Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Déterminants
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Il est souvent intéressant d’employer des lettres au lieu des nombres
lorsqu’on applique une procédure. Cela permet de découvrir des
aspects qui sont cachés par les nombres. C’est ce que nous nous
proposons de faire pour introduire la notion de déterminant et la
méthode de Cramer pour un système de deux équations linéaires à
deux inconnues.
Nous allons d’abord résoudre un tel système dont les coefficients et les
constantes sont des lettres en utilisant la méthode de Gauss. Les
expressions obtenues par cette méthode vont nous permettre de
présenter la notion de déterminant d’ordre 2 et la méthode de
résolution de Cramer. Par la suite, nous verrons comment généraliser
la notion de déterminant.
Mise en situation
Considérons le système d’équations :
ax + by = e
Résolvons par la méthode de Gauss.
cx + dy = f
a
b
c
d
L1
≈
aL2 – cL1
f
e
a
0
b
e
ad – cb af – ce
Si ad – cb ≠ 0, on peut isoler y et, en substituant dans la première
ed – fb
af – ce
et y =
ad – cb
ad – cb
Le dénominateur de chacune de ces expressions est ad – cb et cette
différence de produits est formée des coefficients du système
d’équations.
a b
  = ad – cb
c d
équation, on trouve :
x=
Le nombre obtenu en effectuant le calcul de cette différence de
produits est appelé déterminant de la matrice A des coefficients.
Déterminant d’ordre 2
DÉFINITION
Soit A =
a11 a12
a21 a22 , une matrice carrée d’ordre 2.
Le déterminant de la matrice A est défini par :
det A =
a11 a12
 
a21 a22
= a11a22 – a21a12
Notation
On remarquera que la matrice est notée avec des parenthèses alors
que le déterminant est noté avec des barres verticales.
Mise en situation (suite)
ax + by = e
On constate facilement que le numérateur de chacune
des expressions donnant la solution du système
cx + dy = f
d’équations linéaires ci-contre peut également
s’exprimer comme un déterminant.
a e
e b
c f
f d
ed – fb
af – ce
=
et y =
=
x=
ad – cb
ad
–
cb
a b
a b
c d
c d
Si ad – cb ≠ 0, on peut trouver la solution d’un système de deux
équations à deux inconnues en calculant ces déterminants.
Si ad – cb = 0, cette méthode n’est pas utilisable et il faut prendre la
méthode de Gauss-Jordan.
Cette méthode de résolution est appelée Méthode de Cramer en
hommage au mathématicien Gabriel Cramer (voir note historique
p.77 du volume).
Procédure
Méthode de Cramer
pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues par la
méthode de Cramer.
1. Calculer le déterminant de la matrice des coefficients pour
s’assurer que le système a une solution unique : det A ≠ 0, où A
est la matrice des coefficients.
2. Construire et calculer le déterminant associé à la ie inconnue en
substituant la colonne des constantes à la colonne des coefficients
de cette inconnue : det Ai, où i = 1, 2.
3. Calculer le quotient du déterminant associé à l’inconnue sur le
déterminant de la matrice des coefficients : xi = (det Ai)/(det A).
4. Répéter les étapes 2 et 3 pour la deuxième inconnue.
Exemple 3.1.2
Résoudre le système d’équations ci-contre par
la méthode de Cramer, si elle est utilisable.
Solution
Calculons d’abord le déterminant :
2 3
= 2 4 – 3 3 = 8 – 9 = –1 ≠ 0
3 4
2x + 3y = 5 (∆1)
3x + 4y = 8 (∆2)
Le déterminant est non nul, le système a donc une solution unique
et la méthode de Cramer est utilisable. On trouve alors :
x=
y=
5
8
3
4
2
3
2
3
3
4
5
8
2
3
3
4
La solution est donc (4; –1).
20 – 24
=4
=
–1
16 – 15
=
= –1
–1
∆2
∆1
(4; –1)
Exercice
Résoudre le système d’équations ci-contre par
la méthode de Cramer, si elle est utilisable.
Solution
Calculons d’abord le déterminant :
2 –5

= 2 (–6) – 3 (–5) = –12 + 15 = 3 ≠ 0
3 –6
2x – 5y = 5 (∆1)
3x – 6y = 9 (∆2)
S
Le déterminant est non nul, le système a donc une solution unique
et la méthode de Cramer est utilisable. On trouve alors :
5 –5
La solution est donc (5; 1).
9 –6
–30 + 45
=
=5
x=
3
2 –5
3 –6
2 5
(5; 1)
3 9
18 – 15
y=
=
=1
3
2 –5
∆1
∆2
3 –6
Mineur et cofacteur d’un élément
DÉFINITION
Soit
unecomment
matrice carrée
d’ordre
n ≥ 2.
