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Nombres complexes
Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Introduction
Nous allons amorcer l’étude des nombres complexes par leur
représentation géométrique, soit comme des vecteurs, et nous allons
définir les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire.
La notion de nombre complexe conjugué nous permettra d’illustrer
comment les équations quadratiques admettent toutes deux solutions
distinctes dans l’ensemble des nombres complexes. Nous définirons
également une multiplication et une division sur les nombres complexes.
Nombre complexe
Considérons
Chaque
nombre
maintenant
réelB =peut
un{1,opéraEn considérant
la base
i},être
on
représenté
teur
a sur
pour
uneffet
axe de
horizontal
faire
subir
en,
peut, quipar
combinaison
linéaire
associant
une
rotation
à cedenombre
90° (ou un
π/2segment
radian) de
associer
à chaque
vecteur
plansera
un
droiteantihoraire.
sens
ou
un point
Cet
opérateur
surdul’axe
et,
nombre
de par
la forme
a + associer
bi Ainsi,
que l’on
réciproquement,
représenté
laonlettre
peut
i.
un
le
nombre inombre
réel
segmentDans
produit
appelle
1, àoutout
simplement
complexe.
i,ouesttout
un
point
vecteur
unitaire
l’axe horizontal.
On
peut
une
nombredecomplexe
zobtenu
= a + bi,par
a est
la
considérer
rotation
de chacun
90°
de sens
de ces
antihoraire
segments
du
de
partie réelle,
notée
Re(z),
et
b la partie
droite comme
vecteur
unitaire
un horizontal.
vecteur dontSon
la
imaginaire,
directioncoïncide
origine
estnotée
l’axeIm(z).
avec
horizontal
l’origine
et dont
du
système
le
estd’axes
donné
par
son
sens
est défini
Lasens
forme
a + et
bi
estle signe.
appelée
forme
par la direction positive de l’axe
cartésienne (ou forme rectangulaire)
vertical.
du nombre complexe.
On note : i = 190° = 1π/2
S
DÉFINITION
Nombre complexe
Nombre complexe
On appelle nombre complexe toute expression
de la forme a + bi, où a et b sont des nombres
réels et i un opérateur dont l’effet est une
rotation de 90° de sens antihoraire.
Un nombre complexe a + bi est représenté par
un vecteur dont les composantes sont a et b.
Dans cette représentation graphique, l’axe horizontal est appelé axe
des réels et l’axe vertical axe des imaginaires. On notera
indifféremment bi ou ib.
L’ensemble des nombres complexes est représenté par la lettre C. On
remarquera que l’ensemble des réels est un sous-ensemble de C. En
effet, lorsque b = 0, le nombre a + 0i est le nombre réel a. Lorsqu’on
voudra désigner un nombre complexe par une seule lettre, on
emploiera la lettre z ou la lettre u.
Égalité
Pour assurer la cohérence avec la représentation graphique, on doit
poser que des nombres complexes sous forme rectangulaire sont
égaux lorsqu’ils sont représentés par le même vecteur. Ils doivent
donc avoir des composantes égales. Cela permet de poser la définition
suivante.
DÉFINITION
Égalité de nombres complexes
Soit z1 = a1 + b1i et z2 = a2 + b2i, deux nombres complexes sous forme
rectangulaire. On dit que ces nombres sont égaux si et seulement si :
a1 = a2 et b1 = b2
Deux nombres complexes sous forme rectangulaire sont donc égaux
si et seulement si leurs parties réelles sont égales et leurs parties
imaginaires sont égales.
L’opérateur i
Considérons à nouveau l’opérateur i. On sait
déjà que la multiplication par i a comme effet
une rotation de 90° et que i est représenté par un
vecteur unitaire dans la direction positive de
l’axe vertical.
Considérons maintenant i2, soit le produit de i par i.
On trouve donc : i2 = i  i = –1
De la même façon, on a : i3 = i2  i = –1  i = –i
i4 = i3  i = –i  i = 1, ainsi de suite.
La définition de i comme opérateur dont l’effet est une rotation de
90° dans le sens antihoraire implique donc que i2 = –1. C’est
pourquoi on écrit parfois i = –1 .
Toutes les équations quadratiques ont alors deux racines dans
l’ensemble des nombres complexes. C’est ce qu’illustre l’exemple
suivant.
Exemple 8.1.1
Trouver les racines de l’équation quadratique suivante :
x2 – 2x + 5 = 0
Les racines d’une équation quadratique ax2 + bx + c = 0 sont
données par :
–b ± b2 – 4ac
x=
2a
4 – 20
2 ± –16
2
±
Dans le cas présent, on a : x =
=
2
2
En considérant le radical comme un produit de radicaux, on a :
–16 =
16 –1 = 4
–1 = 4i
2 ± 4i 2(1 ± 2i)
2 ± –16
= 1 ± 2i
=
=
Cela permet d’écrire : x =
2
2
2
Par conséquent, l’équation quadratique x2 – 2x + 5 = 0 a deux racines
dans l’ensemble des nombres complexes; ce sont :
x = 1 + 2i et x = 1 – 2i
SS
Addition
DÉFINITION
Addition de nombres complexes
Soit z1 = a1 + b1i et z2 = a2 + b2i, deux
nombres complexes sous forme rectangulaire.
