Semaine5_Distributions

-6Concepts probabilistes et
distributions de probabilité
Version 1.1
1
Sujets abordés
 On commence le bloc C sur la simulation
et la programmation
 Présentation des lois/distributions
utilisées en finance/assurance
 Génération de tirages et représentation
graphique sur Excel
2
Loi, probabilité, densité, distribution
Une loi décrit le comportement d’une variable aléatoire
On parle de loi, de densité, de distribution, de densité ou
distribution cumulative de manière équivalente



Densité de X en un point x = probabilité en un point x (dans le
domaine de X)
f ( x)  f X ( x)  P( X  x)

Distribution (cumulative) de X en un point x (dans le domaine de X)
F ( x)  FX ( x)  P( X  x)

Fonction quantile de X ou inverse de la distribution X en un point u
(dans l’intervalle [0,1])
F 1 (u )  FX1 (u )
3
Distribution de probabilités
 Décrit la répartition typique des
fréquences d’un ensemble de données
 Il existe 2 grands types de distributions
 Distributions empiriques (données historiques)
 Distributions théoriques (loi de probabilités)
4
Distribution empirique
 Est créée à partir du tableau / histogramme de
fréquence que nous pouvons tracer à partir de
données historiques observées
 Souvent utilisé quand aucune loi de probabilité connue
ne permet de représenter convenablement le
phénomène que nous souhaitons modéliser
 A souvent comme hypothèse sous-jacente que
« le passé est garant de l’avenir »
5
Distribution théorique
 Illustre les valeurs que peut prendre une
variable aléatoire et détermine la probabilité
d’occurrence de chaque valeur
 Il existe des distributions discrètes et des distributions
continues
 Permet la modélisation de phénomènes simples ou
complexes
 Nous devons alors identifier la loi de probabilité
qui approxime le mieux le phénomène que nous
désirons modéliser
6
Distribution théorique
 Il existe de nombreuses lois théoriques :






Uniforme
Binomiale
Normale
Student
Log-normale
Poisson
Nous parlerons de ces 6 lois dans le
cours puisqu’elles se modélisent
avec Excel et sont pertinentes en
finance
Il faut cependant être conscient qu’il
existe plusieurs dizaines de lois
théoriques distinctes
 Applications en finance




Génération de nombres aléatoires
Concept de marches aléatoires
Modélisation des rendements et des prix
Simulations de Monte Carlo
7
Espérance et variance

Rappelons la définition de l’espérance et la variance
mathématiques (dans le cas continu)
E( X ) 

x P( X  x)dx
V (X ) 

( x  E ( X )) 2 P( X  x) dx
domaine
domaine
 E (( X  E ( X )) 2 )
 E( X 2 )  E( X )2
8
Loi uniforme
 La plus simple loi de probabilité
 Forme discrète : Chaque valeur a la même
probabilité de se réaliser
Exemple : lancer un dé
 Forme continue : Tous les intervalles de même
longueur ont la même probabilité d’occurence
 Une variable aléatoire « X » qui suit une
loi uniforme est notée X ~ U([a,b])
9
Loi uniforme

Caractérisée par 2 paramètres :
a = Plus petite valeur qu’il est possible d’obtenir
Exemple : obtenir 1 sur un lancé de dé
b = Plus grande valeur qu’il est possible d’obtenir
Exemple : obtenir 6 sur un lancé de dé
 Pour des données discrètes, le nombre total de
valeurs possibles souvent est noté « n »
10
Loi uniforme

Calcul des probabilités

Distribution discrète :
1
P( X  k ) 
n
= Probabilité d’obtenir une certaine valeur précise « k »

Distribution continue :
 1

a xb
P( X  x)   b  a
 0 sinon
= Probabilité d’obtenir une valeur comprise au sein de l’intervalle
[a,b]

Formules Excel:
 ALEA()
 ALEA.ENTRE.BORNES(a; b)
11
Loi uniforme

Loi symétrique et platikurtique
Application principale :
 Génération de nombres aléatoires
 Utilisés pour simuler un grand nombre de
distributions connues (par la méthode de
l’inverse)
 Plusieurs algorithmes existent
 Excel, VBA, SPSS, MatLab, SAS, …
12
Méthode de l’inverse