PourA,voir
calculer
un déterminant
d’ordre plus grand que
Lenous
mineur
d’un
élément
aA
lematrice
déterminant
de lan sous-matrice
Aijen
.
2,
aurons
besoin
de quelques
définitions.
Le
cofacteur
d’un
élément
,lanoté
Cij , est
le produit
de1 son
mineur
ij aest
ij
On
appelle
sous-matrice
d’ordre
–
obtenue
i
+
j
ij est donnée par (–1)
La
signature
d’un
élément
aeij(–1)
.
i+ja
On
note
M
le
mineur
de
l’élément
.
e
par
sa
signature,
soit
:
C
=
M
.
ij
ij
supprimant la i ligne et ijla j colonne ijde la matrice A.
Exemple
5
Soit la matrice A =
–6
2 –3
4
7
Déterminer le
mineur
sous-matrice
dede
a12a.A
.. Déterminer
..
la cofacteur
signature
32
1223
8 –1 –4
1+2
En
éliminant
la
1 et la
on
a laéliminer
sous-matrice
: et2 de
La
signature
l’élément
a12
estest
= –1.
Le
cofacteur
de
l’élément
acolonne
de
son mineur
Pour
obtenirde
laligne
sous-matrice
A(–1)
, 2,
ilproduit
faut
la ligne
et sa
la
32
23le
signature,
colonne 3, cela
cela donne
donne ::
La signature
lorsque
–6 7d’un élément 5est–3positive
5 2 –6
7 i + j est pair et
3+2 M i ,+
5impair.
négative
lorsque
est
C
A32
= (–1)
mineur
A23est
= : M=12–1
= (35 – 18)= =24–17.
– 56 = –32.
12 =
32 =lej(–1)
8 –4
8 –4
–6 7 8 –1
S
SS
Déterminant d’ordre n
DÉFINITION
Le déterminant d’une matrice carrée d’ordre n est obtenu en
effectuant la somme des produits de chaque élément d’une ligne (ou
d’une colonne) quelconque par son cofacteur.
Procédure
pour calculer un déterminant par les cofacteurs.
1. Choisir une ligne ou une colonne pour développer le déterminant.
2. Multiplier chaque élément de la ligne ou de la colonne choisie par
son cofacteur (ne pas oublier la signature).
3. Faire la somme des produits obtenus.
Exemple 3.1.4
Soit la matrice A =
3 –2
2 –3
5 –1
1
4
2
Calculer det A, en développant selon la première
deuxièmeligne.
colonne.
det A =
3
2
–2
–3
5 –1
1
4 = –2C
3C22 12– +
1C1C
3C1112+–(–2)C
32 13
2
1+2 M + (–1)1+3 M
= 3 (–1)1+1
M
+
(–2)(–1)
11
13
= –2 (–1)3 M12 – 3(–1)4 M22 – 112(–1)5 M32
= 3 (–1)2 M11 + (–2)(–1)3 M12 + (–1)4 M13
2
4
3 1
3 1
4 + 1 2 –3
= 2 –3 4 –3 2
=3 5
2 +2 5 2 +1 2 4
5 –1
–1 2
5
2
= 3(–6
2(4 –+20)
= –=32
+ 10
= –25.
=
4) –+ 3(6
2(4 –– 5)
20)+1(12
+1(–2– +2)15)
–6––332
+ 13
= –25.
S
Exercice
Soit la matrice A =
2
4
2
1 –3
2 1
5 2
Calculer det A, en développant selon la deuxième ligne.
2 1 –3
1 –3
2 –3
2
1
det A = 4 2 1 = –4
+2
–1
5
2
2
2
2
5
2 5 2
= –4(2 + 15) + 2(4 + 6) – 1(10 – 2) = –56.
S
Calculer det A, en développant selon la troisième colonne.
S
det A =
2
4
2
1 –3
2 1
5 2
= –3
4
2
–1
2
1
+2
2
1
2 5
2
4
5
2
= –3(20 – 4) – 1(10 – 2) + 2(4 – 4) = –56.
Développement de Laplace
La signature des éléments d’une matrice carrée de
dimension 3 est donnée ci-contre.
Lorsque la signature d’un élément est négative, on
change le signe de son mineur pour obtenir son
cofacteur. Lorsque la signature est positive, on
conserve le même signe.
DÉFINITION
+
–
+
–
+
–
+
–
+
Le déterminant d’une matrice carrée A d’ordre n est défini
symboliquement de la façon suivante :
Pour un développement selon une ligne p quelconque :
det A = ap1Cp1 + ap2Cp2 + ... + apnCpn
Pour un développement selon une colonne r quelconque :
det A = a1rC1r + a2rC2r + ... + anrCnr
Cette définition symbolique est appelée développement de Laplace en
hommage à Pierre-Simon, marquis de Laplace (voir note p. 67).