L’addition de ces nombres, notée
z1 + z2, est définie par l’égalité suivante :
z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i
La somme de deux nombres complexes est donc obtenue en
additionnant les parties réelles entre elles et les parties imaginaires
entre elles.
Exemple 8.1.2
Additionner les nombres complexes z1 = 5 – 2i et z2 = 3 + 4i, et
représenter graphiquement.
Il faut additionner entre elles les
parties réelles et les parties imaginaires, ce qui donne :
z1 + z2 = (5 – 2i) + (3 + 4i)
= (5 + 3) + (–2 + 4)i
= 8 + 2i
La représentation graphique illustre le fait que la somme de deux
nombres complexes est représentée par la diagonale du
parallélogramme.
S
Multiplication par un scalaire
Un nombre complexe z = a + bi étant
représenté par un vecteur, il a donc un
module, noté z ou r, qui est défini par :
r= z =
a2 + b2
La multiplication par un scalaire aura pour
effet de multiplier le module de ce vecteur
en conservant la direction. Le sens du
vecteur résultant dépendra du signe du
scalaire.
Multiplication par un scalaire
DÉFINITION
Multiplication d’un nombre complexe par un scalaire
Soit z = a + bi, un nombre complexe sous
forme rectangulaire.
La multiplication de z par le scalaire c
donne un nombre complexe, noté cz, défini
par l’égalité suivante :
cz = ca + cbi
• le vecteur représentant le nombre complexe cz a la même direction que celui
représentant le nombre complexe z;
• le module de cz est égal au produit de la valeur absolue de c par le
module de z, soit :
cz = c z
• le sens de cz est le même que celui de z si c > 0, et le sens est
contraire si c < 0.
Exemple 8.1.3
Soit le nombre z = 2 – i.
a) Représenter graphiquement
nombre complexe.
ce
b) Trouver et représenter graphiquement le nombre 3z.
c) Trouver et représenter graphiquement le nombre –2z.
b) Le nombre 3z est défini par 3z = 3 (2 – i) = 6 – 3i. Graphiquement,
c’est un vecteur ayant même direction et même sens que z, mais son
module est le triple du module de z.
c) Le nombre –2z est défini par –2z = –2(2 – i) = –4 + 2i. Graphiquement, c’est un vecteur dont le module est le double de celui de z;
sa direction est la même que z, mais il est de sens contraire à z,
puisque le scalaire est négatif.
S
Nombre conjugué
Lorsqu’une équation quadratique à coefficients réels a des zéros complexes, ceux-ci ne diffèrent que par le signe de la partie imaginaire.
De tels nombres sont dits conjugués. Graphiquement, ce sont des
vecteurs symétriques par rapport à l’axe des réels.
DÉFINITION
Nombre complexe conjugué
Soit z = a + bi, un nombre complexe sous
forme rectangulaire.
On appelle nombre complexe conjugué de z,
noté z , le nombre complexe défini par :
z = a – bi
On trouve donc le nombre conjugué en changeant le signe de la
partie imaginaire du nombre complexe.
Produit de nombres complexes
Pour multiplier deux nombres complexes, on procède comme pour le
produit de deux binômes, puis on utilise le fait que i2 = –1. Ainsi, pour
effectuer le produit des nombres complexes z1 = 2 – 3i et z2 = 5 + 2i, on
procède comme suit :
(2 – 3i)(5 + 2i) = 10 + 4i – 15i – 6i2, par distributivité;
= 10 + 4i – 15i + 6, puisque i2 = –1;
= 16 – 11i
Procédure
pour multiplier deux nombres complexes sous forme rectangulaire
1. Multiplier les nombres comme s’ils étaient deux binômes.
2. Utiliser le fait que i2 = –1 pour simplifier l’expression obtenue en
regroupant les parties réelles et les parties imaginaires.
S
Exemple 8.1.4
Effectuer les multiplications suivantes :
a) (–5 + 7i)(6 – 12i)
b) i(2 + 3i)
c) 3i(–5 + 2i)(6 – 3i)
a) (–5 + 7i)(6 – 12i) = –30 + 60i + 42i – 84i2, par distributivité;
= –30 + 102i + 84, puisque i2 = –1;
= 54 + 102i.
b) i(2 + 3i) = 2i + 3i2, par distributivité;
= –3 + 2i, puisque i2 = –1.
c) 3i(–5 + 2i)(6 – 3i) = (–15i + 6i2)(6 – 3i), par distributivité;
= (–6 – 15i)(6 – 3i), puisque i2 = –1;
= –36 + 18i – 90i + 45i2, par distributivité;
= –81 – 72i, puisque i2 = –1.
