Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Propriétés
des
Déterminants

Introduction
Nous présentons dans ce diaporama les propriétés des déterminants.
Dans chaque cas, l’idée de la preuve est illustrée à l’aide de
déterminants d’ordre 3, mais il est facile de voir comment on peut
généraliser ces illustrations pour en faire une démonstration.
Nous utiliserons ces propriétés pour simplifier le calcul d’un
déterminant en faisant apparaître des zéros sur une ligne ou une
colonne. Elles nous serviront également pour démontrer la méthode de
Cramer pour un système de trois équations à trois inconnues. Cette
démonstration est facilement généralisable sous la forme que nous
présenterons.
Ces propriétés nous permettront également de comprendre pourquoi
le produit d’une matrice carrée Aet de son adjointe donne une
matrice scalaire dont le scalaire est det A.

Propriétés du déterminant
Propriété 1
a11
a21
a31
0
0
0
Si tous les éléments d’une ligne (ou d’une colonne) d’une matrice
carrée Asont nuls, alors :
det A= 0 C12 + 0 C22 + 0 C32 = 0 , par le développement de Laplace.
a13
a23
a33
Soit A=
En développant le déterminant selon la colonne de zéros, on obtient :
On constate facilement qu’il suffit de procéder de la même façon,
quelle que soit la dimension de la matrice carrée, pour montrer que
le déterminant d’une matrice ayant une ligne (ou une colonne de
zéros) est nul.
.
det A= 0
Idée de la preuve
S

Propriétés du déterminant
Propriété 2
a11
a21
a31
a12
a22
a32
Soit A,une matrice carrée et Bobtenue en multipliant les éléments
d’une ligne ou d’une colonne de Apar un nombre réel k. Alors :
det B= k det A
det B= ka13 C13 + ka23 C23 + ka33 C33
a13
a23
a33
Soit A=
En développant le déterminant selon la colonne qui a été multipliée par
k, on obtient :
a11
a21
a31
a12
a22
a32
ka13
ka23
ka33
et B= .
Idée de la preuve
S
= k (a13C13 + a23 C23 + a33 C33)
, par le développement de Laplace
= k det A.
, par mise en évidence

Exemple 3.3.1
Tous les éléments de la première ligne ont 1/5 comme facteur, ceux de
la deuxième ligne ont tous 4 comme facteur et ceux de la troisième
ligne ont 1/2 comme facteur. On a donc :
Le déterminant de cette matrice est –2/5.
Calculer le déterminant de la matrice A= .
1/5
4
7/2
1/5
8
3/2
2/5
16
5/2 S
1/5
4
7/2
1/5
8
3/2
2/5
16
5/2
det A=
1
1
7
1
2
3
2
4
5
= 1
5 1
2
4 
= 2
5 1 –1 + 2
2
3
4
5
1
7
4
5
1
7
2
3
= 2
5 [1(10 –12) –1(5 –28) + 2(3 –14)] = 2
5 [–2 + 23 –22] = –2
5