Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Propriétés
des
Déterminants
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Nous présentons dans ce diaporama les propriétés des déterminants.
Dans chaque cas, l’idée de la preuve est illustrée à l’aide de
déterminants d’ordre 3, mais il est facile de voir comment on peut
généraliser ces illustrations pour en faire une démonstration.
Nous utiliserons ces propriétés pour simplifier le calcul d’un
déterminant en faisant apparaître des zéros sur une ligne ou une
colonne. Elles nous serviront également pour démontrer la méthode de
Cramer pour un système de trois équations à trois inconnues. Cette
démonstration est facilement généralisable sous la forme que nous
présenterons.
Ces propriétés nous permettront également de comprendre pourquoi
le produit d’une matrice carrée A et de son adjointe donne une
matrice scalaire dont le scalaire est det A.
Propriétés du déterminant
Propriété 1
Si tous les éléments d’une ligne (ou d’une colonne) d’une matrice
carrée A sont nuls, alors :
S
det A = 0
Idée de la preuve
a11 0
Soit A =
a21
0
a31
0
a13
a23 .
a33
En développant le déterminant selon la colonne de zéros, on obtient :
det A = 0 C12 + 0 C22 + 0 C32 = 0 , par le développement de Laplace.
On constate facilement qu’il suffit de procéder de la même façon,
quelle que soit la dimension de la matrice carrée, pour montrer que
le déterminant d’une matrice ayant une ligne (ou une colonne de
zéros) est nul.
Propriétés du déterminant
Propriété 2
Soit A, une matrice carrée et B obtenue en multipliant les éléments
d’une ligne ou d’une colonne de A par un nombre réel k. Alors :
S
det B = k det A
Idée de la preuve
a11 a12
a13
a11 a12
a21 a22
a23
a31 a32
a33
et B = a21 a22
a31 a32
Soit A =
ka13
ka23 .
ka33
En développant le déterminant selon la colonne qui a été multipliée par
k, on obtient :
det B = ka13 C13 + ka23 C23 + ka33 C33 , par le développement de Laplace
= k (a13C13 + a23 C23 + a33 C33) , par mise en évidence
= k det A.
Exemple 3.3.1
Calculer le déterminant de la matrice A =
1/5
1/5
2/5
4
8
16
.
S
7/2 3/2 5/2
Tous les éléments de la première ligne ont 1/5 comme facteur, ceux de
la deuxième ligne ont tous 4 comme facteur et ceux de la troisième
ligne ont 1/2 comme facteur. On a donc :
1/5
1/5
4
8
7/2
3/2
det A =
2
= 5
1
2
4
3
5
1
2/5
1
1


4
1
16 =
5
2
7
5/2
–1
1
4
7
5
+2
1
2
7
3
1
2
2
4
3
5
2
–2
2
= 5 [1(10 – 12) – 1(5 – 28) + 2(3 – 14)] = 5 [–2 + 23 – 22] = 5
Le déterminant de cette matrice est –2/5.
Propriétés du déterminant
Propriété 3
Soit A, une matrice carrée d’ordre n, et k, un nombre réel. Alors :
S
det (kA) = kn det A
Idée de la preuve
a11 a12
Soit A =
a21 a22
a31 a32
a23 , alors kA = ka21 ka22 ka23 .
ka31 ka32 ka33
a33
ka
a12
ka
a13
a22
ka21 ka22 ka23 = k32 a21 ka
a31 ka
a32
ka31 ka32 ka33
ka
a23
ka11 ka12 ka13
det kA =
ka11 ka12 ka13
a13
a11
= k3 det A
ka
a33
De la même façon, on montre que pour un déterminant d’ordre n,
on a :
det (kA) = kn det A
Propriétés du déterminant
Propriété 4
Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si une matrice B est obtenue
en permutant deux colonnes (ou deux lignes) consécutives de la
matrice A, alors :
det B = – det A
S
Idée de la preuve
a
b c
a c b
e f
Soit A = d
et B = d f e .
