DM n◦ 3 DM n◦3 : Matériaux semi-conducteurs et diffusion thermique dans un fil électrique A rendre pour le Jeudi 20 Octobre L’énoncé comporte deux exercices indépendants : Exercice I : Conduction dans les semi-conducteurs, Approche documentaire. Remarque : la version en ligne du DM présente les graphes et schémas en couleur. Les réponses à cet exercice font partie intégrante du programme de PSI. Exercice II : Diffusion thermique dans un fil électrique, d’après e3a PSI 2012 (parties IV). 1 PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017 Phénomènes de Transport - Approche Documentaire : Conduction dans les semi-conducteurs Approche documentaire : Conduction dans les semi-conducteurs 1 Bandes d’énergie et porteurs libres dans un semi-conducteur Dans un atome isolé, les énergies des électrons ne peuvent prendre que des valeurs discrètes ; on parle de niveaux d’énergie. Associés dans un solide cristallin, les atomes voient leur niveaux d’énergie se décaler et se superposer en bandes d’énergie, continuum de valeurs possibles pour l’énergie d’un électron. De manière simplifiée (Fig. 1), apparaissent une bande de valence occupée par des électrons peu énergétiques intervenant dans les liaisons covalentes du cristal, et une bande de conduction occupée par des électrons plus énergétiques délocalisés dans tout le matériau. Comme dans un métal, ces électrons dits libres peuvent être animés d’un mouvement d’ensemble lorsqu’un champ électrique est appliqué (conduction électrique). E E bande de conduction E bande de conduction bande de conduction Eg bande de valence Eg bande de valence bande de valence Métal Semiconducteur Isolant Figure 1 – Schématisation du diagramme de bandes d’un métal, d’un semi-conducteur et d’un isolant. Dans le cas d’un métal, la bande de conduction chevauche la bande de valence et est facilement accessible et occupée par les électrons (Fig. 1). Dans le cas d’un isolant ou d’un semi-conducteur, apparait une bande interdite, ensemble de valeurs d’énergie inaccessibles aux électrons. La largeur de cette bande interdite est appelée énergie de gap. L’énergie de gap des isolants est grande (∼ 5 − 10 eV) rendant la bande de conduction quasiment inaccessible et inoccupée aux températures raisonnables. Dans le cas des semi-conducteurs, l’énergie de gap modérée (∼ 1 eV et variable d’un matériau à l’autre) rend plus probable le transfert d’électrons de la bande de valence vers la bande de conduction par un apport énergétique (d’origine thermique, optique, électrique) raisonnable. La rupture d’une liaison covalente entraine donc la création d’un électron libre mais aussi celle d’un trou, associé au défaut d’électron dans la liaison ; on parle dès lors de paires électrons-trous (Fig. 2). Les trous se comportent comme des particules de charge +e participant, comme les électrons libres, à la conduction électrique (voir Section 4). e- libre Si Si e- de valence Si Si Si Si Si Si Si trou Si noyau et e- de coeur Figure 2 – Création d’une paire électron-trou. –1– Phénomènes de Transport - Approche Documentaire : Conduction dans les semi-conducteurs 2 Densité de porteurs dans un semi-conducteur intrinsèque La statistique de Fermi-Dirac permet d’estimer les densités n d’électrons de conduction et p de trous à température T donnée. Pour un semi-conducteur pur (intrinsèque), on définit ni la concentration intrinsèque en porteurs comme : n = p = ni = AT 3/2 Eg exp − kT où A est une constante propre au matériau, Eg l’énergie de gap et k la constante de Boltzmann. L’augmentation de ni avec T traduit le fait que plus la température est élevée plus un électron a de chance de posséder une énergie suffisante pour appartenir à la bande de conduction. Ainsi pour le silicium à 300 K, on a ni ≈ 1,5.1010 cm−3 à comparer avec la densité électronique d’un bon conducteur métallique (n ∼ 1023 cm−3 ). 