Nombres abondants et déficients

2
Chapitre
Chapitre 2.
Nombres abondants,
déficients et parfaits
Un nombre abondant est intuitivement un nombre qui possède beaucoup de diviseurs, tandis qu’un
nombre déficient en possède peu. Entre l’abondance et la déficience, que l’on peut voir comme un
excès ou comme un manque, trône le nombre parfait, juste équilibre entre un nombre et ses diviseurs.
Rien de plus simple… mais nous verrons que derrière cette simplicité apparente, se cache un domaine
d’une grande richesse, comme souvent en arithmétique. Ce chapitre est l’occasion d’utiliser la
fonction somme des diviseurs que nous avons écrite dans le chapitre précédent.
Sommaire
Chapitre 2. Nombres abondants, déficients et parfaits ...................................... 29
1.
Abondance et déficience .......................................................................... 30
1.1 Que sont ces nombres ? ................................................................ 30
2.
3.
1.2
Recherche à la calculatrice… ........................................................ 31
1.3
Quelques conjectures… et leurs démonstrations ...................... 32
1.4
Recherche de nombres abondants impairs................................. 36
Les nombres parfaits ................................................................................. 37
2.1 Que sont ces nombres ? ................................................................ 37
2.2
Premiers exemples .......................................................................... 37
2.3
Étude à la TI-Nspire ........................................................................ 38
2.4
La proposition d’Euclide.................................................................. 38
2.5
La réciproque de la proposition d’Euclide .................................... 42
Les nombres de Mersenne....................................................................... 43
3.1 L’origine historique de ces nombres ............................................. 43
3.2
Premiers ou pas ? ........................................................................... 44
3.3
Bilan de la recherche sur les nombres parfaits .......................... 47
3.4
En forme de conclusion .................................................................. 49
Christian Vassard (IUFM Rouen)
30
Mathématiques et TI-Nspire
1. Abondance et déficience
1.1 Que sont ces nombres ?
C’est la somme des diviseurs d’un nombre, que nous noterons  qui nous sert à mesurer le caractère
abondant ou déficient d’un nombre. Plus précisément :
Un nombre est dit abondant lorsque   n   2n et déficient lorsque   n   2n .
Juste à la frontière des deux contraintes précédentes, un entier sera dit parfait1 lorsque
  n   2n .
Quelques exemples, au hasard des premiers nombres entiers :
9 est déficient car (9) = 1 + 3 + 9 = 12  2  9 = 18 ;
12 est par contre abondant car (12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28  2  12 ;
6 est parfait car 1 + 2 + 3 + 6 = 2  6.
Signalons aussi que dans l’histoire, on ne considérait pas le nombre lui-même dans la liste de ses
diviseurs. Ainsi par exemple un nombre était dit parfait lorsqu’il était exactement égal à la somme de
ses diviseurs2. Les définitions alternatives des nombres abondants et déficients étaient du même type.
Pour faire une recherche, on peut réutiliser la fonction sdiv que nous avons écrite lors du précédent
chapitre (que l’on peut mémoriser dans une bibliothèque publique comme numtheory pour pouvoir
facilement la réutiliser dans n’importe quel classeur). On peut aussi la réécrire rapidement à l’aide de
la fonction divisors de la bibliothèque numtheory, comme le montre l’écran suivant :
Attention toutefois à des risques de dépassement de ressources dans ce cas : la calculatrice ne peut pas
générer des listes de plus 16 380 termes. En conséquence, si le nombre possède plus de 16 380
diviseurs – c’est le cas par exemple de 1030 + 1 –, la calculatrice renvoie un message d’erreur. À
bannir donc pour tout calcul sur des nombres un peu grands.
1
Les nombres parfaits seront étudiés dans un prochain paragraphe.
2
Au début du VIIe livre des Éléments, Euclide donne la définition suivante d’un nombre parfait (définition 23) : le nombre parfait est celui
qui est égal à ses parties.
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Nombres abondants, déficients et parfaits
31
1.2 Recherche à la calculatrice…
Bref, nous voilà armés pour faire une recherche systématique au tableur. Les formules utilisées sont
apparentes sur la feuille de calcul ci-dessous.
On remarquera en particulier l’utilisation des variables a et b, qui correspondent aux bornes de la
recherche en A1 et A2. L’instruction seq dans les colonnes B et C permet d’avoir des colonnes qui
s’ajustent automatiquement au nombre de données que l’on traite. Les nombres déficients sont
largement majoritaires au début ; le premier nombre abondant qui apparaît est 12. Un nombre parfait
déjà rencontré, 6, est aussi à noter.
On peut aussi lister les nombres abondants grâce à une fonction héritée 3 du logiciel Derive, que l’on
trouve dans la bibliothèque numtheory : select_range. Trois arguments sont nécessaires en entrée :
les bornes d’étude, inférieure et supérieure, une certaine propriété que l’on veut étudier.
Cette fonction permet de lister tous les nombres entiers, compris entre les bornes d’étude, qui vérifient
cette propriété particulière, propriété qui doit impérativement être énoncée dans une chaîne de
caractères contenant obligatoirement la variable x, comme par exemple "sdiv(x)>2.x" pour la
recherche des nombres abondants, ou "isprime(x)=true" pour celle des nombres premiers.
En quelques secondes, on obtient très rapidement la liste des nombres abondants, déficients et parfaits
inférieurs ou égaux à 200 :
3
Une utilisation judicieuse de void est aussi possible, comme nous l’avons vu au chapitre précédent.
