Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Déterminants

Introduction
Il est souvent intéressant d’employer des lettres au lieu des nombres
lorsqu’on applique une procédure. Cela permet de découvrir des
aspects qui sont cachés par les nombres. C’est ce que nous nous
proposons de faire pour introduire la notion de déterminant et la
méthode de Cramer pour un système de deux équations linéaires à
deux inconnues.
Nous allons d’abord résoudre un tel système dont les coefficients et les
constantes sont des lettres en utilisant la méthode de Gauss. Les
expressions obtenues par cette méthode vont nous permettre de
présenter la notion de déterminant d’ordre 2et la méthode de
résolution de Cramer. Par la suite, nous verrons comment généraliser
la notion de déterminant.

Mise en situation
Considérons le système d’équations :
Résolvons par la méthode de Gauss.
ax +by =e
cx +dy =f
a b e
c d f
L1
≈
a b e
0ad –cb af –ce
aL2 –cL1
Si ad –cb ≠0, on peut isoler yet, en substituant dans la première
équation, on trouve : ed –fb
ad –cb
af –ce
ad –cb
x = et y =
Le dénominateur de chacune de ces expressions est ad –cb et cette
différence de produits est formée des coefficients du système
d’équations.a b
c d = ad –cb
Le nombre obtenu en effectuant le calcul de cette différence de
produits est appelé déterminant de la matrice Ades coefficients.

Déterminant d’ordre 2
On remarquera que la matrice est notée avec des parenthèses alors
que le déterminant est noté avec des barres verticales.
DÉFINITION
a11
a21
a12
a22
Soit A=, une matrice carrée d’ordre 2.
Le déterminant de la matrice Aest défini par :
a11
a21
a12
a22
det A== a11a22 –a21a12
Notation

Mise en situation (suite)
On constate facilement que le numérateur de chacune
des expressions donnant la solution du système
d’équations linéaires ci-contre peut également
s’exprimer comme un déterminant.
ax +by =e
cx +dy =f
Si ad –cb ≠0, on peut trouver la solution d’un système de deux
équations à deux inconnues en calculant ces déterminants.
Cette méthode de résolution est appelée Méthode de Cramer en
hommage au mathématicien Gabriel Cramer (voir note historique
p.77 du volume).
e b
f d
a b
c d
a b
c d
a e
c f
ed –fb
ad –cb
x = =af –ce
ad –cb
et y = =
Si ad –cb = 0, cette méthode n’est pas utilisable et il faut prendre la
méthode de Gauss-Jordan.