Aucun titre de diapositive - Cégep de Lévis

Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Nombres complexes

Nous allons amorcer l’étude des nombres complexes par leur
représentation géométrique, soit comme des vecteurs, et nous allons
définir les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire.
Introduction
La notion de nombre complexe conjugué nous permettra d’illustrer
comment les équations quadratiques admettent toutes deux solutions
distinctes dans l’ensemble des nombres complexes. Nous définirons
également une multiplication et une division sur les nombres com-
plexes.

Nombre complexe
Chaque nombre réel peut être
représenté sur un axe horizontal en
associant à ce nombre un segment de
droite ou un point sur l’axe et,
réciproquement, on peut associer un
nombre réel à tout segment ou tout
point de l’axe horizontal. On peut
considérer chacun de ces segments de
droite comme un vecteur dont la
direction est l’axe horizontal et dont
le sens est donné par le signe.
S
Considérons maintenant un opéra-
teur qui a pour effet de faire subir
une rotation de 90° (ou π/2 radian) de
sens antihoraire. Cet opérateur sera
représenté par la lettre i. Ainsi, le
produit i1, ou simplement i,est un
vecteur unitaire obtenu par une
rotation de 90°de sens antihoraire du
vecteur unitaire horizontal. Son
origine coïncide avec l’origine du
système d’axes et son sens est défini
par la direction positive de l’axe
vertical.
On note : i= 190° = 1π/2
En considérant la base B = {1, i}, on
peut, par combinaison linéaire,
associer à chaque vecteur du plan un
nombre de la forme a+bi que l’on
appelle nombre complexe.Dans un
nombre complexe z=a+bi,aest la
partie réelle, notée Re(z), et bla partie
imaginaire,notée Im(z).
La forme a+bi est appelée forme
cartésienne (ou forme rectangulaire)
du nombre complexe.
S

DÉFINITION Nombre complexe
Nombre complexe
On appelle nombre complexe toute expression
de la forme a+bi,où aet bsont des nombres
réels et iun opérateur dont l’effet est une
rotation de 90°de sens antihoraire.
Un nombre complexe a+bi est représenté par
un vecteur dont les composantes sont aet b.
Dans cette représentation graphique, l’axe horizontal est appelé axe
des réels et l’axe vertical axe des imaginaires.On notera
indifféremment bi ou ib.
L’ensemble des nombres complexes est représenté par la lettre C. On
remarquera que l’ensemble des réels est un sous-ensemble de C. En
effet, lorsque b= 0, le nombre a+ 0iest le nombre réel a.Lorsqu’on
voudra désigner un nombre complexe par une seule lettre, on
emploiera la lettre zou la lettre u.

Égalité
Égalité de nombres complexes
Soit z1=a1+b1iet z2=a2+b2i, deux nombres complexes sous forme
rectangulaire. On dit que ces nombres sont égaux si et seulement si :
a1= a2et b1= b2
DÉFINITION
Pour assurer la cohérence avec la représentation graphique, on doit
poser que des nombres complexes sous forme rectangulaire sont
égaux lorsqu’ils sont représentés par le même vecteur. Ils doivent
donc avoir des composantes égales. Cela permet de poser la définition
suivante.
Deux nombres complexes sous forme rectangulaire sont donc égaux
si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties
imaginaires sont égales.