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32
Mathématiques et TI-Nspire
 En conclusion de ces deux études, on peut finalement établir le tableau suivant pour ce qui
concerne les nombres abondants et déficients4.
déficients
abondants
2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21,
22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39,
41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 58,
59, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 75, 76,
77, 79, 81, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94, 95,
97, 98, 99, 101, 103, 105, 106, 107, 109, 110, 111,
113, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124,
125, 127, 128, 129, 130, 131, 133, 134, 135, 136,
137, 139, 141, 142, 143, 145, 146, 147, 148, 149,
151, 152, 153, 154, 155, 157, 158, 159, 161, 163,
164, 165, 166, 167, 169, 170, 171, 172, 173, 175,
177, 178, 179, 181, 182, 183, 184, 185, 187, 188,
189, 190, 191, 193, 194, 195, 197, 199.
12, 18, 20, 24, 30,
36, 40, 42, 48, 54,
56, 60, 66, 70, 72,
78, 80, 84, 88, 90,
96, 100, 102, 104,
108, 112, 114, 120,
126, 132, 138, 140,
144, 150, 156, 160,
162, 168, 174, 176,
180, 186, 192, 196,
198, 200.
1.3 Quelques conjectures… et leurs démonstrations
À partir de ces listes, on peut conjecturer certains résultats. Certains sont vrais mais le seront-ils
tous ? On sait bien qu’en mathématiques, il ne suffit pas d’observer, encore faut-il démontrer.
Même si on la pratique à un niveau élémentaire, n’est-ce pas là l’essence de l’activité mathématique,
celle d’un chercheur par exemple ? Encourageons les élèves à avoir, sur ce type de problème, la
« conjecture facile »5…

Commençons par examiner la liste des nombres déficients.
Conjecture 1
Toute puissance de 2 est un nombre déficient.
Démonstration
La somme de diviseurs de 2n, pour n entier naturel non nul, vaut :
n+1
– 1 = 2n + 1 – 1 < 2n+1 = 2 × 2n.
1 + 2 + … + 2n = 2
2–1
À un près, un tel nombre est parfait... mais il est quand même déficient.
Remarquons que l’on en déduit qu’il existe une infinité de nombres déficients pairs. L’ensemble des
nombres déficients, pairs ou impairs, est donc infini.
Conjecture 2
Tout nombre premier est déficient.
Est-il besoin d’en dire plus ? C’est bien le moins qu’on attende d’un nombre premier, qui possède le
moins de diviseurs possibles.
En conséquence, l’ensemble des nombres déficients impairs est infini.
4
N’y figurent pas les deux seuls nombres parfaits que nous avons trouvés, 6 et 28. Les nombres parfaits font l’objet d’une étude dans un
prochain paragraphe.
5
Ce qu’a dit Daniel Perrin dans une conférence à l’IUFM de Rouen il y a quelques années…
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Nombres abondants, déficients et parfaits
33
Conjecture 3
Tout entier qui s’écrit sous la forme p × q où p et q sont des nombres premiers impairs et
distincts, est un nombre déficient.
Démonstration
C’est le cas, par exemple, de 21 ou de 35.
Soit donc p et q deux entiers premiers impairs et distincts. On peut, sans restreindre la généralité,
supposer que p < q.
La somme des diviseurs de pq, avec p et q premiers impairs vaut 1 + p + q + pq, dont on doit montrer
qu’elle est inférieur strictement à 2pq.
Or 1 + p + q + pq < 2pq équivaut à 1 + p + q < pq soit, en divisant par q, 1 + p + 1 < p
q q
Or p est supérieur ou égal à 3, tandis que 1 + p + 1 < 1 + 1 + 1 = 3.
q q
1
p
Ceci prouve bien que + + 1 < p et donc que pq est bien déficient.
q q
Conjecture 4
Tout carré de nombre premier est déficient.
Démonstration
Soit donc p un entier premier.
La somme des diviseurs de p2 est égale à : 1 + p + p2.
Or, 1 + p + p2 < 2 × p2 équivaut à 1 + p < p2 : ceci est manifestement vrai pour tout entier premier car
1 + p = p(1 + 1) < p × p.
p
Conjecture 5 :
Toute puissance de nombre premier est un nombre déficient.
Démonstration
C’est immédiatement le cas si le nombre premier considéré est 2, d’après la conjecture 1.
On peut prouver ce résultat par récurrence sur l’exposant n d’un nombre premier p quelconque
strictement supérieur à 2.
La proposition est vraie pour n = 2, comme le montre la conjecture 4.
Supposons que la propriété soit prouvée pour un entier n arbitraire : alors pn est déficient, ce que l’on
peut traduire par 1 + p + … + pn < 2 × pn.
Montrons que la propriété est vraie au rang n + 1. On a :
2
1 + p + … + pn + pn + 1 < 2 × pn + pn + 1 = pn + 1 (1 + )
p
2
Or si p est premier impair, on a : 1 + < 2, ce qui suffit à prouver le résultat.
p

Examinons maintenant la liste des nombres abondants. Que pouvons-nous conjecturer ?
Conjecture 1
Tout multiple non nul de 6, sauf 6, est abondant.
Démonstration
On sait que 6 est un nombre parfait… il n’est donc pas abondant.
Soit n = 6k un multiple de 6, avec k > 1.
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34
Mathématiques et TI-Nspire
n
n
n
n est divisible par 1 et par n mais aussi par 2, donc par , par 3, donc par , par 6, donc par (qui
2
3
6
n’est pas égal à 1 car n > 6) : n, n, n, n et 1 sont deux à deux distincts.
2 3 6
On a donc :
(n)  n + n + n + n + 1 = 2n + 1 > 2n.
2 3 6
n est bien un nombre abondant.