g
h i
g i h
a c b
f e = –c(dh – ge) + f(ah – gb) – i(ae – db)
det B = d
g
i h = –[c(dh – ge) – f(ah – gb) + i(ae – db)]
=–
a
d
g
b
e
h
c
f
i
= – det A
S
S
Propriété 5
Propriétés du déterminant
Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si une matrice B est obtenue en
permutant deux colonnes (ou deux lignes) quelconques de la matrice
A, alors :
det B = – det A
S
Idée de la preuve
Supposons
que l’on
veutcolonnes
permuter(ou
la première
et la quatrième
colonne
En
permutant
deux
deux lignes)
consécutives,
on
du déterminant
suivant :par –1. On a donc :
multiplie
le déterminant
= –1
= (–1)5
= (–1)2
= (–1)3
= (–1)4
Chaque fois que l’on veut changer deux colonnes (ou
deux lignes) de position, le nombre de permutations
est 2k + 1, où k est le nombre de colonnes (ou de
lignes) entre celles que l’on veut permuter.
S
On multiplie donc le déterminant par (–1)2k+1 = –1, ce qui revient à
changer le signe du déterminant et det B = – det A.
Propriétés du déterminant
Propriété 6
Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si deux colonnes ou deux
lignes de A sont identiques, alors :
S
det (A) = 0
Idée de la preuve
b
a b
On peut, de lefaçon
plus simple,
tenirla
Développons
déterminant
selon
e
e .
Soit A = d
le raisonnement
première
colonne. suivant :
g h h
b
a b
Soit A une matrice carrée ayant deux colonnes (ou deux lignes)
e
e
det A = dLa permutation
= a(eh
– he)
– d(bh
– hb) +(ou
g(bede– ces
eb) =deux
0
identiques.
de ces
deux
colonnes
g heffeth de changer le signe du déterminant. ParS
lignes) a pour
ailleurs, cette permutation donne le même déterminant. On doit
Dans une matrice de dimension n, en choisissant judicieusement la
donc avoir :
colonne ou la ligne du développement, on parvient toujours à des
A = – det
d’oùayant
2 det A
= 0 colonnes
et det A =(ou
0 deux lignes)
déterminantsdet
d’ordre
plusA,petit
deux
identiques.
Propriétés du déterminant
Propriété 7
Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si deux colonnes ou deux
lignes de A sont proportionnelles, alors :
S
det (A) = 0
Idée de la preuve
a b
Soit A =
det A =
kb
d
e
ke . Par les propriétés 2 et 6 , on a :
g
h
kh
a
b
kb
d
e
ke
g
h kh
=k
a
b
b
d
e
e
g
h
h
= k 0 = 0
Propriétés du déterminant
Propriété 8
Si chaque élément d’une colonne où d’une ligne d’une matrice
carrée A est la somme de deux termes, alors le déterminant de A
peut être écrit comme une somme de deux déterminants.
S
Idée de la preuve
a b c+r
d
e
a
b
a
– (f + s)
det A = d e f + s = (c + r)
+ (i + u)
g h
g h
d
g h i+u
b
e
S
En distribuant :
=c
d
e
–f
g h
a
g h
d e
f
g h
i
+i
a
b
d
e
a b r
a b c
=
b
+
d e s
g h u
+r
d
e
g h
–s
a
b
g h
+u
a
b
d
e
Le déterminant de A peut donc
être écrit comme une somme de
deux déterminants.
Propriétés du déterminant
Propriété 9
Si B est une matrice carrée d’ordre n formée de tous les éléments
d’une matrice A, à l’exception d’une colonne (ou d’une ligne) à
laquelle on a ajouté un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre
ligne), alors det B = det A.
