Semi-conducteur à l`équilibre

Composants actifs : plan du cours
25 heures – 2 contrôles








Semi-conducteurs à l’équilibre
Semi-conducteurs hors équilibre
Jonction pn
Diode Schottky
Transistor bipolaire + HBT
Transistors à effet de champ (J-FET, MES-FET,
HEMT)
MOS-FET et technologie C-MOS
CCD
1
Semi-conducteur à l’équilibre
2
Semi-conducteurs à l’équilibre

Dopage des semi-conducteurs




Semi-conducteur intrinsèque
Le dopage n et p
Calcul de la densité de porteurs extrinsèques
Semi-conducteur compensé
3
Semi-conducteurs

Structure en bandes
d’énergie:


Bande de valence: c’est
la dernière bande remplie
à T=0K
Bande de conduction:
c’est la bande
immédiatement au
dessus et vide à T=0K
4
Notion de trous (+e !)

La notion de bandes
permet d’introduire le
porteur de charge
positif : un trou
 Aux températures
différentes de 0 K,
électrons « montent »
dans BC, laissent des
« trous » dans la BV
5
Conduction bipolaire


La présence d’électrons
et trous entraîne une
conduction bipolaire dans
les SC
On peut privilégier une
conduction par le dopage
du semi-conducteur, ie
l’introduction d’impuretés
E externe
6
Électrons dans une structure Diamant
(ex: Si)
7
Électrons dans une structure Diamant
(ex: Si)
8
Densité de porteurs dans les bandes

Fonction de Fermi:
f (E) 

1 e
Densité d’états:
1  2mc* 
 2 
NC (E) 
2 
2   
1  2mv* 
 2 
Nv (E) 
2 
2   

1
( E  E F ) / kT
3/ 2
Eg
( E  EC )1/ 2
3/ 2
( EV  E )1/ 2

n
N
C
( E ). f n ( E ).dE
EC
Densité de porteurs:
p
EV
 N ( E ). f
v

p
( E ).dE
9
Densité de porteurs dans les bandes

Approximation de Boltzmann:

Si le niveau de Fermi est à plus de « 3kT » du
minimum de la bande de conduction ou du
maximum de la bande de valence, on peut
simplifier la fonction de distribution:

(
E

E
)
/
kT
F
fn ( E)  e
f p (E)  e
( EF  E ) / kT
10
Densité de porteurs dans les bandes

Dans ces conditions (Boltzmann), la
densité de porteurs libres s’écrit:

Dans la bande de conduction (électrons):
EC  EF
n  N C exp( 
)
kT

avec
 2m kT 

N C  2
 h

*
C
2
3/ 2
Dans la bande de valence (trous):
EF  Ev avec
p  N v exp( 
)
kT
 2m kT 

N v  2
 h 
*
v
2
3/ 2
11
Loi d’action de masse np=ni2

Dans un semi-conducteur intrinsèque, la
densité de trous est égale à la densité
d’électrons:
3
Eg
 kT 
* * 3/ 2
2
np  4
(
m
m
)
exp(

)

n

e h
i
2
kT
2





En faisant n=p, on obtient le niveau de
Fermi intrinsèque:
EC  EV kT
NC
Ei  EFi 

ln(
)
2
2
NV
12
Semi-conducteur intrinsèque


Variation
exponentielle de la
densité de porteurs
Si ni>1015cm-3, le
matériau inadapté
pour des dispositifs
électroniques.

Remarque:
 Le produit np est
indépendant du
niveau de Fermi
Expression valable même
si semi-conducteur dopé
SC à grands « gap »
Type SiC, GaN, Diamant
Introduction du dopage
13
Dopage: introduction de niveau
énergétique dans le gap
Dopage type n
Dopage type p
14
Dopage d’un SC: type n
15
Dopage d’un SC: type p
16
Variation de la conduction d’un semi-conducteur
dopé en fonction de la température
Tous les « donneurs
sont ionisés
3 régimes:
•Extrinsèque
•Épuisement des donneurs
•Intrinsèque
17
Calcul de la position du niveau énergétique
Ed ou Ea

Le problème « ressemble »
au modèle de l’atome
d’hydrogène
m0e 4
13.6
En 
 2 eV
2 2
2(4 0 ) 
n

Introduction du Rydberg
« modifié » :
 m*   0 
Ed  EC  13.6  
 m0   
2
Exemple de dopants et leurs énergies
18
Densité de porteurs extrinsèques:

nb d’électrons différents du nb de trous
n  p  n  0

Mais loi d’action de masse toujours valable,
avec n.p=cte (sauf si dopage trop élevé).
n. p  ni2  cste