Remarquons que le raisonnement peut être mené à la calculatrice...
On peut en déduire, si on avait encore un doute, qu’il y a une infinité de nombres abondants. On sait
qu’à partir de n = 60, les nombres hautement composés (chapitre précédent) sont des multiples de 6 :
ils sont donc aussi, à partir de cette valeur, des nombres abondants.
Remarque
Par un raisonnement analogue, on peut montrer que tout nombre de la forme kp, où p est un nombre
parfait et k un entier naturel strictement supérieur à 1, est abondant.
Appelons d1, d2, …, dn les diviseurs strictement positifs de p : on sait donc que :
d1 + d2 + ... + dn = 2 × p.6
Comme di divise p, il divise aussi kp : par suite, kp divise aussi kp.
di
D’autre part, aucun des kp n’est égal à 1, car k lui-même est strictement supérieur à 1. On a donc :
di
(kp)  
i
kp
+ 1 = kp
di
1
d
i
+ 1 = 2kp + 1
i
ce qui prouve que kp est abondant.
Conjecture 2
Tout multiple non nul de 20 est abondant.
Démonstration
Soit n = 20k un multiple de 20, avec k  1.
6 Égalité d’où l’on tire au passage que
d
d1 d2
  ...  n  2 , c’est-à-dire encore que
p p
p
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n
1
d
i 1
i
2.
Nombres abondants, déficients et parfaits
35
n
n
n
n est divisible par n mais aussi par 2, donc par , par 4, donc par , par 5, donc par , par 10, donc par
2
4
5
n , et cette liste de diviseurs suffit car elle dépasse déjà 2n, comme on peut facilement le voir à la
10
calculatrice.
Conjecture 3
Tout multiple non nul d’un nombre abondant est abondant.
Démonstration
Soit n un nombre abondant et kn un de ses multiples avec k > 1. Si on note di tous les diviseurs de n,
n
on a donc   n    di  2n , que l’on peut aussi écrire   n     2n .
d
i
i
i
kn
Il est clair que di qui divise n divise aussi kn ; comme précédemment, on peut affirmer que
divise
di
kn.
Par conséquent,   kn   
i
kn
n
 k   k  2n  2kn , ce qui prouve bien que kn est abondant.
di
i di
Conjecture 4
Tout nombre abondant est pair.
C’est ce que l’on observe pourtant pour les nombres inférieurs ou égaux à 200, et même bien au-delà
si l’on a la patience de poursuivre la recherche.
Jusqu’à n = 800, tous les nombres abondants sont pairs, comme le montre l’écran suivant (remarquer
l’utilisation de delvoid combiné avec seq pour obtenir la liste demandée) :
De là à penser que la conjecture est vraie…
Elle vaut en tout cas la peine qu’on y regarde de plus près. On se doute que les nombres pairs sont de
bons candidats pour être abondants, tout simplement parce qu’ils ont un diviseur n/2 assez grand.
Pour autant rien n’interdit a priori à un nombre impair d’être abondant, pourvu qu’il ait beaucoup de
diviseurs. Cherchons comme précédemment à ne cumuler que des diviseurs impairs, pour parvenir à
ce que leur somme dépasse 2n.
Par exemple, on peut partir d’un nombre que l’on suppose divisible par 3, 5, 7, etc. ; il est aussi
divisible par n, n, n, etc., évidemment par n lui-même.
3 5 7
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36
Or on sait que la série
Mathématiques et TI-Nspire
1
 2 p  1 diverge, certes lentement mais inexorablement : on est donc sûr avec
p 0
un peu de patience de dépasser la valeur 2. Cela se produit à
n
, comme le montre l’écran suivant :
15
Reste à reconstituer un entier qui doit être divisible par 3, 5, 7, 9, 11 et 13 (il le sera forcément par
15) : le plus simple de ces nombres est 32 × 5 × 7 × 11 × 13 = 45 045, qui est bien impair et abondant,
comme le montre l’écran suivant :
Remarquons que n’importe lequel de ses multiples impairs sera aussi un nombre abondant impair, ce
qui permet de prouver qu’il existe une infinité de nombre abondants impairs.
Y-a-t-il plus petit ? Supprimons les facteurs 11 et 13. Si on veut que le nombre ne grossisse pas trop, il
faut plutôt travailler avec des puissances de 3. Avec 3, 5 et 7, on a aussi comme diviseurs 15, 21 et 35,
n n
n
donc
; on introduit alors les diviseurs 9 et 27.
,
et
15 21
35
Par exemple, 33 × 5 × 7 = 945 est un nombre abondant impair, inférieur au précédent.
1.4 Recherche de nombres abondants impairs
Bien sûr, une recherche systématique peut être entreprise pour trouver les nombres abondants impairs.
Remarquer une fois de plus l’utilisation de void et seq. Attention cependant, la TI-Nspire ne gère pas
les listes dépassant un peu plus de 16 300 termes… avant la suppression des void, on dépasse parfois
cette valeur (notamment pour obtenir la liste des nombres abondants de 1 à 100 000…).
Il faut alors préférer la fonction select_range de la bibliothèque numtheory, déjà utilisée
précédemment.
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Nombres abondants, déficients et parfaits
37
Le plus petit nombre abondant impair que l’on trouve est 945 = 33 × 5 × 7.
Les calculs de l’écran précédent confirme qu’un tel nombre, et n’importe lequel de ses multiples
impairs comme 2 835 = 3  945 ou 4 725 = 5  945, est abondant.
Tous les nombres abondants impairs semblent être des multiples de 5 : il n’en est rien (on s’en
doute !) comme le montre la dernière ligne de calcul de l’écran précédent : 81 081 est le plus petit
nombre abondant impair et non multiple de 5.
