TERMINALE S - Spécialité Chapitre Petit théorème de Fermat

TERMINALE S - Spécialité
Chapitre
Petit théorème de Fermat
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touchapfermat 1/1
Petit Théorème de Fermat
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Théorème
Si p est un entier premier et a un entier naturel non divisible par p alors ap – 1 – 1 est divisible
par p.
Autrement dit : ap – 1  1 [p]
Exemple
22010 – 1 est divisible par 2011. En effet, 2011 est premier et 2 n’est pad divisible par 2011
alors le petit théorème de Fermat permet de conclure. (La calculatrice ne le permet pas)
Démonstration :
Si p est un entier premier et a un entier naturel non divisible par p alors p et a sont premiers
entre eux.
Les (p – 1) premiers multiples non nuls de a sont : a, 2a, 3a, …, (p-1)a
P ne divise aucun d’eux car s’il en divisait un, par exemple ka avec k compris entre 1 et (p-1),
alors (Gauss) il diviserait k ce qui n’est pas possible puisque k < p.
Les restes possibles de ces nombres dans la division par p sont donc 1, 2, 3, .., (p – 1)
Ces restes sont distincts sinon pour k > k’ on aurait ka  k’a [p] soit ka - k’a  0 [p] et donc p
diviserait (k – k’)a . or p est premier avec a , il doit diviser k – k’, mais k – k’ < p – 1 donc (k
– k’)a est élément des premiers multiples non nuls de a et aucun n’est divisible par p. D’où la
contradiction ! par conséquent les restes sont distincts
Le produit de tous ces multiples est
M = a  2a  3a  …  (p-1)a = 1  2  3  …  (p-1)  ap-1
Alors M  1  2  3  …  (p-1) [p] ie M  (p-1) ! [p]
D’où M - (p-1) ! = (p-1) !  ap-1 - (p-1) ! = (p-1) !  (ap-1 -1) alors M - (p-1) !  0 [p]
C'est-à-dire p divise donc (p-1)!  (ap-1 -1) or p est premier avec chacun des facteurs de (p-1)!,
il est donc premier avec (p-1) ! ce qui d’après Gauss nécessite que p divise ap-1 -1
Corollaire
Si p est un entier premier et a un entier naturel alors ap – a est divisible par p.
Autrement dit : ap  a [p]
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Par opposition au grand théorème de Fermat : xn + yn = zn n’admet aucune solution entière strictement positive
pour n  3