Pour déterminer ces concentrations (n et p),
on écrit la neutralité électrique du système.
n  N A  p  ND
n2  ( ND  N A )n  ni2
19
Densité de porteurs extrinsèques:

Semi-conducteurs type n (ND>NA):


1
1
2
2 2
n  N D  N A  ( N D  N A )  4ni

2 
1
1
2
2 2
p   N D  N A  ( N D  N A )  4ni

2 



Dans la pratique (ND, NA, et ND – NA >> )ni si
bien que:
n  ND  N A
p  ni2 /( N D  N A )
20
Niveau de Fermi dans un SC dopé

Si le SC n’est pas dégénéré, l’approximation de
Boltzmann reste valable:
 Type n et p respectivement
n  N D  N A  N C exp( 
p  N A  N D  NV exp( 

EC  EFn
kT
EFp  EV
kT
)
)
Soit un niveau de Fermi type n et type p donné par:
EFn  EC  kT ln( N C /( N D  N A ))
EFp  EV  kT ln( NV /( N A  N D ))
21
Différence Ef - Efi
Au lieu d’exprimer Ef en fonction de Nc et
Nv, on peut écrire:
 N d  type n

E f  Ei  kT ln 
 ni 

eFi
 N a  type p
Ei  E f  kT ln  
 ni 
22
Différence Ef - Efi

On peut alors exprimer les densité
d’électrons et de trous à l’équilibre par:
n  ni e
( E F  E Fi ) / kT
p  ni e
avec:
 ni e
 ( E F  E Fi ) / kT
e Fi / kT
 ni e
 e Fi / kT
eFi  EF  EFi  0
type n
eFi  EF  EFi  0
type p
Équations de
Boltzmann
23
Semi-conducteurs dégénérés:
approximation de Joyce –Dixon

Dans ce cas , l’approximation de Boltzmann n’est
plus valable pour le calcul:
soit de n et p
 soit de la position du niveau de Fermi:
on utilise alors l’approximation de Joyce-Dixon:

 n
 p
1 n 
1 p 
EF  EC  kT ln


  EV  kT ln

N
N
N
N
8 C
8 V
C
V


24
Peuplement des niveaux d’impuretés :
gel des porteurs

En fonction de la température, le niveau
d’impureté est plus ou moins peuplé. Supposons
un SC « avec » ND donneurs et NA accepteurs
(ND>NA)

À T=0K




BV =>pleine
EA => NA électrons
ED => ND-NA électrons
BC => vide
25
Peuplement des niveaux d’impuretés :
gel des porteurs

À température non nulle: les électrons sont
redistribués mais leur nombre reste constant
!!!. L’équation de neutralité électrique permet
de connaître leur répartition:
(n  ni )  nd  N D
( p  ni )  pa  N A
n, p
nd (pa)
n  nd  N D  N A  p  pa
: électrons (trous) libres dans BC (BV)
: électrons (trous) liés aux donneurs (accepteurs)
26
Fonction de distribution des atomes
d’impuretés – Principe d’exclusion de Pauli
Comparaison de l’image « chimique » et de la description en
« bande d’énergie » de l’atome donneur ou accepteur:
« liaison chimique »
Atome donneur  atome Si +
noyau chargé positivement.
Mécanique quantique
(électrons indépendants)
Interaction Coulombienne
+ écrantage du noyau: Ed
diminue
« Bande d’énergie »
Cristal parfait + puits de potentiel
attractif sur un site du réseau
Niveau énergétique Ed dans
le gap sous Ec doublement
dégénéré (spin up et down)
Le deuxième électron
« s’échappe » : occupation
du niveau par un seul électron 27
Probabilité d’occupation du niveau d’impureté

Proba d’occupation et nb d’électrons sur Ed:
Ed  E f
1
f n  (1  exp
)
2
kT

Nd
nd 
Ed  E f
1
1  exp
2
kT
Proba de non occupation et nb de trous sur Ea:
E f  Ea
1
f p  (1  exp
)
4
kT
Na
pa 
E f  Ea
1
1  exp
4
kT
28
Niveau « donneur »:le facteur 1/2

Atome de Phosphore (col V):

États élecroniques 3s² 3p3 : 2e s et 2e p participent
aux liaisons  1e sur le niveau ED (le 5° !)