2. Les nombres parfaits
2.1 Que sont ces nombres ?
Nous en avons donné la définition au début du chapitre. Rappelons-la :
L’entier naturel non nul n est dit parfait lorsque (n) = 2n.
Comme on l’a déjà signalé dans le premier paragraphe, « (n) = 2n » équivaut à « (n) – n = n ».
Autrement dit, n est parfait si et seulement si n est égal à la somme de ses diviseurs stricts (ou de ses
parties aliquotes, comme on disait autrefois).
2.2 Premiers exemples
La recherche au tableur menée dans le chapitre 2 nous a fourni 6 et 28. En effet, si on ne travaille que
sur les diviseurs stricts, 6 = 1 + 2 + 3 est parfait, ainsi que 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Ouvrons une parenthèse égyptienne.
De 6 = 1 + 2 + 3, on tire que 1 = 1 + 1 + 1, puis que 2 = 1 + 1 + 1 + 1 et enfin que :
6 3 2
6 3 2
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Mathématiques et TI-Nspire
2 1
1
1 1
=
+
+
+ (où n  )
n 6n 3n 2n n
que l’on peut voir comme une «formule » de duplication7 d’une fraction « égyptienne »8 en somme de
fractions égyptiennes. Ainsi, le papyrus de Rhind (1800 av J-C) donne :
2
1
1
1
1
=
+
+
+
.
101 606 303 202 101
… qui n’est autre que notre « formule », appliquée à n = 101.
Les Égyptiens utilisaient-ils ces notions reliant un entier et la somme de ses diviseurs ? Nul ne le sait
aujourd’hui faute d’avoir une information précise sur l’assise théorique des mathématiques
égyptiennes, mais on pourrait y voir un intérêt à l’étude très ancienne de ces problèmes...
2.3 Étude à la TI-Nspire
Tout au plus peut-on conclure que les nombres parfaits sont rares, d’où leur nom sans doute. Cela
rend leur recherche à la main très fastidieuse. Autant laisser la calculatrice gérer ce travail pénible !
La fonction select_range de la bibliothèque numtheory, nous permet de lister, en une poignée de
secondes, les nombres parfaits compris entre 1 et 1000 :
La recherche peut être poursuivie au delà mais elle est peu fructueuse : entre 1000 et 10 000, en 4
minutes et demie9, on obtient le quatrième nombre parfait, 8 128.
Au delà de 10 000, les recherches n’aboutissent plus… ou bien il faudrait y passer beaucoup trop de
temps pour les piles de la calculatrice... et la patience de l’utilisateur… L’intelligence, et les
mathématiques10, doivent prendre le relais !
2.4 La proposition d’Euclide
 Nous avons donc obtenu quatre nombres parfaits : 6, 28, 496 et 8 128. Est-il possible de mettre
en évidence un point commun simple11 entre ces nombres, suffisamment simple pour qu’on puisse
calculer les suivants ?
C’est leur décomposition en facteurs premiers qui apporte des éléments intéressants.
7
Rappelons l’importance de la duplication dans l’algorithme de multiplication égyptienne.
8
À part 2/3, les Égyptiens n’utilisaient que des fractions de numérateur 1 : c’est bien ces dernières que nous appelons fractions égyptiennes.
9
Une quarantaine de secondes avec le logiciel.
10
Ce qui prouve qu’elles sont encore indispensables, même et surtout à l’époque des ordinateurs puissants, contrairement aux affirmations
péremptoires d’un ministre, il y a quelques années...
11
En d’autres termes, quelle tête ont-ils ?
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Nombres abondants, déficients et parfaits
39
Les nombres obtenus présentent des similitudes troublantes. Passons sur le premier facteur,
clairement une puissance de 2 ; l’œil mathématique un tant soit peu habitué à la fréquentation des
nombres reconnaît une puissance de 2, diminuée de 1.
Plus précisément on peut écrire :
6 = 2  (22 – 1)
28 = 22 × (23 – 1)
23  (24 – 1) = 8  15 = 120 ?
496 = 24 × (25 – 1)
25  (26 – 1) = 32  63 = 2016
8128 = 26 × (27 – 1)
… avec des entiers dont on ne peut que remarquer l’absence… Pourquoi n’a-t-on pas 120 et 2016
dans les nombres parfaits ? Déterminons la somme des diviseurs de ces entiers :
Ces derniers nombres sont en fait abondants : en d’autres termes, ils ont trop de diviseurs pour être
parfaits, le fragile équilibre est rompu.
On peut penser que c’est dû au fait que 24 – 1 et 26 – 1 sont composés, tandis que les autres, 22 – 1,
23 – 1, 25 – 1, 27 – 1, sont tous premiers.
Nous voici en mesure de faire une conjecture sur les nombres parfaits.
un nombre parfait est de la forme 2n – 1 × (2n – 1) avec 2n – 1 premier.
 Testons au moyen du tableur cette conjecture avec les valeurs suivantes de n. Dans la première
colonne figurent les valeurs de n ; la deuxième colonne teste la primalité de 2n – 1 ; la troisième
calcule 2n – 1 × (2n – 1) ; enfin la dernière vérifie si le nombre calculé est parfait ou non (avec la
fonction sdiv de la bibliothèque numtheory, pour être plus rapide).