S
Idée de la preuve
a b
Soit A = d e
g
det B =
h
c
f
et B =
i
a b + ka
c
d
e + kd
f
g h + kg
i
=
=
a
b + ka
c
d
e + kd
f .
g
h + kg
i
a
b
c
d
e
f
g
a
h
b
i
c
d
e
f
g
h
i
+
S
a
ka
b
d
kd
e
g
kg
h
+ 0 = det A
S
Propriétés du déterminant
Propriété 10
Si A est une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) d’ordre
n. Alors, le déterminant de A est le produit des éléments de sa
diagonale principale. On écrit symboliquement :
det A = a11 a22 a33 … ann
S
Idée de la preuve
a11 a12 a13
Soit A =
det A =
0 a22 a23 . En développant le déterminant selon la
première colonne, on obtient :
0 0 a33
a11
a12
a13
0
a22
a23
0
0
a33
= a11
a22 a23
0
a33
= a11 (a22 a33 – 0) = a11 a22 a33
Procédure
Calcul et propriétés
pour calculer un déterminant à l’aide des propriétés
1. Repérer la colonne (ou la ligne) où il est plus simple de faire
apparaître des zéros.
2. Faire apparaître les zéros en ajoutant à une colonne (ou à une
ligne) un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne).
Répéter le procédé au plus grand nombre de colonnes (ou de
lignes) :
Ci  Ci + kCj , où k  R ou Li  Li + kLj , où k  R
3. Développer le déterminant selon la colonne (ou la ligne)
contenant les zéros.
4. Si nécessaire, refaire les opérations dans le déterminant d’ordre
n – 1.
Exemple 3.3.4
4 2 –2 –5
4 1 –2 3
Soit A =
. Utiliser les propriétés pour calculer det A.
5 3 –5 6
S
2 –2 5 –4
Par
de
faisons
apparaître
des zéros
zéros sur
sur la
la
Développons
le déterminant
selon
la deuxième
ligne.des
Par des
des opérations
opérations
de colonnes,
lignes,
faisons
apparaître
deuxième
en en
considérant
l’élément
a22élément
comme apivot.
deuxième ligne
colonne
considérant
le nouvel
22 comme pivot.
2
4 2 –2 –5
C1 – 4C2 –4
0 1
4 1 –2 3
C2
det A =
=
3
5 3 –5 6
C3 + 2C2 –7
2 –2 5 –4
C4 – 3C2 10 –2
–4
= 1  –7
10
2 –11
L1 – 2L2 10
1 –3 = L2
–7
17
1
2
L3 – L2
2 –11
0
0
1 –3
1
2
S
S
0 –5
1 –3 = 1 (50 + 85) = 135
0 5
Remarque
Lorsqu’on fait apparaître des zéros dans un déterminant, il faut
appliquer correctement la propriété 9.
On doit faire apparaître les zéros en ajoutant à une colonne (ou à une
ligne) un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne).
Ci  1Ci + kCj , où k  R ou Li  1Li + kLj , où k  R
Dans cette écriture symbolique, le coefficient de la colonne ou de la
ligne modifiée est 1.
Il ne faut pas multiplier une colonne (ou une ligne) par une constante
avant de lui additionner un multiple d’une autre colonne (ou d’une
autre ligne) car alors on multiplie la valeur du déterminant par cette
constante.
Ainsi, on ne peut faire une opération du genre L2  2L2 – 3L1,
comme on faisait sur les matrices car cela a pour effet de multiplier
la ligne, donc le déterminant, par 2.
Exercice
3 1 –2 4
1 1 4 –5
Soit A =
. Utiliser les propriétés pour calculer det A.
2 –3 2 1
S
4 –2 2 2
Par des
Développons
des opérations
opérations
le déterminant
de
de colonnes,
lignes,
selon
faisons
faisons
la troisième
apparaître
apparaître
colonne.
des
des zéros
zéros sur
sur la
troisième ligne
colonne
en en
considérant
considérant
le nouvel
l’élément
élément
a33 comme
a33 comme
pivot.pivot.