Permet de générer des nombres aléatoires
suivants un distribution (continue) donnée
X F 1 (Y )
avec Y ~ U([0,1]), et F-1 la fonction
cumulative inverse, alors X sera distribuée
selon la distribution F
F(X)
13
Loi Binomiale
 Loi de probabilité discrète impliquant des
expériences à deux issues possibles
 La première issue est appelée « succès »
Exemple : Obtenir « face » sur jet de 1$
 La deuxième issue est appelée « échec »
Exemple : Obtenir « pile » sur un jet de 1$
 Ce type d’expérience à 2 issues possibles
est aussi appelé « épreuves de Bernouilli »
14
Loi Binomiale
 Une variable aléatoire « X » qui suit une
loi binomiale est notée X ~ B(n,p)
 Caractérisée par 2 paramètres :
n = nombre d’épreuves de Bernouillis
p = probabilité de succès à chacune des
épreuves
 La notation « q » est parfois utilisée pour
désigner la probabilité d’échec (q = 1 – p)
15
Loi Binomiale

Calcul des probabilités
Probabilité en un point :
n k
P( X  k )    p (1  p) nk
k 
n
n!

où 

 k  k!( n  k )!
 
= Probabilité d’obtenir « k » succès sur un total de n tirages

Formules Excel
 SI(ALEA()>p; …)
 LOI.BINOMIALE(k; n; p; VRAI ou FAUX)
VRAI = probabilité cumulée
FAUX = probabilité en un point
16
Loi Binomiale

Exemple :
14$
12$
10$
n = 2 périodes
p = 60 % de chance
de hausse
Gain de 2$
Perte de 2$
10$
8$
6$
Quelle est la probabilité qu’il y ait 2 hausses (x = k = 2) ?
Et si nous avions : n = 50, p = 60% et k = 25 ?
17
Loi Binomiale

Permet de connaître la probabilité d’obtenir un
nombre précis de succès « k » pour une
expérience répétée n fois

Loi symétrique
Types d’applications :

Modélisation d’une situation où il n’y a que 2
états possibles

Modélisation d’une « marche aléatoire »
18
Loi Normale
 Une des principales distributions de
probabilité. C’est la loi de référence à
laquelle les autres distributions sont
comparées.
 Facile à utiliser d’un point de vue mathématique
 Se généralise pour des applications en présence de
multiples facteurs (loi normale multivariée)
 La combinaison linéaire de normales indépendantes est
un normale
 Théorème limite centrale
19
Loi Normale
 Une variable aléatoire « X » qui suit une
loi normale est notée X ~ N(μ,σ2)
 Caractérisée par 2 paramètres :
μ = Moyenne de la population
σ2 = Variance de la population
 Loi symétrique
 Kurtose de 3 (Excès de kurtose de 0)
20
Loi Normale

Calcul des probabilités
Probabilité en un point x :
1
P( X  x) 
e
 2
 ( x )2

 2 2






Formules Excel
 LOI.NORMALE(x; mu; sig; VRAI ou FAUX)
VRAI = probabilité cumulée
FAUX = probabilité en un point
 LOI.NORMALE.INVERSE(u; mu ; sig)
u = (entre 0 et 1)
21
Loi Normale centrée réduite
 Loi normale standardisée avec une
moyenne de 0 et un écart-type de 1
 Permet la comparaison
distribuées normalement
de
plusieurs
variables
 Permet l’utilisation des tables de probabilités
 Facilite l’interprétation et la communication des résultats
 Formule de normalisation (z-score):
Z 
(X  )

22
Loi Normale
Type d’applications :

Modélisation du rendement

Modélisation d’une « marche aléatoire »

Analyse moyenne-variance (Markowitz)

Estimation de la valeur à risque (VaR)
23
Modélisation du rendement

Modélisation du rendement
 Le « mouvement brownien géométrique » :
Prix t  Prix t -1
     Zt
Prix t -1
Rendement
Dispersion (écarttype) de cette
croissance
Nombre
aléatoire
distribué
normalement
 C’est une façon de modéliser l’évolution probable du prix
d’un actif à chaque période.
Z ~ N(0,1) : en moyenne le rendement sera égal à μ
24
Loi de Student
 Similaire à une loi normale
 Loi symétrique
 Mais leptokurtique!
 La distribution du rendement de
nombreux actifs financiers est
leptokurtique
 Il est alors préférable d’utiliser une loi de Student
pour ne pas sous-estimer le risque associé aux
probabilités extrêmes négatives
25
Loi de Student
 Egalement utilisée pour estimer l’espérance d’une
population distribuée normalement lorsque :
 La variance de la population est inconnue
 La taille de l’échantillon petit
 À la base de l’épreuve de signification statistique
« t-test »
26
Loi de Student
 Une variable aléatoire « X » qui suit une
loi de Student est notée X ~ Student(v)
 Caractérisée par 1 paramètre :
v = Degrés de liberté
 Le nombre de degrés de liberté correspond au
nombre de valeurs qui peuvent être fixées
librement pour spécifier
2
(
x

x
)