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40
Mathématiques et TI-Nspire
La conjecture émise plus haut n’est pas réfutée et semble au contraire bien confirmée. Au passage
nous récupérons quatre autres nombres parfaits, que nous n’aurions jamais obtenus par balayage
systématique, tant ils sont grands :
212 × (213 – 1) = 33 550 336
216 × (217 – 1) = 8 589 869 056
218 × (219 – 1) = 137 438 691 328
230 × (231 – 1) = 2 305 843 008 139 952 128
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Nombres abondants, déficients et parfaits
41
On retrouve d’ailleurs ces nombres parfaits dans Cogitata Philosophica12 écrit par le célèbre père
Mersenne (1588-1648), comme le montre l’extrait suivant. Pas besoin d’être fin latiniste pour
comprendre que Mersenne cite, sans erreur, les mêmes nombres parfaits que ceux que l’on vient de
découvrir, avec au passage une petite erreur sur le premier chiffre du 5e :
6, 28, 496, 8128, (3)23550336, 8 589 869 056, 137 438 691 328, 2 305 843 008 139 952 128.
Notre ami Mersenne se permet en fait de « corriger » Petrus Bungus, qui affirmait avoir trouvé 28
nombres parfaits, dont 20 ne le sont pas, dixit Mersenne….
Traduction
À ce point, cela vaut la peine de noter que les 28 nombres présentés par Petrus Bungus comme
parfaits dans le chapitre 28 de son livre sur les nombres, ne sont pas tous parfaits. En effet, 20 sont
imparfaits, de telle sorte qu’il en reste 8 parfaits, à savoir 6, 28, 496, 8 128, (3)3 550 336,
8 589 869 056, 137 438 691 328, 2 305 843 008 139 952 128, qui proviennent de la table de Bungus
aux lignes 1,2, 3, 4, 8, 10, 12 et 29. Ceux-là seulement sont parfaits, de telle sorte que ceux qui ont le
livre de Bungus peuvent corriger l’erreur.
Il est temps maintenant de prouver notre conjecture. C’est l’objet du théorème suivant, déjà démontré
par Euclide dans les Éléments13 :

Théorème d’Euclide
Si 2n – 1 est premier, alors 2n – 1 × (2n – 1) est parfait.
Démonstration
Il suffit d’écrire…
(2n – 1 × (2n – 1)) = (2n – 1) × (2n – 1) car 2n – 1 et 2n – 1 sont premiers entre eux ;
= (1 + 2 + 22 + ... + 2n – 1) × (2n – 1 + 1) car 2n – 1 est premier ;
= (2n – 1) × 2n
= 2 × (2n – 1 × (2n – 1))
ce qui prouve que le nombre entier considéré est bien parfait.
Remarques
 On peut mener un calcul direct14 de  (2n – 1(2n – 1)), sans s’appuyer sur aucune propriété de la
fonction .
En effet, en posant p = 2n – 1, les diviseurs de 2n – 1 × p, en nombre de 2n car p est premier, sont
exactement :
1, 2, 22, ..., 2n – 1;
p, 2p, 22p, ..., 2n – 1p
Leur somme vaut donc :
1 + 2 + ... + 2n – 1 + p + 2p + ... + 2n – 1p = 1 + 2 + ... + 2n – 1 + p(1 + 2 + ... + 2n – 1)
= (1 + 2 + ... + 2n – 1)(1 + p)
= (2n – 1) × 2n
12
Le livre est disponible sur Gallica.
13
C’est même la dernière proposition du dernier livre d’arithmétique d’Euclide (proposition 36 du livre IX), comme un couronnement de ses
travaux arithmétiques...
14
Notamment en terminale scientifique, où les élèves ne connaissent pas les propriétés de la fonction somme des diviseurs...
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42
Mathématiques et TI-Nspire
On peut alors conclure comme précédemment.
 En reprenant le raisonnement précédent, on peut voir que si 2n – 1 est composé, la somme des
diviseurs dépasse 2 × 2n – 1 × (2n – 1) : on retrouve les précédents… mais il y en d’autres… En
d’autres termes, le nombre 2n – 1 × (2n – 1) est alors abondant.

Euclide énonce dans les Éléments :
Si autant de nombres que l’on veut, en commençant par l’unité, sont obtenus par une suite à
double proportion jusqu’à ce que la somme de tous devienne un nombre premier, et si on
forme un nombre en multipliant le premier par le dernier, alors ce produit sera un nombre
parfait.
En langage clair15 :
Si autant de nombres que l’on veut, en commençant par l’unité, sont obtenus par une suite à
double proportion...
... on calcule Sn = 1 + 2 + ... + 2n – 1 ( = 2n – 1) ;
... jusqu’à ce que la somme de tous devienne un nombre premier...
...Sn est-il premier ?
... et si on forme un nombre en multipliant le premier par le dernier, alors ce produit sera un
nombre parfait...
... si oui, alors Sn  2n – 1 est un nombre parfait.
On retrouve bien notre proposition.
2.5 La réciproque de la proposition d’Euclide
Une question demeure : la proposition d’Euclide fournit-elle tous les nombres parfaits ? La conjecture
que nous avons établie semble l’affirmer, puisque ce sont les seuls nombres parfaits que l’on a
rencontrés dans notre recherche.
Autrement dit, si l’on part d’un nombre parfait quelconque, peut-on prouver qu’il peut toujours
s’écrire sous la forme 2n – 1 × (2n – 1) où n est un entier naturel non nul tel que 2n – 1 soit premier ?
That is the question !
Il a fallu attendre quelque 2000 ans après Euclide pour qu’une telle réciproque soit démontrée mais
malheureusement ce n’est qu’une réciproque partielle. Elle est due à Euler, au XVIIIe siècle, qui
démontre la proposition suivante, concernant les nombres parfaits pairs :
Théorème d’Euler
Si N est un nombre parfait pair, alors il s’écrit
N = 2n – 1  (2n – 1)
où n est un entier naturel non nul tel que 2n – 1 est un nombre premier.
