Opérations sur les nombres relatifs

Opérations sur les nombres relatifs
Chapitre 1
Classe de 4ème
• I Addition de nombres relatifs.
• 1. Définition:
• L'addition est l'opération qui permet de calculer
la somme de deux nombres (Ces nombres sont
appelés les termes de la somme)
• Exemple :
• 12 +
5 = 17
1er terme
2ème terme
• 2. Nombres relatifs de même signe.
• La somme de deux nombres relatifs de même
signe est un nombre relatif de même signe et
dont la distance à zéro est la somme des
distances à zéro.
• Exemples :
• A = (+4) + (+9) =•
•(+ 13)
• B = (-6) + (-8) =•(
•(- 14)
4+9=13
6+8=14
• 3. Nombres relatifs de signes différents.
• La somme de deux nombres relatifs de signes
différents est un nombre relatif dont le signe est
celui du nombre qui a la plus grande distance à
zéro et dont la distance à zéro est la différence
des distances à zéro.
• Exemples
• C = (+4) + (-7) = ( - 3)
• D = (+5) + (-2) = ( + 3)
• 4. simplification d'écriture
• a. Pour simplifier l'écriture d'une suite d'additions
de relatifs, on peut :
• - supprimer les signes opératoires des additions,
• - supprimer les parenthèses puis
• - supprimer le signe du premier nombre s'il est
positif.
• Exemple
• E = (+3) + (-5) +(+6) =
• 4. simplification d'écriture
• b. Pour simplifier l'écriture d'une suite d'additions
de relatifs, on peut :
• - supprimer les signes opératoires des additions,
• - supprimer les parenthèses puis
• - supprimer le signe du premier nombre s'il est
positif.
• Exemple
• E = (+3) + (-5) +(+6) = 3 - 5 + 6
• Pour effectuer un calcul écrit sous forme
simplifiée, on peut revenir à l'écriture initiale afin
de pouvoir regrouper des termes.
• Exemple
• F = -2 + 4 - 8 =
• Pour effectuer un calcul écrit sous forme
simplifiée, on peut revenir à l'écriture initiale afin
de pouvoir regrouper des termes.
• Exemple
• F = -2 + 4 - 8 = (-2) + (+4) + (-8) =
• Pour effectuer un calcul écrit sous forme
simplifiée, on peut revenir à l'écriture initiale afin
de pouvoir regrouper des termes.
• Exemple
• F = -2 + 4 - 8 = (-2) + (+4) + (-8) =
• Pour effectuer un calcul écrit sous forme
simplifiée, on peut revenir à l'écriture initiale afin
de pouvoir regrouper des termes.
• Exemple
• F = -2 + 4 - 8 = (-2) + (+4) + (-8) = (-10)+(+4)
• Pour effectuer un calcul écrit sous forme
simplifiée, on peut revenir à l'écriture initiale afin
de pouvoir regrouper des termes.
• Exemple
• F = -2 + 4 - 8 = (-2) + (+4) + (-8) = (-10)+(+4) = -6
II Soustraction de nombres relatifs.
• 1. Définitions
• a. Soustraction
• La soustraction est l'opération qui permet de
calculer la différence de deux nombres.
• b. Opposé
• L'opposé d'un nombre relatif a est le nombre
relatif (noté -a) qui a la même distance à zéro
que a et le signe contraire.
• Exemple:
II Soustraction de nombres relatifs.
• 2. propriété
• Soustraire un nombre revient à ajouter son
opposé
• a — b = a + opp(b) = a + (-b)
• (-b) signifie : « opposé de b »
• Exemple :
• Si b = -9 alors (-b) = +9
EXERCICE
=(+5)+(+6)
=(-5)+(-2)
=(+4)+(-8)
EXERCICE
=(+3)+(+6) = (+9)
=(-3)+(+3) = 0
=(+7)+(-3) = (+4)
=(-5)+(-12) = (-17)
=(+2,1)+(-4) = (-1,9)
=(-7)+(-8,25) = (+1,25)
• III Produit de nombres relatifs.
• 1. Définition
• La multiplication est l'opération qui permet de
calculer le produit de deux nombres. Ces
nombres sont les facteurs du produits.
• 2. propriété