3 Dopage d’un semi-conducteur Le dopage consiste à introduire des atomes donneurs ou accepteurs d’électrons dans un substrat de semiconducteur intrinsèque afin d’en modifier les propriétés conductrices. Ces atomes viennent s’insérer dans le réseau cristallin par substitution. Comme les dopants sont introduits en quantité faible (devant le nombre d’atomes du substrat initial), on parlera d’impuretés. On réalise ainsi un semi-conducteur extrinsèque dopé N par ajout de donneurs, comme le phosphore P dans le silicium ; l’ionisation des impuretés introduit ainsi un excès d’électrons libres. De manière analogue, les semiconducteurs dopés P sont obtenus par introduction d’accepteurs d’électrons. Par exemple, l’atome de Bore possédant trois électrons de valence et une lacune est susceptible de capturer un électron intervenant dans une liaison covalente Si-Si, créant ainsi un trou libre dans la bande de valence du matériau (Fig. 3). Si Si Si Si Si Si trou Si e- libre Si P+ Si Si Si B- Si Si Si Si Si Si Si Si Figure 3 – Création d’un porteur libre par ionisation d’une impureté. Le dopage permet ainsi de contrôler le type de porteurs majoritaires et d’augmenter considérablement la densité de charges libres (et donc la conductivité du matériau) en choisissant une concentration en donneurs ND ou en accepteurs NA grande devant ni . Aux températures usuelles, les impuretés sont très majoritairement ionisées et on a n ≈ ND ou p ≈ NA . La conductivité est dès lors contrôlée par la concentration de dopant. Notons enfin que la loi d’action des masses impose dans le semi-conducteur, quel que soit le dopage : n × p = n2i –2– Phénomènes de Transport - Approche Documentaire : Conduction dans les semi-conducteurs 4 Conduction dans un semi-conducteur Comme signalé plus haut, dans un semi-conducteur la conduction est assurée par les électrons libres et les trous. Le déplacement des trous se fait dans le sens opposé à celui des électrons (Fig. 4). mouvement d'ensemble d'ee- libre Si Si Si Si Si Si saut d'un ede valence vers un trou déplacement apparent du trou Si Si mouvement d'ensemble de trous champ électrique E Figure 4 – Schématisation du déplacement des trous et des électrons libres lorsqu’un champ électrique est appliqué. Mobilité des porteurs de charge Dans le cadre du modèle de Drude, on assimile les porteurs en interaction avec le cristal à des particules classique de masse effective m∗ subissant des séries de vols libres entrecoupées de collisions. La vitesse d’ensemble v est alors liée au champ électrique E par l’équation classique : dv v = qE − m∗ dt τ où τ est la durée moyenne entre deux collisions. On peut dès lors introduire la mobilité du porteur en régime stationnaire définie comme le rapport entre norme de la vitesse et intensité du champ µ = ||v||/||E|| et s’exprimant : m∗ |q|τ m∗ La mobilité est majoritairement affectée par deux types de collisions que subissent les porteurs de charge : — les interactions de type coulombienne avec les impuretés ionisées ; celles-ci sont prédominantes à basse température ; la probabilité de collision diminue quand la vitesse quadratique des porteurs et donc la température augmentent ; — les interactions avec le réseau cristallin ; elles sont d’autant plus probables que les porteurs sont énergétiques ; l’influence de cette interaction croit donc avec la température. La masse effective et donc la mobilité des trous et électrons varient également fortement d’un matériau à l’autre : par exemple, la mobilité électronique à 300 K et à faible dopage est d’environ 1400 cm2 .V−1 .s−1 dans le silicium et de 40000 cm2 .V−1 .s−1 dans l’arséniure d’indium InAs, alliage plus "moderne". µ= Conductivité La densité de courant peut s’écrire en régime stationnaire, en additionnant les contributions des électrons et des trous (auxquels les indices n et p de l’expression suivante font référence) : j = jn + jp = −envn + epvp = (enµn + epµp )E On en