Déterminant
Essayons de
on obtient toujours la même valeur quelle
c
a voir
b pourquoi
f
d développe
e
f selon dlaquelle
e
que soit la
ligne
ou
la
colonne
on
le
f =a
e
det A = d
–b
+c
déterminant. Pour ce faire, utilisons
des glettres
comme
éléments
et
i
g
h
i
h
i
g h
développons le déterminant selon la première ligne.
= a(ei – hf) – b(di – gf) + c(dh – ge)
= aei – ahf – bdi + bgf + cdh – cge, par distributivité;
S
Regroupons ces six termes autrement pour mettre en évidence les
éléments de la troisième ligne.
= bgf – cge – ahf + cdh + aei – bdi, par associativité et commutativité;
= g(bf – ce) – h(af – cd) + i(ae – bd), par distributivité;
a b c
b
c
a
c
a b
=g
f = det A
= d e
–h
+i
e
f
d
f
d e
i
g h
On voit que ce déterminant est formé de six produits. Dans chacun
de ces produits, il y a un élément de chaque ligne et un élément de
chaque colonne. Il y a donc seulement six produits possibles.
Déterminant d’ordre 4 (exemple 3.1.5)
2 1 –3
2 5 0
Calculer det A =
3 2 0
4 –5 2
= –3C13 + 0C23 + 0C33 + 2C43
2 5 –1
= –3 3 2 6
4 –5 8
2
–2 2
3
4
–1
6
8
Développons le déterminant
selon
S la troisième colonne, les
zéros faciliteront les calculs.
1 4
5 –1
2 6
= –3[2(46) – 3(35) + 4(32)] – 2[2(32) – 2(–2) + 3(–21)]
= –3[92 – 105 + 128] – 2[64 + 4 – 63] = – 355.
Le déterminant est donc – 355.
La définition de déterminant s’applique à toute matrice carrée
quelle que soit sa dimension.
Matrice des cofacteurs et matrice adjointe
DÉFINITION
Soit
cofacteurs
de
Soit A,
A, une
unematrice
matricecarrée
carréed’ordre
d’ordrenn≥ ≥2.2.LaLamatrice
matricedesadjointe
de A,
Anotée
est la
cof A,de
obtenue
en remplaçant
chaque
adjmatrice,
A, est lanotée
transposée
la matrice
des cofacteurs
de A.élément
de A par son cofacteur.
S
adj A = (cof A)t
en position a11 dans ce produit.
Explication
Exemple
3.1.6 Considérons
3
2 1 l’élément
S
On
facilement
en faisant
Soit constate
la matrice
A = –2 qu’il
A • A.
adj
A.somme des
Déterminer
cof
4 –5est .obtenu
Déterminer
adj
A. laS
produits des éléments de la première ligne par leur cofacteur. C’est
donc le déterminant de6 A. 2 10
50 même
–10 –28
Il en est de
pour les autres 50
éléments
de la diagonale de
–4 –17
4
–5
–2
–5
–2
4
S
déterminants.
On2 peut
montrer
que c’est
une propriété
–2 facilement
–4
adj
A
=
–10
2
4
cof A =
générale.
Pour
les éléments
nous donnerons
2 10
6 10 hors
6 diagonale,
2
–17
4
10
–28 des2 déterminants.
1050 –10 –28
l’explication après
avoir
vu
les
propriétés
1 3
2 3
2 1
20
– –4 –17 = –46 20
cof A = –
2 1 3
50
2 10
6 10
6 2
A • adj A = 1–2 3 4 –52 •3 –10 2 2 1 4 = –170 46 100
6 2 – 10
–28
2 10
0
0
6 S
4 –5
–2 –5
–2 4
Intriguant! S
Conclusion
Le déterminant est une fonction qui, à une matrice carrée, associe un
nombre réel unique.
On calcule celui-ci en faisant la somme des produits de chaque
élément d’une ligne (ou d’une colonne) par son cofacteur.
À l’aide des déterminants d’ordre 2, on peut résoudre un système de
deux équations à deux inconnues (méthode de Cramer) lorsque le
déterminant de la matrice des coefficients est non nul.
À l’aide des déterminants, on peut construire la matrice des
cofacteurs et la matrice adjointe d’une matrice carrée.
Le produit de la matrice A et de son adjointe donne une matrice
scalaire dont les éléments de la diagonale sont égaux au déterminant
de la matrice.
Lecture
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences de la nature, section 3.1, p. 61 à 67.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences humaines, section 3.1, p. 61 à 67.
Exercices
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences de la nature, section 3.2, p. 67 et 68.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en
sciences humaines, section 3.2, p. 67 et 68.