Démonstration
N étant pair, il s’écrit N = 2k  a avec a entier naturel impair et k entier  1.
2k et a étant premiers entre eux, on a :
(N) = (2k)  (a) = (2k + 1 – 1)  (a)
Or N étant parfait, on sait que : (N) = 2N. Cette dernière proposition équivaut à :
(2k + 1 – 1)  (a) = 2k + 1  a
(2k + 1 – 1)  (a) = 2k + 1  a – a + a
15
En tout cas moderne...
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Nombres abondants, déficients et parfaits
43
(2k + 1 – 1)  (a) = (2k + 1 –1) a + a
(2k + 1 – 1)((a) – a) = a
(1)
C’est de cette dernière égalité qu’il faut tirer la substantifique moelle, comme l’a fait Euler en son
temps. D’une part, on peut en déduire que (a) – a est un diviseur de a. C’est même un diviseur strict
de a : le premier facteur 2k + 1 – 1 est supérieur ou égal à 3 donc n’est pas 1, ce qui permet d’être sûr
que   a   a n’est pas égal à a.
D’autre part,   a   a est aussi la somme de tous les diviseurs stricts de a.
Or ceci est complètement impossible lorsque le nombre est composé : dans ce cas, la somme des
diviseurs stricts est strictement supérieure à n’importe lequel des diviseurs.
Nécessairement, a est premier et (a) – a = 1.
De l’égalité (1), on tire que a = 2k + 1 – 1.
En conclusion, si N est parfait pair, N est forcément de la forme N = 2k (2k + 1 – 1) et 2k+1 – 1 est
premier. Le théorème est bien prouvé en posant n = k + 1.
Bilan : les nombres parfaits pairs sont exactement les entiers de la forme 2n – 1  (2n – 1), avec 2n – 1
premier.
Reste en suspens le problème des nombres parfaits impairs… puisqu’au jour d’aujourd’hui aucun
mathématicien, ni aucun ordinateur, n’en ont croisé sur leur chemin16 ou dans leurs circuits
électroniques. Ce n’est pas faute de chercher d’ailleurs. On peut penser qu’il n’en existe aucun, mais
aucune certitude n’émerge.
Les mathématiciens imposent à un éventuel candidat des conditions de plus en plus draconiennes 17
sans qu’aucune impossibilité n’ait été encore été mise en évidence ni d’ailleurs qu’un premier nombre
parfait impair ait été trouvé…
Le premier type de restriction est lié au nombre de facteurs premiers d’un tel nombre : s’il existe on
sait aujourd’hui qu’il doit posséder au moins 9 diviseurs premiers distincts, avec des conditions
diverses et variées sur ces facteurs et les exposants de la décomposition.
Sinon une autre approche consiste à déterminer une borne inférieure à d’éventuels nombres parfaits
impairs : actuellement, on sait que si un tel entier existe, il est au moins égal à 10300. De là à dire qu’il
n’en existe pas… Pourtant au regard de l’infinité des entiers, un chemin bien dérisoire a été accompli.
Alors un nombre parfait impair à 400 ou 500, 10 000 ou 30 000 chiffres, qui sait, ne paraît pas
complètement impossible. La quête se poursuit encore18…
3.
Les nombres de Mersenne
3.1 L’origine historique de ces nombres
La recherche des nombres parfaits pairs équivaut, comme on l’a vu, à déterminer les nombres
premiers de la forme 2n – 1.
Revenons à Mersenne : non content d’avoir corrigé avec raison Bungus, comme on l’a vu plus haut, il
complète la liste des huit premiers nombres parfaits, avec trois autres nombres :
16
Carl Pomerance a proposé un argument heuristique tendant à prouver qu’il n’en existerait pas. Plus précisément il en existerait un nombre
fini et la probabilité d’en trouver un diminuerait avec la taille du nombre. Voir le site http://oddperfect.org/pomerance.html.
17
Voir le site http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_parfait#cite_note-1 et plus précisément l’article sur les nombres parfaits impairs.
18
N’oublions pas qu’on aurait pu croire qu’il n’existe pas de nombre abondant impair… On a vu au chapitre précédent ce qu’il en est
advenu…
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Mathématiques et TI-Nspire
Traduction
En outre, les nombres parfaits sont si rares que jusqu’à maintenant, on n’a pu en trouver que onze,
c’est-à-dire trois autres en plus de ceux de Bungus, car il n’y a pas d’autres nombres parfaits en
dehors de ces huit, à moins que vous alliez au delà de l’exposant 62, dans la progression double
commençant à 1 [ 1  2  22  ...  262 ]. Le neuvième nombre parfait correspond à la puissance
d’exposant 68 – 1. Le dixième à la puissance 128 – 1. Le onzième finalement à la puissance 258 – 1,
c’est-à-dire la puissance 257, diminuée d’une unité, et multipliée par la puissance 256.
Autrement dit, en plus des huit qu’il a énumérés plus haut, Mersenne considère, sans preuve, et avec
un certain aplomb, que les nombres parfaits qui suivent ceux qu’il a donnés précédemment sont :






266 267  1 , 2126 2127  1 et 2256 2257  1 .
Il revient au même d’affirmer que 267  1, 2127  1 et 2257  1 sont des nombres premiers. Quand on sait
que le plus grand de ces nombres possède 78 chiffres, et quand on connaît les moyens réduits en
termes de calcul au siècle de Mersenne, on ne peut qu’être dubitatif… D’autant qu’il avoue lui-même
un peu plus bas « qu’une des plus grandes difficultés des mathématiques (…) est de reconnaître si un
nombre donné de 15 ou 20 chiffres est premier ou non, puisque un siècle entier d’investigation ne
suffit même pas pour cette investigation, avec l’une des méthodes connues à ce jour ». Alors ?