S
Produit de nombres complexes conjugués
Considérons z = a + bi, un nombre complexe quelconque. Alors, le
conjugué de z est z = a – bi. Le produit de z par son conjugué est alors :
z z = (a + bi)(a – bi)
= a2 – abi + abi – b2i2, par distributivité;
= a2 + b2, puisque i2 = –1.
THÉORÈME
Produit d’un nombre complexe et de son conjugué sous forme
rectangulaire
Soit z = a + bi, un nombre complexe sous forme rectangulaire. Alors,
le produit de z par son conjugué z est :
z z = a2 + b2
Cela signifie que le produit d’un nombre complexe par son conjugué
donne toujours un nombre réel.
S
Quotient de nombres complexes
Le quotient de deux nombres complexes est connu lorsqu’on a
déterminé la partie réelle et la partie imaginaire du quotient. Pour y
parvenir, on utilise le fait que le produit d’un nombre complexe par
son conjugué donne un nombre réel.
2
2
–
3i
2
–
3i
5
–
4i
10
–
15i
–
8i
+
12i
–2 – 23i
Ainsi,

=
=
=
5 + 4i
5 + 4i
5 – 4i
25 + 16
41
Le quotient est alors exprimé sous la forme a + bi, puisque :
2 – 3i
–2
– 23 i
=
+
5 + 4i
41
41
Procédure
pour diviser deux nombres complexes sous forme rectangulaire
1. Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du
dénominateur.
2. Simplifier et écrire le résultat sous la forme a + bi.
S
Exemple 8.1.5
Effectuer les divisions suivantes :
–2 + 7i
7 + 4i
5 – 2i
a)
b)
c)
3i
(4 – 3i)(3 + 5i)
–4 + 3i
a) En multipliant le numérateur et le dénominateur par –4 – 3i, on
obtient :
5 – 2i
5 – 2i
–4 – 3i
–20 – 15i + 8i + 6i2
26
7

=
=
=
–
–
i
–4 + 3i –4 + 3i
–4 – 3i
16 + 9
25
25
b) Pour que le dénominateur soit un nombre réel, il suffit de
multiplier le numérateur et le dénominateur par i, ce qui donne :
2
7 + 4i
7 + 4i
i
7i
+
4i
–4 +7i
4
7

=
=
=
=
–
i
3i
3i
i
3i2
–3
3
3
c) Dans cette situation, il est préférable d’effectuer d’abord le produit
au dénominateur. On obtient :
–2 + 7i
–2 + 7i  27 – 11i
23
211
=
=
+
i
27 – 11i
850
850
(4 – 3i)(3 + 5i) 27 + 11i
S
Exemple 8.1.6
Trouver z et u  C tels que :
a) (2 – 3i)z = 6 + 17i
b)
3z + 2iu = 1 – 5i
4iz – 5u = 2 – 15i
a)b)On
a +nombres
bi tel quecomplexes
(2 – 3i)z =z6=+ a17i.
Oneta ualors
Oncherche
cherchez =
des
+ bi
= c :+ di satisfaisant
aux deux
: + 34i + 18i + 51i2
6 + 17i
6 + équations,
17i  2 + 3isoit 12
= – 3 + 4i
=
z=
=
3i
3
2i13
2z – 3i 1 – 25i+ 3i
3 2 – 2i
= –15 – 8i2 = –7 ≠ 0
=
4i
–5
–5
4i
u
2 – 15i
Par la méthode de Cramer, on obtient :
1 – 5i
2i
2 – 15i –5
2)
–5
+
25i
–
(4i
–
30i
z=
=
= –35 + 21i = 5 – 3i
–7
–7
–7
3 1 – 5i
2)
4i 2 – 15i
6
–
45i
–
(4i
–
20i
u=
=
= –14 – 49i = 2 + 7i
–7
–7
–7
S
Conclusion
En introduisant un opérateur i dont l’effet est une rotation de 90°, on
a développé un nouvel ensemble de nombres qui s’expriment comme
combinaisons linéaires des vecteurs de la base B = {1, i}. Chaque
nombre complexe, qui sous forme rectangulaire s’écrit z = a + bi, est
représenté graphiquement par un vecteur dont les composantes sont
a et b.
En considérant tous les nombres complexes de la forme z = a + 0i, on
obtient l’ensemble des nombres réels R qui est donc un sousensemble de l’ensemble C des nombres complexes. Toutes les
équations quadratiques ont deux racines dans l’ensemble des
nombres complexes.
Les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire tel que
définies satisfont aux propriétés de la structure d’espace vectoriel. De
plus, en considérant l’addition et la multiplication des nombres
complexes, l’ensemble C a une structure de corps commutatif.
Lecture
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences de la nature, Section 8.1, p. 219 à 226.
Exercices
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en
sciences de la nature, Section 8.2, p. 227 no. 1 à 14