il (le 5° !) possède un spin particulier up ou down

Une fois l’e parti (f(E)) la « case » vide peut
capturer un spin up ou down => le mécanisme (la
proba.) de capture est augmenté / à l’émission.
f D ( E)  f ( E)
29
Semi-conducteur fortement dopé


Si dopage trop important, les impuretés se
« voient » ( rayon de Bohr 100 angstroms)
le niveau d’énergie associé s’élargit
Un effet important est la diminution du
« Gap » du SC et donc ni augmente!!:
1/ 2
 N d 300 
 meV
Eg  22.5 18
 10 T ( K ) 
pour le Silicium
30
Semi-conducteurs hors équilibre
31
Plan:







Recombinaison et génération
Courants dans les SC
Équation de densité de courants
Équations de continuité
Longueur de Debye
Équation de Poisson
Temps de relaxation diélectrique
32
Phénomènes de Génération Recombinaison

Loi d’action de masse:


À l’équilibre thermodynamique: np  ni2
Hors équilibre: apparition de phénomènes de
Génération - Recombinaison

création ou recombinaison de porteurs :
Unité [g]=[r]=s-1cm-3

Taux net de recombinaison:
g 'r '  g  gth  r '  g  r
externe
avec
interne
r  r ' g th
33
Différents chemins
Génération depuis
état lié
Génération bande à bande
34
Recombinaison: 2 « chemins » possibles

(1)
Recombinaison directe électron-trou

Processus fonction du nombre d’électron et de trous
rp 

p
p
n
n
Exemple: type n +excitation lumineuse en faible injection (
ie n  p  n0 )
p  p0  p

rn 
n  n0  n  n0
En régime de faible injection le nombre de porteurs
majoritaires n’est pas affecté.
35
Recombinaison: 2 « chemins » possibles

(2)
Recombinaison par centres de recombinaison:
En général ces centres se trouvent en milieu de
bande interdite
 Le taux de recombinaison s’écrit:

np  ni2
Équation de
r
Shockley-Read
 m 2ni  p  n
 Où  m est caractéristique du centre recombinant
1

Si les 2 processus s’appliquent:
1


1
m

1
 n( p)
36
Recombinaison: 2 « chemins » possible


Si semi-conducteur peu dopé: on applique
SR
Si semi-conducteur dopé n:
rp 

(2)
p
p
Avec
1


1
m

1
p
Si région « vide » de porteurs (ex: ZCE)
ni
r
 0 Taux net de génération.
Création de porteurs
2 m
37
Type P
Excitation lumineuse
38
Recombinaison radiative ou non
39
Recombinaisons de surface
40
Courants dans les SC

Courant de conduction: présence de champ
électrique


Si E=0, vitesse des électron=vitesse
thermique (107 cm/s) mais => vitesse
moyenne nulle car chocs (« scattering ») avec
le réseau + impuretés.
Libre parcours moyen (« mean free path »):
o
l  vth.  100 A
  0.1 ps
41
Courants dans les SC

Courant de conduction: présence de champ
électrique


Entre deux chocs, les électrons sont accélérés
uniformément suivant  E
Accélération:
  qE / m
*


Vitesse:
Mobilité:
v  qE / m  µE
*
µ  q / m
*
Si : 1500 cm2/Vs
GaAs: 8500 cm2/Vs
In0.53Ga0.47As:11000 cm2/Vs42
Courants dans les SC

La densité de courant de conduction s’écrit:

Pour les électrons:
J c n  nevn  neµn E

Pour les trous:
J c p   pev p  peµ p E

Pour l’ensemble:
J c total  J n  J p  (neµn  peµ p ) E
43
Courants dans les SC

Importance de la mobilité sur les
composants



Mobilité la plus élevée possible
=> vitesse plus grande pour un même E
Facteurs limitants:
Dopage
 Défauts (cristallins, structuraux, …)
 Température
 Champ électrique de saturation + géométrie

44
Courants dans les SC

Vitesse de saturation des électrons

La relation linéaire vitesse – champ valide
uniquement pour:



Champ électrique pas trop élevé
Porteurs en équilibre thermique avec le réseau
Sinon:



Au-delà d’un champ critique, saturation de la vitesse
Apparition d’un autre phénomène: « velocity overshoot »
pour des semiconducteurs multivallée.
Régime balistique:pour des dispositifs de dimensions
inférieures au libre parcours moyen (0.1µm)
45
Vitesse de saturation