27
Loi de Student

Calcul des probabilités
Probabilité en un point x :
 v 1


1
1
2


P( X  x) 
( v 1)
2
v  v
2
2 1 x v
 
Vous n’aurez
pas à utiliser
cette formule
dans le cadre
du cours

où Γ représente la fonction Gamma d’Euler
Notons que
E( X )  0
V (X ) 

 2
28
Loi de Student sur Excel

Formules Excel : Attention!
 LNGAMMA(x)pour calculer la constante
 La distribution et distribution cumulative n’existent pas
sur Excel!
 LOI.STUDENT(x; v; 1 ou 2)
1 = unilatérale : P(X > x)
2 = bilatérale : P(|X| > x)
Dans la fonction, x doit être positif!
 LOI.STUDENT.INVERSE(u, v)
u = probabilité (entre 0 et 1)
29
Loi Log-Normale
 Distribution d’une variable aléatoire
continue dont le logarithme suit une loi
normale
 Bornée par 0 (pas de valeurs négatives)
 Loi asymétrique
30
Loi Log-Normale
 Une variable aléatoire « X » qui suit une
loi log-normale est notée X ~ Log-N(μ,σ2)
 Caractérisée par 2 paramètres :
μ = Moyenne du logarithme de X
σ2 = Variance du logarithme de X
 Les paramètres de la loi log-normale se
réfèrent donc à une distribution normale
31
Loi Log-Normale

Calcul des probabilités
Probabilité en un point x :
P( X  x) 
e
 ln( x )   2 / 2
k
2
2
Formules Excel :
 LOI.LOGNORMALE(x; mu ; sig) Probabilités cumulées
mu : Moyenne de ln(X)
sig : Écart-type de ln(X)
 LOI.LOGNORMALE.INVERSE(u; mu ; sig)
u = probabilité (entre 0 et 1)
32
Loi Log-Normale
Type d’applications

Modélisation du prix des actions

Modèle de Black & Scholes (évaluation
d’options)
33
Loi de Poisson
 Loi discrète donnant la probabilité du
nombre de réalisations d’un événement
rare dans le temps ou dans l’espace
 Surnommée « loi des événements rares »
Souvent utilisée en assurance
 Bornée par 0 (pas de valeurs négatives)
 Loi asymétrique
34
Loi de Poisson
 Une variable aléatoire « X » qui suit une
loi de Poisson est notée X ~ P(λ)
 Caractérisée par 1 paramètre :
λ = Nombre espéré d’occurrences d’un
événement dans l’intervalle (moyenne)
 La loi de Poisson estime la probabilité qu’un
événement survienne k fois dans un intervalle
donné
35
Loi de Poisson

Calcul des probabilités :
Probabilité en un point :
e    
P( X  k ) 
k!
k
Formules Excel
 LOI.POISSON(k; lamda; VRAI ou FAUX)
VRAI = Probabilité cumulée
FAUX = Probabilité en un point
 Aucune loi de Poisson « inverse » n’existe sur Excel
36
Loi de Poisson
Type d’applications

Estimation de la probabilité de défaut

Distributions de pertes dans le domaine de
l’assurance
37
Résumé
Loi de probabilité
Commentaires
Binomiale
P(X = k)
Probabilité d’obtenir « k » succès sur « n »
tirages à 2 issues possibles
Normale
P(X = x)
Probabilité d’obtenir un résultat
(rendement) de « x » sachant µ et σ
Student
P(X = x)
Probabilité d’obtenir un résultat
(rendement) de « x » sachant µ=0 et σ=1
Note : Distribution leptokurtique
Lognormale
P(X = x)
Probabilité d’obtenir un résultat (prix) de
« x » sachant µ et σ
Note : µ et δ sont calculés à partir de ln(X)
Poisson
P(X = k)
Probabilité qu’un événement survienne
« k » fois sachant qu’en moyenne il se
produit « λ » fois dans l’intervalle de temps
38