuit électriqueAsuivant dans lequel les interrupteurs sont indépendants.
B
C
D
E
F
Les probabilités pour que les six interrupteurs A, B, C, D, E et F soient ouverts sont
respectivement:0,3; 0,5; 0,1; 0,8; 0,4 et 0,1. Quelle est la probabilité pour que le courant passe?
Exercice 3. 2. 3:
La probabilité pour qu'un nouveau-né soit un garçon est 0,51. Deux naissances différentes sont
considérées comme des événements indépendants.
1. Cas de trois naissances
Calculer la probabilité pour que:
a. il ne naisse aucun garçon b. il naisse un et un seul garçon
c. il naisse au moins un garçon
2. Cas de n naissances
a. Calculer la probabilité pour qu'il naisse au moins un garçon.
b. Combien de naissances faut-il prévoir pour que la probabilité qu'il naisse au moins un garçon
soit supérieure à 0,99?
3.3. Variables aléatoires indépendantes
Exercice 3.3.1:
Neuf chevaux pénètrent un par un, dans un ordre aléatoire, sur la piste d'un cirque.
Parmi eux, quatre sont blancs et les autres sont noirs. On désigne par X la variable aléatoire qui
indique le nombre de chevaux blancs précédant le premier cheval noir.
a. Quel est la loi de probabilité de X?
b. Calculer son espérance et son écart-type( Utiliser les touches STAT de la calculatrice ).
Indication: Pour déterminer les valeurs prises par X, calculer d'abord P ( X = 0 ) ( le premier est
noir) puis P ( X = 1 ) ( le premier est blanc et le second est noir ) etc. On peut ébaucher un arbre de
représentation.
Exercice 3.3.2 :
L'expérience consiste à jeter deux dés parfaitement équilibrés: X désigne la variable aléatoire
égale à la somme des deux nombres obtenus, Y en désigne le produit.
Calculer P ( ( X = 2 ) ∩ ( Y = 3 ) ), puis P ( X = 2 ) et P ( Y = 3 ): les deux évènements X = 2 et
Y= 3 sont-ils indépendants? Même question avec X = 4 et Y = 4. X et Y sont-elles indépendantes?
Exercice 3. 3. 3:
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Sur un jeton, une face est blanche, l'autre est rouge. Ce jeton est bien équilibré. On lance ce jeton
trois fois de suite et on note, à chaque fois la couleur de la face supérieure.
On désigne par X le nombre d'apparitions de la face rouge ( R ) au cours des deux premiers lancers
et par Y le nombre d'apparition de la face blanche ( B ) au cours des trois lancers.
a. Déterminer la loi de probabilité, l'espérance et la variance de X puis de Y.
b. Calculer P ( X = 1 et Y = 2 ). X et Y sont-elles indépendantes?
4. TD
Exercice 4.1:
Dans une entreprise, chaque semaine, on fait appel à un technicien pour l'entretien des machines.
Ce technicien constate:
●
qu'il doit intervenir la première semaine;
●
que, s'il intervient la semaine n, la probabilité pour qu'il intervienne la semaine suivante est
0,75;
●
que, s'il n'est pas intervenu la semaine n, la probabilité pour qu'il intervienne la semaine
suivante est 0,10.
On désigne par En l'évènement " le technicien intervient la semaine n " et on pose pn = P ( En ) .
a. Que valent les probabilités p1, P E ( E n + 1 ) et P E ( E n + 1 ).
n
n
Calculer P ( E n + 1 ∩ E n ) et P ( E n + 1 ∩ E n ) en fonction de p n .
b. Exprimer p n + 1 en fonction de p n .
c. On pose u n = p n+ a. Déterminer le réel a pour que la suite ( u n ) soit géométrique. En déduire
l'expression de p n en fonction de n ainsi que la limite de cette suite quand n  + ∞.
d. Trouver n pour que p n < 0,30.
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