3.2 Premiers ou pas ?
 Revenons plus précisément à notre étude. À quelle condition donc les nombres de la forme 2n – 1
sont-ils premiers ? Une première recherche à la calculatrice donne les résultats suivants :
Manifestement pour que 2n – 1 soit premier, il faut que n soit premier… mais cela ne suffit pas. En
effet, on constate sur l’écran précédent que 211 – 1 = 2047 n’est pas premier alors que l’exposant 11
l’est…
La proposition suivante résume cette étude :
Proposition
Si 2n – 1 est premier, alors n est premier.
Démonstration
Si n est composé, il s’écrit sous la forme n = uv avec u et v entiers strictement supérieurs à 1 et
strictement inférieurs à n. Alors 2n – 1 = 2uv – 1 admet au moins deux diviseurs non triviaux : 2u – 1 et
2v – 1, car on sait que xk – 1 est divisible par x – 1. Ceci prouve que 2n – 1 est composé.
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Nombres abondants, déficients et parfaits
45
Remarquons que la réciproque est donc fausse comme on l’a vu plus haut… Il faut donc se contenter,
comme souvent en arithmétique d’une condition nécessaire qui n’est pas suffisante.

L’étude qui précède justifie la définition suivante.
Définition
Mp = 2p – 1, avec p entier naturel premier, est par définition un nombre de Mersenne.
On comprend que l’hommage à Mersenne s’imposait. Les premiers nombres de Mersenne sont donc :
M2 = 3 premier
M3 = 7 premier
M5 = 31 premier
M7 = 127 premier
M11 = 2 047 =2389 composé
M13 = 8 191 premier
M17 = 131 071 premier
M19 = 524 287 premier
M23 = 8 388 607 = 47 × 178 481 composé
M29 = 536 870 911 = 233 × 2 089 × 1 103 composé
Bien que l’exposant soit premier, ce nombres ne sont pas forcément tous premiers.
Une étude plus large des nombres de Mersenne, et de leur éventuelle factorisation, peut être entreprise
sur le tableur par exemple. On obtient les résultats suivants :
Au passage on peut remarquer que les diviseurs de 2p – 1, lorsqu’ils existent, sont de la forme
q = 1 + 2kp.
Ainsi pour 211 – 1, on a : 23 = 2 × 11 + 1 mais aussi : 89 = 8  11 + 1 ; de même, pour 223 – 1, on a :
47 = 2 × 23 + 1 mais aussi : 178 481 = 7 760  23 + 1 ; enfin pour 259 – 1, on a :
179 951 = 3 050 × 59 + 1 mais aussi : 3 203 431 780 337 = 54 295 453 904  59 + 1.
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Mathématiques et TI-Nspire
Théorème
Soit p un nombre premier impair et q un entier premier divisant 2p – 1.
Alors nécessairement q = 1 + 2kp, où k est un entier naturel quelconque.
Démonstration
Une première démonstration, plus élégante, peut être proposée avec le vocabulaire et les outils de la
théorie des groupes.
Si q premier divise 2p – 1, alors 2p  1 (modulo q).
Plaçons-nous dans le groupe  / q * ,  . On peut donc dire que l’ordre de 2, strictement supérieur à 1,
est nécessairement un diviseur de p. Mais p, par hypothèse, est premier. L’ordre de 2 est donc p luimême.
D’autre part, le groupe  / q * ,  possède q – 1 éléments. En conséquence, 2q – 1  1 (modulo q).
Ceci prouve que q – 1 est aussi un multiple de p.
Il existe donc un entier k’ tel que q = 1 + k’p
Plus précisément, comme q est impair, k’p est pair ; comme p lui-même est impair, nécessairement k’
est pair.
Finalement, q = 1 + 2kp.
Une autre démonstration peut être proposée, par exemple pour des élèves de Terminale S. Elle suit
pas à pas le principe de la démonstration précédente, sans s’appuyer évidemment sur les résultats de
la théorie des groupes.
Si q premier divise 2p – 1, alors 2p  1 (modulo q).
Considérons donc l’ensemble H = {n   / 2n  1 (modulo q)}. Comme il contient p, cet ensemble est
non vide. Il possède un plus petit élément, qu’on note l.
Montrons que tout élément de H est un multiple de l.
Soit donc n  H.
Il existe deux entiers a et r (avec 0  r < l) tels que : n = la + r
2n  1 (modulo q)
= 2la + r = (2l)a × 2r  2r (modulo q)
Finalement 2r  1 (modulo q) : comme 0  r < l, et d’après la définition de l, il en résulte que r = 0,
soit que n = la.
L’ensemble H est donc l’ensemble des multiples de l.
Mais p est dans H, donc l divise p. Comme l  1, et que p est premier, l est donc égal à p.
D’après le théorème de Fermat, comme q est un nombre premier, on sait que : 2q – 1  1 (modulo q).
Ceci prouve que q – 1 appartient aussi à H, donc que q – 1 est un multiple de p.
Il existe donc un entier k’ tel que q = 1 + k’p
Plus précisément, comme q est impair, k’p est pair ; comme p lui-même est impair, nécessairement k’
est pair.
Finalement, q = 1 + 2kp.
Autrement dit, les diviseurs premiers éventuels d’un nombre de Mersenne sont forcément d’un type
particulier : on peut donc simplifier l’algorithme des divisions successives en ne testant que ceux-là.