Différents
comportement en
fonction du SC
Survitesse
(« overshoot »)
46
Courants dans les SC

Courant de diffusion:



Origine: gradient de concentration
Diffusion depuis la région de forte
concentration vers la région de moindre [].
1° loi de Fick:
dn
n   Dn
dx
dp
pDx   D p
dx
x
D
nb d’e- qui diffusent par unité de
temps et de volume (flux)
nb de h+ qui diffusent par unité de
temps et de volume (flux)
47
Courants dans les SC

Courant de diffusion: somme des deux
contributions (électrons et trous):
J diff
dn
dp
 e(n  p )  eDn
 eDp
dx
dx
x
D
x
D
Constante ou coefficient de diffusion
[Dn , p ]=cm2/s.

48
Courants dans les SC

Courant total: somme des deux contributions (si elles
existent) de conduction et diffusion:
J T  J cond  J diff  J n  J p
dn
dp
J T  (neµn  peµp ) E  e( Dn
 Dp )
dx
dx

D et µ expriment la faculté des porteurs à se déplacer. Il
existe une relation entre eux: relation d’Einstein:
D kT

µ
e
49
Équations de continuité – longueur de
diffusion
G et R altèrent la distribution
des porteurs donc du courant

dn( x, t )
 J n ( x  x) J n ( x) 
Ax
 A

RG

dt
e
e 

dn( x, t )
dJ ( x) x
Ax
A n
RG
dt
dx e

On obtient alors les équations de
continuité pour les électrons et les trous:
dn( x, t ) 1 dJ n

 rn  g n
dt
e dx
dp( x, t )
1 dJ p

 rp  g p
dt
e dx
50
Équations de continuité – longueur de
diffusion

Exemple: cas où le courant est exclusivement du à
de la diffusion:
dn
d n n  n0
 Dn 2 
dt
dx
n
2
dn
J n (diff )  eDn
dx
dp
J p (diff )  eD p
dx
dp
d 2 p p  p0
 Dp 2 
dt
dx
p
51
Équations de continuité – longueur de diffusion

En régime stationnaire, les
dérivées par rapport au temps
s’annulent:
d 2 ( n  n0 ) n  n0 n  n0


2
Dn n
dx
L2n
d 2 ( p  p0 ) p  p0 p  p0


2
D p p
dx
L2p
Ln  Dn n

Lp  D p p

Solutions:
n( x)  (n( x)  n0 )  n(0)e x / L

n

Longueur de diffusion: représente la
distance moyenne parcourue avant
que l’électron ne se recombine avec
un trou (qq microns voire qq mm)
Ln ou Lp >> aux dispos VLSI
R et G jouent un petit rôle sauf
dans qq cas précis (Taur et al)
52
Équation de Poisson


Elle est dérivée de la première équation de Maxwell. Elle
relie le potentiel électrique et la densité de charge:
d 2V
dE
 ( x)




dx2
dx
 sc
Dans les SC, deux types de charges (fixes et mobiles):
d 2V
e





p
(
x
)

n
(
x
)

N
(
x
)

N
( x)
D
A
2
dx
 sc
Charge mobiles
Charges fixes
(électrons et trous)
(dopants ionisés)
53
Longueur de Debye

Si on écrit l’équation de Poisson dans un type n en
exprimant n en fonction de  Fi
:

d 2 F Fi
e
eF Fi / kT


N
(
x
)

n
e
d
i
dx 2
 sc

en remarquant que: V(x)=FFi cte

Si Nd(x) => Nd+Nd(x)
FFi
, alors FFi est modifié de
d 2 Fi e 2 N d
e





N d ( x)
Fi
2
dx
 sc kT
 sc
54
Longueur de Debye

Signification physique?

Solution de l’équation différentielle du 2° degré:
Fi  A exp 

x
LD
avec
LD 
 sckT
e2 N D
La « réponse » des bandes n’est pas abrupte mais
« prend » quelques LD ( si Nd=1016 cm-3, LD=0.04µm).
Dans cette région, présence d’un champ électrique
(neutralité électrique non réalisée)
55
Temps de relaxation diélectrique

Comment évolue dans le temps la densité de
porteurs majoritaires ?

Équation de continuité (R et G négligés):
n 1 J n

t e x
or
J n  E  E /  n et
E
 en /  sc
x
d’où
n
n

t
n sc
   n sc
Solution:
n(t )  exp( t /  n sc )
Temps de relaxation diélectrique ( 10-12 s)
56