5 –2
3 1 –2 4
L1 + L3
7
1 1 4 –5
L2 – 2L3 –3
det A =
=
2 –3
2 –3 2 1
L3
2 1
4 –2 2 2
L4 – L3
0
0
2
5
–7
1
0
1
S
S
C1 – 2C2
5 –2 5
–5 –7 5
= 2  –3 7 –7 = C2 – C3 2  11 14 –7 = 2 (–70 + 77) = 14
2 1 1
0 0 1
C3
Théorème
Méthode de Cramer
Soit un système de trois équations à trois inconnues :
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
Ce système admet une solution unique (x1; x2; x3) = (k1; k2; k3) si et
seulement si le déterminant de la matrice des coefficients, det A, est
différent de 0 et cette solution est :
k1 =
b1 a12 a13
a11 b1 a13
a11 a12
b1
b2 a22 a23
a21 b2 a23
a21 a22
b2
b3 a32 a33
a31 b3 a33
a31 a32
b3
a11 a12 a13
, k2 =
a11 a12 a13
et k3 =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a21 a22 a23
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a31 a32 a33
a31 a32 a33
Démonstration
Méthode de Cramer
Supposons qu’il y a une solution (k1; k2; k3) au système; cela signifie
que les trois énoncés suivants sont vrais :
S
a11k1 + a12k2 + a13k3 = b1
a21k1 + a22k2 + a23k3 = b2
S
a31k1 + a32k2 + a33k3 = b3
Considérons cette hypothèse.
L’hypothèse
permet
2effectuer
on
apeut
: d’écrire
: l’opération
Parplus,
De
la propriété
on peut
9,
onalors
l’opération
effectuer
: C1  C1:+Ck13C
3 :C1+ k2C2
b1 a12 a13
:
b2 a22 a23
ba111
+12 aa12
ak1322 +aa13
a13
11 ka
11a12
12
12
13k3 a13a12
12
b3 a32 a33
+
ak2322 +aa.23
a22≠ 0,aon
k1 det A = ba221
Sikdet
21 ka
1a
122
22 aa
22
22
22
23
3 a23A
23 a : k1 =
22
a11 a12 a13
ba331
+
ak3322 +aa33
a33
31 ka
1a
132
32 aa32
32
3233k3a33a32
32
a21 a22 a23
On procède de façon analogue pour k2 et k3.
a31 a32 a33
S
S
Méthode de Cramer
Procédure
pour résoudre un système de n équations linéaires à n inconnues par
la méthode de Cramer
1. Calculer le déterminant de la matrice des coefficients pour
s’assurer que le système a une solution unique : det A ≠ 0.
2. Construire et calculer le déterminant associé à la ie inconnue en
substituant la colonne des constantes à la colonne des coefficients
de cette inconnue : det Ai , où i est la colonne associée à la ie
inconnue (i = 1, ..., n).
3. Calculer le quotient du déterminant associé à l’inconnue sur le
déterminant de la matrice des coefficients : xi = (det Ai)/(det A).
4. Répéter les étapes 2 et 3 pour chacune des inconnues du système.
Exemple 3.3.6
Résoudre le système d’équations :
2x1 – 3x2 + 5x3 = –8
4x1 – 2x2 + x3 = 12
x1 + 5x2 – x3 = –3
S
Calculons d’abord le déterminant de la matrice des coefficients.
2
det A = 4
1
–3 5
L1 – 2L3 0 –13 7
–2 1 = L2 – 4L3 0 –22 5 = 1 (–65 +154) = 89
5 –1
1
5 –1
L3
S
Le déterminant est non nul, la solution est unique et la méthode de
Cramer est utilisable.
–8 –3 5
2 –8 5
2 –3 –8
12 –2 1
4 12 1
4 –2 12
–3 5 –1
1 –3 –1
1
5 –3
267
–178
–356
=3
= –2
= –4
x1 =
, x2 =
et x3 =
89 89
89 89
89 89
S
La solution est (3; –2; –4).