Nous reprendrons cet exemple dans le chapitre traitant de la factorisation des entiers.
Revenons à notre feuille de calcul précédente : au delà de 261  1 , quid des nombres de Mersenne
premiers ? Que dire aussi de l’affirmation du Père Mersenne ?
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Nombres abondants, déficients et parfaits
47
Autres temps, autres moyens de calculs… Là où des dizaines d’années ont été nécessaires pour
détecter là où le Père Mersenne s’était trompé, quelques secondes de notre calculatrice donnent son
verdict implacable…
Presqu’immédiatement avec l’ordinateur, nous pouvons affirmer que Mersenne s’est trompé
seulement 5 fois dans sa liste :
deux fois où les nombres qu’il propose ne sont pas premiers (pour n = 67 ou 257) ;
trois oublis de nombres premiers (pour n = 61, 89, 107).
Pourquoi ne pas poursuivre un peu plus loin… Même notre performante calculatrice va demander un
peu de temps : on ne travaille pas impunément sur des entiers aussi grands sans mobiliser ses circuits
électroniques au maximum ! Quelques précautions s’imposent : d’abord, avec select_range, ne
travailler qu’avec les nombres premiers ; ensuite tester dans la liste générée les valeurs x pour
lesquelles 2x – 1 est premier19. Quelques secondes après20, l’incroyable résultat est là :
La liste des nombres de Mersenne premiers dont l’exposant est inférieur ou égal à 1500 comporte 15
éléments, correspondant aux exposants :
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279.
Mieux que Mersenne, non ?
L’exploration peut se poursuivre au-delà mais le traitement de listes avec des nombres gigantesques
met la calculatrice en situation de dépassement de capacité.
3.3 Bilan de la recherche sur les nombres parfaits
À nombre de Mersenne premier, nombre parfait, selon le théorème d’Euclide...
Le plus grand nombre de Mersenne que nous ayons obtenu est 21279 – 1, avec 386 chiffres ! Le nombre
parfait qui lui est associé, 21278  (21279 – 1), possède quant à lui 770 chiffres :
19
Avec select_range, on doit impérativement utiliser la variable x.
20
Dix minutes avec la calculatrice…
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Mathématiques et TI-Nspire
Un copier-coller depuis le logiciel jusqu’à notre traitement de texte donne la valeur suivante pour ce
« grand » nombre parfait :
5416252628436584741265446537439131614085649053903169578460392081838720699415853485
9198999921056719921919057390080263646159280013827605439746262788903057303445505827
0283951394752077690449244314948617294351131262808379049304627406817179604658673487
2099257219056946554529962991982343103109262424446354778963544148139171981644160558
6788092147886677321398756661624714551726964302217554281784254817319611951659855553
5739377889234051462223245067159791937573728208608782143220522275845375528974762561
7939517662442631448031344693508520365758479824753602117288040378304860287362125931
3789994900336673941503747224966984028240806042108690077670395259231894666273615212
7756035357647079522501738583051710286030212348966478513639499289049732921451075059
79911456221519899345764984291328
Enfin, pour conclure, rien n’interdit non plus d’améliorer en profondeur notre programme de
recherche de nombres parfaits inférieurs à un entier m : si on ne recherche que les nombres parfaits
pairs, ils sont de la forme 2n – 1 × (2n – 1) avec 2n – 1 premier. Et comme on n’a pas trouvé de nombres
parfaits impairs21 jusqu’à aujourd’hui… Le code de la fonction suivante n’appelle aucun
commentaire... Évidemment, la recherche est considérablement plus rapide qu’au début de ce
chapitre…
On obtient des réponses rapides, spectaculairement rapides si l’on compare au tout premier
programme de recherche écrit en début de chapitre.
Presque instantanément, sauf pour le dernier calcul, on obtient l’écran suivant :
21
Il n’existe pas de nombre parfait impair de moins de 300 chiffres, selon Wikipedia.
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Nombres abondants, déficients et parfaits
49
3.4 En forme de conclusion
À ce jour (août 2011), on connaît 47 nombres de Mersenne premiers22 et donc autant de nombres
parfaits pairs. Euclide a reconnu que 28 était un nombre parfait en 275 av J-C.
En montrant que 231 – 1 était premier en 1772, Euler en a déduit que 230  (231 – 1) était un nombre
parfait. Lucas a montré en 1876, évidemment sans ordinateur, que 2127 – 1 était premier : c’est le plus
grand nombre dont on a montré la primalité sans ordinateur (il possède quand même 39 chiffres). Le
douzième nombre parfait était obtenu !
Le nombre de Mersenne premier qui suit était inaccessible au calcul à la main. Robinson décroche en
1952 avec un ordinateur les exposants 521, 607, 1279 (ceux que nous avons obtenu avec notre
calculatrice !), 2203, 2281.
Le plus grand nombre de Mersenne premier connu est « tombé » en août 2008 : 243 112 609 – 1 et c’est le
plus grand nombre premier connu à ce jour. Il possède 12 978 189 chiffres et a été obtenu par l’un des
quelques milliers d’amateurs membres du projet GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search). Un
amateur qui demain peut être vous : il suffit de faire fonctionner sur son ordinateur un logiciel,
discret, qui teste en tâche de fond la primalité de quelques nombres de Mersenne...
2500 ans de réflexion et de labeur pour trouver si peu de nombres : seulement 44, sans que l’on sache
même s’il y en a une infinité...
22
Voir le site http://www.mersenne.org ; on peut télécharger un logiciel qui fonctionne en tâche de fond sur son ordinateur et participer à
la grande recherche des nombres de Mersenne.
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