• Le produit de deux nombres relatifs a pour
distance à zéro le produit des distances à zéro.
Il reste à connaître son signe:
• Règles des signes:
• Le produit de deux nombres de même signe
est positif.
• • Le produit de deux nombres de signes
différents est négatif.
Moyen mnémotechnique
•
•
•
•
L’ami de mon ami est mon ami (+ par + =+)
L’ami de mon ennemi est mon ennemi (+ par - = - )
L’ennemi de mon ami est mon ennemi (- par + = - )
L’ennemi de mon ennemi est mon ami (- par - = + )
•
•
•
•
•
Exemples
A = (-4) x (-2) = (+8)
B = (+4) x (+2) = (+8)
C = (+4) x (-2) = (-8)
D = (-4) x (+2) = (-8)
• Remarque
• Multiplier un nombre par (-1) revient à prendre
l'opposé.
• (-1) x 5 = -5
• (-6) x (-1) = (+6)
• 3. Produit de n nombres relatifs.
• Le signe d'un produit de nombres relatifs
dépend de la parité du nombre de facteurs
négatifs.
• Si ce nombre est pair alors le produit est
positif.
• Si ce nombre est impair alors le produit est
négatif.
EXERCICE
= 56
= -54
= 55
= -4
= -8
=0
ACTIVITE
4- Effectuer des calculs avec des nombres relatifs.
méthode
Dans une suite d’opérations avec des nombres relatifs, on effectue dans l’ordre
d’abord les calculs entre parenthèses, puis les multiplications et divisions, et
enfin les additions et soustractions.
exemple : effectue le calcul suivant
•A = - 4 – 5 x ( - 2 – 6 )
•A = - 4 – 5 x ( - 8 )
•A = - 4 + 40
•A = 36
A toi de jouer
• Effectue les calculs :
B= ( - 3 – 6 )x(6 – 8)
C= 12 – (-21)x7
D= -15 + (6 – 9) x (-4)
4- un cas particulier de la distributivité :
suppression de parenthèses dans une expression
algébrique. (cf activité 5)
a) Parenthèses précédées d’un signe « + »
méthode
Pour ajouter une somme algébrique écrite entre parenthèses, il suffit
d’additionner chaque terme de cette somme algébrique :
Pour tous nombres relatifs a, b, c et d, on a:
a +(b+c −d) = a +b+c −d;
autrement dit : on enlève tout simplement les parenthèses
exemples :
•2 + (3 + 5 - 8 ) = 2 + 3 + 5 - 8 = 2
•5 + (9 −1) = 5 + 9 −1= 13
4- un cas particulier de la distributivité :
suppression de parenthèses dans une expression
algébrique. (cf activité 5)
b) Parenthèses précédées d’un signe « − »
méthode
Pour soustraire une somme algébrique écrite entre parenthèses, il suffit
d’additionner l’opposé de chaque terme de cette somme algébrique :
Pour tous nombres relatifs a, b, c et d, on a a −(b+c −d) = a − b − c + d;
autrement dit : lorsqu’il y a un signe « − » devant une parenthèse, on change
tous les signes à l’intérieur de la parenthèse.
exemples :
•2 − (3 + 5 - 9 ) = 2 − 3 − 5 + 9 = 3
•5 − (-9 +1 – 3 ) = 5 + 9 – 1 + 3= 16
ACTIVITE
• IV Quotient
• 1. Définition : La division
• La division (décimale) est l'opération qui
permet de calculer le quotient de deux
nombres.
• 2. Propriété
• Le quotient de deux nombres relatifs a pour
distance à zéro le quotient des distances à
zéro. Il reste à connaître son signe, les règles
sont identiques à celles du produit. Il faut se
souvenir que « Le signe du quotient, c’est le
signe du produit. »
•Exemples :
•
13
13

5
5
9
9

4
4
7 7

3 3
3. Inverse
Soit a un nombre relatif. L’inverse de a est noté
• Exemples :
L’inverse de 5 est
L’inverse de
12
7
est
1
5
; L’inverse de
3
8
7
7
7


12 12
12
4. Propriété importante
• Diviser revient à multiplier par l’inverse
• Exemples :
3
1
 3x
2
2
12
4
 12x
5
5
4
est
8
3
1
a