Exercice
Résoudre le système d’équations :
3x1 + 2x2 + 4x3 = 31
x1 – 3x2 + 2x3 = 37
2x1 + 6x2 + 3x3 = –5
S
Calculons d’abord le déterminant de la matrice des coefficients.
3
det A = 1
2
2
–3
6
4
L1 – 3L2 0 11 –2
2 = L2
1 –3 2 = –1 (–11 + 24) = –13
3
L3 – 2L2 0 12 –1
S
Le déterminant est non nul, la solution est unique et la méthode de
Cramer est utilisable.
31 2 4
3 31 4
3 –2 31
37 –3 2
1 37 2
1 –3 37
–5
278 –5 3
2
6 –5
–65 6 3
–91
=5
= –6
=7
x1 =
, x2 =
et x3 =
–13–13
–13–13
–13 –13
S
La solution est (5; –6; 7).
a
Soit la matrice A = d
g
a
d
g
b c
e f •
h i
Matrice adjointe
b c
e f . Déterminer
Calculer A •adj
cof
adjA.
A.
A.
h i
e f
h i
db cf
––
gh i
db ce
ge hf
bd cf
– g i
h i
a c
g i
aa cb
––
gd hf
bd ce
eg hf
aa cb
––
dg hf
a b
d e
=
S
c11A c012 c013
det
c021 det
c22A c023
c031
c032 det
c33A
Le
A) •AAest
donne
la mêmescalaire
matrice.
ce cas,estlesle
Le produit
produit (adj
A • adj
une matrice
et Dans
ce scalaire
cfcci la
adaagaproduits
b ebbhb csont
éléments
de bebla
diagonale
sont
la
somme
des
dessomme
éléments
déterminant
de
A.
Les
éléments
de
la
diagonale
des
e ef ccff
d adad f ccff
d adade bebe
===correspondante
de
correspondante
par
leurs
cofacteurs
etleurs
les
==
0det
== a–g
–+b– h
ebh
+
fi ligne
ddgdad e ehbee f fcfifrespectifs
+
0
cla
gades
–
c
=
0
–gda–d
=
i
det
A
S
produits
éléments
de
la
par
–
e
+
c
A
cc11
=colonne
=
det
A
S
23
21
31
13
12
33
22
32
S
h
i
g
i
g
h
h
i
g
i
g
h
e
f
d
f
d
e
e
f
d
f
d
e
h idiagonale
g isont la gsomme
h
S
éléments
hors
desgdiagonale
gdgéléments
cofacteurs
respectifs et les
éléments hors
sont lacolonne
somme
a hhheb i ifci d’une
par
cofacteurs
d’une
colonne.
desles
éléments
d’une
ligneautre
par les
cofacteurs d’une autre ligne.
S
Conclusion
Les propriétés du déterminant permettent d’en simplifier le calcul en
faisant apparaître des zéros sur une ligne ou une colonne et en
ramenant le calcul à celui d’un déterminant d’ordre moins élevé.
En utilisant ces propriétés, on peut facilement généraliser la méthode
de Cramer à des systèmes de n équations linéaires à n inconnues. Un
tel système a une solution unique si et seulement si le déterminant de
la matrice des coefficients est non nul.
Ces propriétés permettent également de comprendre pourquoi le
produit d’une matrice carrée A et de son adjointe donne une matrice
scalaire dont le scalaire est det A. Cela donne une des méthodes pour
trouver l’inverse d’une matrice que nous présenterons au prochain
chapitre.
Lecture
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences de la nature, section 3.3, p. 69 à 76.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences humaines, section 3.3, p. 69 à 76.
Exercices
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences de la nature, section 3.4, p. 77 et 78.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences humaines, section 3.4, p. 77 et 78.