TERMINALE S - Spécialité Chapitre Petit théorème de Fermat ________________________________________________________________ Petit Théorème de Fermat 1 Théorème Si p est un entier premier et a un entier naturel non divisible par p alors ap – 1 – 1 est divisible par p. Autrement dit : ap – 1 1 [p] Exemple 22010 – 1 est divisible par 2011. En effet, 2011 est premier et 2 n’est pad divisible par 2011 alors le petit théorème de Fermat permet de conclure. (La calculatrice ne le permet pas) Démonstration : Si p est un entier premier et a un entier naturel non divisible par p alors p et a sont premiers entre eux. Les (p – 1) premiers multiples non nuls de a sont : a, 2a, 3a, …, (p-1)a P ne divise aucun d’eux car s’il en divisait un, par exemple ka avec k compris entre 1 et (p-1), alors (Gauss) il diviserait k ce qui n’est pas possible puisque k < p. Les restes possibles de ces nombres dans la division par p sont donc 1, 2, 3, .., (p – 1) Ces restes sont distincts sinon pour k > k’ on aurait ka k’a [p] soit ka - k’a 0 [p] et donc p diviserait (k – k’)a . or p est premier avec a , il doit diviser k – k’, mais k – k’ < p – 1 donc (k – k’)a est élément des premiers multiples non nuls de a et aucun n’est divisible par p. D’où la contradiction ! par conséquent les restes sont distincts Le produit de tous ces multiples est M = a 2a 3a … (p-1)a = 1 2 3 … (p-1) ap-1 Alors M 1 2 3 … (p-1) [p] ie M (p-1) ! [p] D’où M - (p-1) ! = (p-1) ! ap-1 - (p-1) ! = (p-1) ! (ap-1 -1) alors M - (p-1) ! 0 [p] C'est-à-dire p divise donc (p-1)! (ap-1 -1) or p est premier avec chacun des facteurs de (p-1)!, il est donc premier avec (p-1) ! ce qui d’après Gauss nécessite que p divise ap-1 -1 Corollaire Si p est un entier premier et a un entier naturel alors ap – a est divisible par p. Autrement dit : ap a [p] 1 Par opposition au grand théorème de Fermat : xn + yn = zn n’admet aucune solution entière strictement positive pour n 3 _________________________________________________________________________________________________________________ touchapfermat 1/1