DM n 3 : Matériaux semi-conducteurs et - PCSI

DM n◦3
DM n◦3 : Matériaux semi-conducteurs et diffusion thermique
dans un fil électrique
A rendre pour le Jeudi 20 Octobre
L’énoncé comporte deux exercices indépendants :
Exercice I : Conduction dans les semi-conducteurs, Approche documentaire. Remarque : la version en ligne
du DM présente les graphes et schémas en couleur. Les réponses à cet exercice font partie intégrante du pro-
gramme de PSI.
Exercice II : Diffusion thermique dans un fil électrique, d’après e3a PSI 2012 (parties IV).
1PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017

Phénomènes de Transport - Approche Documentaire : Conduction dans les semi-conducteurs
Approche documentaire : Conduction dans les semi-conducteurs
1 Bandes d’énergie et porteurs libres dans un semi-conducteur
Dans un atome isolé, les énergies des électrons ne peuvent prendre que des valeurs discrètes ; on parle de niveaux
d’énergie. Associés dans un solide cristallin, les atomes voient leur niveaux d’énergie se décaler et se superposer
en bandes d’énergie, continuum de valeurs possibles pour l’énergie d’un électron.
De manière simplifiée (Fig. 1), apparaissent une bande de valence occupée par des électrons peu énergétiques
intervenant dans les liaisons covalentes du cristal, et une bande de conduction occupée par des électrons plus
énergétiques délocalisés dans tout le matériau. Comme dans un métal, ces électrons dits libres peuvent être
animés d’un mouvement d’ensemble lorsqu’un champ électrique est appliqué (conduction électrique).
E
bande de conduction
bande de valence
E
bande de conduction
bande de valence
E
bande de conduction
bande de valence
Métal Semiconducteur Isolant
EgEg
Figure 1 – Schématisation du diagramme de bandes d’un métal, d’un semi-conducteur et d’un isolant.
Dans le cas d’un métal, la bande de conduction chevauche la bande de valence et est facilement accessible et
occupée par les électrons (Fig. 1).
Dans le cas d’un isolant ou d’un semi-conducteur, apparait une bande interdite, ensemble de valeurs d’énergie
inaccessibles aux électrons. La largeur de cette bande interdite est appelée énergie de gap. L’énergie de gap
des isolants est grande (∼5−10 eV) rendant la bande de conduction quasiment inaccessible et inoccupée aux
températures raisonnables. Dans le cas des semi-conducteurs, l’énergie de gap modérée (∼1eV et variable d’un
matériau à l’autre) rend plus probable le transfert d’électrons de la bande de valence vers la bande de conduction
par un apport énergétique (d’origine thermique, optique, électrique) raisonnable.
La rupture d’une liaison covalente entraine donc la création d’un électron libre mais aussi celle d’un trou, associé
au défaut d’électron dans la liaison ; on parle dès lors de paires électrons-trous (Fig. 2). Les trous se comportent
comme des particules de charge +eparticipant, comme les électrons libres, à la conduction électrique (voir Section
4).
SiSi SiSi
SiSi SiSi
Si
Si
e- de
valence
e- libre
trou
noyau et
e- de coeur
Figure 2 – Création d’une paire électron-trou.
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2 Densité de porteurs dans un semi-conducteur intrinsèque
La statistique de Fermi-Dirac permet d’estimer les densités nd’électrons de conduction et pde trous à tempé-
rature Tdonnée. Pour un semi-conducteur pur (intrinsèque), on définit nila concentration intrinsèque en porteurs
comme :
n=p=ni=AT 3/2exp −Eg
kT 
où Aest une constante propre au matériau, Egl’énergie de gap et kla constante de Boltzmann.
L’augmentation de niavec Ttraduit le fait que plus la température est élevée plus un électron a de chance de
posséder une énergie suffisante pour appartenir à la bande de conduction.
Ainsi pour le silicium à 300 K, on a ni≈1,5.1010 cm−3à comparer avec la densité électronique d’un bon
conducteur métallique (n∼1023 cm−3).
3 Dopage d’un semi-conducteur
Le dopage consiste à introduire des atomes donneurs ou accepteurs d’électrons dans un substrat de semi-
conducteur intrinsèque afin d’en modifier les propriétés conductrices. Ces atomes viennent s’insérer dans le réseau
cristallin par substitution. Comme les dopants sont introduits en quantité faible (devant le nombre d’atomes du
substrat initial), on parlera d’impuretés.
