L3 Arithmétique et théorie des nombres Semaine 1

Licence de Mathématiques-Informatique
Année 2008-2009
L3 Arithmétique et théorie des nombres
Semaine 1
Exercice 1
1) Construire les tables d’addition et de multiplication de Z/5Z. En déduire l’ensemble des
inversibles, pour la multiplication, de Z/5Z, qu’on notera G. Vérifier que G est un groupe
pour la loi x, qu’on identifiera à isomorphisme près, et dont on fournira des familles de
générateurs.
2) Idem pour Z/6Z.
Exercice 2
1) Soit n un entier naturel ≥2. Montrer que pour un élément a de Z, sont équivalents
- a est générateur de (Z/nZ, +),
- a est inversible dans (Z/nZ, +, x),
- a et n sont premiers entre eux.
2) Soit p un nombre premier, et a un entier relatif non divisible par p. Prouver en utilisant la
première question que a(2a) ... ((p-1)a)≡(p-1)! mod p, et en déduire le petit théorème de
Fermat : ap-1≡1 mod p.
Exercice 3
1) Montrer que 17 divise 3x52n+1 + 23n+1, pour tout n∈N.
2) Montrer que si p est un nombre premier ≥5, alors 24 divise p2-1.
3) Quel est le reste de la division de 247349 par 7 ?
2
4) Quel est le reste de la division de 23n+7 par 9, selon n∈N ?
n
Exercice 4
1) Trouver des critères de divisibilité par m=3, 5, 7, 9 et 11, en écrivant un entier n en base 10
et en le réduisant modulo m.
2) Rappeler la « preuve par 9 », et imaginer des preuves par 5 et par 11.
Exercice 5
Soit m un entier naturel ≥2.
1) Les nombres j et k étant des entiers naturels ≥1, montrer que si nj≡1 mod m, et nk≡1 mod m,
alors npgcd(j, k) ≡1 mod m.
2) En considérant le plus petit diviseur premier de m, montrer que 2m≡1 mod m.
- Dans cet exercice, on veillera aux signes des exposants. -
Exercice 6
1) Soit p un nombre premier.
i) Identifier parmi 1, ... , p-1, les éléments qui sont leur propre inverse dans (Z/pZ, +, x).
ii) En déduire que (p-1)! ≡ -1 mod p (théorème de Wilson).
2) Inversement, montrer que si p est un entier naturel ≥2 tel que (p-1)! ≡ -1 mod p, alors p est
premier.
3) En utilisant le théorème de Wilson, trouver un entier naturel a tel que a2 ≡ -1 mod 17.
Exercice 7
On considère la fonction indicatrice d’Euler φ définie sur N* par
φ(1)=1 et φ(n) = #{a∈N, 1≤a≤n et pgcd (a, n) = 1} , si n≥2.
Pour n≥2, le nombre φ(n) est le nombre de générateurs de (Z/nZ, +) (cf exercice 2).
1) Etant donné un diviseur d de l’entier n (n≥2), quel est le nombre d’éléments d’ordre d de
(Z/nZ, +)?
2) Montrer que si p est premier, alors φ(p)=p-1.
Plus généralement, pour α≥1, prouver que φ(pα)= pα - pα−1 .
3) Etant donnés deux entiers naturels m et n, premiers entre eux et ≥2, on considère le
morphisme de groupes
.
Ψ :(Z, +)
(Z/mZ x Z/nZ, +) , k
( k, k) .
En considérant la décomposition canonique de Ψ, montrer que
(Z/mZ x Z/nZ, +) ≅ (Z/mnZ, +) (isomorphisme de groupes).
En déduire, après avoir précisé les générateurs de (Z/mZ x Z/nZ, +), que φ(mn)= φ(m) φ(n).
4) Soit n un entier naturel≥2, de décomposition en facteurs premiers n = Π1≤i≤r piα , où les pi
sont distincts deux à deux et les αι≥1.
Montrer que φ(n) = n Π1≤i≤r (1-1/pi).
5) Montrer, en utilisant la question 1, l’égalité n= Σd|n φ(d).
ι