déduit la conductivité du semi-conducteur : σ = e(nµn + pµp ) –3– Phénomènes de Transport - Approche Documentaire : Conduction dans les semi-conducteurs 5 Quelques figures concernant le silicium NB : Les courbes des figures ci-dessous ne correspondent pas à des relevés expérimentaux mais sont la représentation graphique d’expressions phénoménologiques ou semi-empiriques relatives au transport dans le silicium. (a) (b) Figure 5 – Mobilité des électrons (a) et des trous (b) en fonction de la densité de dopants et pour différentes températures [1, 2]. Figure 6 – Résistivité du silicium dopé en fonction de la concentration en impuretés [3]. –4– Phénomènes de Transport - Approche Documentaire : Conduction dans les semi-conducteurs 6 . 1 Ca ier Orift 500 T(K) 300 J( 10 11 r-"1:' , t 200 100 75 , I I 10 I 16 .§ I 10 : I I ...... 10'" ............ I ' 1.0 , c: " I '\ I, ' " ' '.' , 0.1 I I , I Ilj I Figure 5.6 1Eleclron concenlration and conductivity versus io\'crse remperalure for .o;ilicon. Figure 7 – Densité d’électrons libres et conductivité du silicium dopé N (ND = 1015 cm−3 ) en fonction de la fAfter Sr. ' " 12}. ) température [4]. varies 107with temperature in this range. At higher temperatures. the intrinsic carrier concentration increases and begins to dominate the electron concentration as well as the v (cm/s) conductivity. In the lower temperature range, freeze-oUi begins to occur; the electron concentration and conductivity decrease with decreasing temperarure. 106 Objective F.XAMPLE To dc<cnrune the doping concentration and major,ty carrier mubility give n the type and cuodll(;tivity of a compensated senliconductor. électrons 5 Considcr 10 compensated n-type silicon at T = 300 K. with atrous cOnd\IClivity of ( f ;;:: 16 (Sl-cm)- I and al1 tlcceptor doping conc.:entratioll of 10 17 <!m-:'> _ Determine the donor COllcemration 2and tbe electron mO3bility. 4 5 6 10 • SoIutlon For n-t)'pe silicon at 'r 10 10 E (V/cm) 10 10 = 300 K, we <!3n assume complete ionization: thereforc the conductiv- Figure 8 – Vitesse d’ensemble des» porteurs de by charge en fonction de l’intensité du champ électrique dans le ity. a'isuming Nil - N" ";. is given silicium intrinsèque [5, 6]. Références • We have tbal • [1] S. S. Li and W. R. Thurber Solid State Electronics, vol. 20, no. 7, p. 609, 1977. is a function of the.Electronics, ionized impu vol. rity co ncentratioll, we cal1 use Figure 5.3 along [2] J. M. DorkelSince andmobility P. Leturcq Solid State 24, no. 9, p. 821, 1981. with trial and error to detennine 1"1\ and NJ . I';o( example, if we choose Nd 2 x IOli. (hen [3] S. M. Sze, Physics of Semiconductor Devices. Wiley Eastern Limited, 1981. = [4] D. A. Neamen, Semiconductor Physics And Devices, Basic Principles. McGraw-Hill Education, 1992. [5] S. M. Sze, Semiconductor Devices. John Wiley and Sons, 1985. [6] M. S. Tyagi, Introduction to Semiconductors Materials and Devices. John Wiley and Sons, 1991. –5– DM n◦ 3 Figure 1: Resistivité du cuivre en fonction de la température Questions On rappelle que la résistivité est définie comme l’inverse de la conductivité. 1. Décrire les différents types de porteurs de charge dans un semi-conducteur (nom, charge). 2. Justifier de l’intérêt du dopage en estimant et comparant les conductivités à 300 K des matériaux suivants : — Silicium intrinsèque (idéal, impossible à obtenir en pratique) — Silicum présentant une concentration résiduelle en bore NA = 3.1013 cm−3 — Silicium dopé N avec ND = 1016 cm−3 — Silicium dopé P avec NA = 1016 cm−3 3. Justifier qualitativement l’évolution de la densité de porteurs n et de la conductivité σ avec la température (Fig.7). Comparer avec le comportement d’un métal comme le cuivre (Figure ci-dessus). On sera amené à distinguer les cas : T<150 K, 150 K<T<500 K, et T>500 K. 7 PSI, lycée de l’Essouriau, 2016/2017 7 Tournez la page S.V.P. 8 9 Tournez la page S.V.P.