On réalise ainsi un semi-conducteur extrinsèque dopé N par ajout de donneurs, comme le phosphore P dans
le silicium ; l’ionisation des impuretés introduit ainsi un excès d’électrons libres. De manière analogue, les semi-
conducteurs dopés P sont obtenus par introduction d’accepteurs d’électrons. Par exemple, l’atome de Bore possé-
dant trois électrons de valence et une lacune est susceptible de capturer un électron intervenant dans une liaison
covalente Si-Si, créant ainsi un trou libre dans la bande de valence du matériau (Fig. 3).
Si SiSi
Si Si
Si SiSi
Si
Si
Si
e- libre
P+
Si SiSi
Si Si
Si SiSi
trou
B-
Figure 3 – Création d’un porteur libre par ionisation d’une impureté.
Le dopage permet ainsi de contrôler le type de porteurs majoritaires et d’augmenter considérablement la densité
de charges libres (et donc la conductivité du matériau) en choisissant une concentration en donneurs NDou en
accepteurs NAgrande devant ni. Aux températures usuelles, les impuretés sont très majoritairement ionisées et
on a n≈NDou p≈NA. La conductivité est dès lors contrôlée par la concentration de dopant.
Notons enfin que la loi d’action des masses impose dans le semi-conducteur, quel que soit le dopage :
n×p=n2
i
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4 Conduction dans un semi-conducteur
Comme signalé plus haut, dans un semi-conducteur la conduction est assurée par les électrons libres et les
trous. Le déplacement des trous se fait dans le sens opposé à celui des électrons (Fig. 4).
SiSi SiSi
SiSi SiSi
e- libre
mouvement d'ensemble de trous
mouvement d'ensemble d'e-
champ électrique E
saut d'un e-
de valence
vers un trou
déplacement
apparent
du trou
Figure 4 – Schématisation du déplacement des trous et des électrons libres lorsqu’un champ électrique est
appliqué.
Mobilité des porteurs de charge
Dans le cadre du modèle de Drude, on assimile les porteurs en interaction avec le cristal à des particules
classique de masse effective m∗subissant des séries de vols libres entrecoupées de collisions. La vitesse d’ensemble
vest alors liée au champ électrique Epar l’équation classique :
m∗dv
dt =qE−m∗v τ
où τest la durée moyenne entre deux collisions.
On peut dès lors introduire la mobilité du porteur en régime stationnaire définie comme le rapport entre norme
de la vitesse et intensité du champ µ=||v||/||E|| et s’exprimant :
µ=|q|τ
m∗
La mobilité est majoritairement affectée par deux types de collisions que subissent les porteurs de charge :
— les interactions de type coulombienne avec les impuretés ionisées ; celles-ci sont prédominantes à basse
température ; la probabilité de collision diminue quand la vitesse quadratique des porteurs et donc la
température augmentent ;
— les interactions avec le réseau cristallin ; elles sont d’autant plus probables que les porteurs sont énergétiques ;
l’influence de cette interaction croit donc avec la température.
La masse effective et donc la mobilité des trous et électrons varient également fortement d’un matériau à
l’autre : par exemple, la mobilité électronique à 300 K et à faible dopage est d’environ 1400 cm2.V−1.s−1dans le
silicium et de 40000 cm2.V−1.s−1dans l’arséniure d’indium InAs, alliage plus "moderne".
Conductivité
La densité de courant peut s’écrire en régime stationnaire, en additionnant les contributions des électrons et
des trous (auxquels les indices net pde l’expression suivante font référence) :
j=jn+jp=−envn+epvp= (enµn+epµp)E
On en déduit la conductivité du semi-conducteur :
σ=e(nµn+pµp)
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5 Quelques figures concernant le silicium
NB : Les courbes des figures ci-dessous ne correspondent pas à des relevés expérimentaux mais sont la représenta-
tion graphique d’expressions phénoménologiques ou semi-empiriques relatives au transport dans le silicium.
(b)(a)
Figure 5 – Mobilité des électrons (a) et des trous (b) en fonction de la densité de dopants et pour différentes
températures [1, 2].
Figure 6 – Résistivité du silicium dopé en fonction de la concentration en impuretés [3].
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