Arithmétiques 2A sec

Entiers naturels
I-
Raisonnement par récurrence
Soit une propriété P(x) qui dépend de l’entier naturel n ; si P(1) est vraie et que
« P(x) vraie entraîne P(x+1) vraie » alors le propriété est vraie dans N.
Exemple
Montrons que la somme des cibles des n premier nombre entiers est égale à
χ 2 (χ + 1) 2
4
χ 2 (4 + 1) 2
Soit Sn=
4
12 x 2 2
la propriété est due vraie pour χ =1
1/ S(1)=1=
4
2/ Supposons la propriété vraie pour l’étudier χ , c’ést à dire S χ =
χ 2 (4 + 1) 2
en
4
calculons S χ +1.
S χ +1=S χ +( χ +1)3=
2
 (χ + 1) 2 (χ 2 + 4χ + 4) (χ + 1) 2 (χ + 2) 2
χ 2 (χ + 1)
3
2 χ
+ (χ + 1) = (χ + 1) 
+ (χ + 1) =
=
4
4
4
4


donc en résumé : la propriété est vraie pour x=1, et si elle est vraie pour x elle
est vraie pour x+1. Elle est donc vraie pour toute valeur de x.
Exercices :
1-1) Montrer que le néme nombre impaire est 2x-1
1-2) Montrer que la somme des n premiers nombres impairs est éga le à x2
1-3) Montrer que le néme nombre pair est 2x, x∈ N*
1-4) Montrer que la somme des n premiers nombres pairs est x (x+1).
2-
Montrer que la somme des carrés des n premiers entiers naturels est
x ( x + 1)(2 x + 1)
6
3-
Montrer que la somme des carrés des n premiers entiers pairs est :
2
x ( x + 1)(2 x + 1)
3
4-
Montrer que la somme des puissances quatrièmes des n premiers nombres
x ( x + 1)(6 x 3 + 9 x 2 + x − 1)
entiers est :
= Sx
30
[
( x + 1)( x + 2) 6( x + 1) 3 + 9( x + 1) 2 + x
On montrer que Sx+1=Sx+(x+1) =
30
4
II-
]
Division euclidienne dans N.
1/ Lenime d’Archimède
Soient a et b deux entiers naturels tel que b ≠ 0. Il existe un entier nature non
nul p tel que pb ≻ a.
En effet :
Comme b ≥ 1 donc (a+1)b ≥ a + 1 ≻ a .
Ainsi on preut dépasser n’importe quel entier a , en ajoutent un certain
nombre de fois l’étudier non nul b.
2/ Théorème d’existence et d’unicité de la division euclidienne.
Soient a et b deux entiers naturels ou b ≻ 0. il existe un couple unique
d’entiers naturels (q,r) tel que
A=bq+r et 0 ≤ r ≺ b
q est le quotient, r le reste, a le dividende et b le diviseur de la division
euclidienne de a par b.
si b divise a, cela signifie que r=0
3/ dans toute division le dividende est supérieur au double du reste ( on
suppose le dividende au moins égal au diviseur).
Exercices :
1- Quel est le plus grand nombre qu’on peut ajouter au dividende d’une
division sans changer le reste ?
2- Quel est le plus grand nombre qu’on peut ajouter au diviseur d’une
division sans changer le quotient ?
3- Trouver tous les nombres qui divisés par 23, donnent une quottient égal
au reste.
4- a et b sont deux entiers naturels. Ans la division enclidiennne de a par b,
le reste r est supérieur ou égal au quotient q, prouvez que si l’on divise a
par b+1 on obtient le même quotient.
[
]
2
5- Montrer que le reste de la division euclidienne de A= a 2 + (a − 1) 2 par
4a2 est (2a-1)2.
6- Si n est un entier naturel tel que n ≥ 1 , ou reste :
A x=(x+1)(x+2)…(2x-1)2x
Montrer par récurrence que Ax est divisible par 2n.
4/ Propriétes :
Soit a=bq+r
0≤r≺b
1) si on multiple a et b par c, non nul, q ne change pas et z est multiplié par
c.
2) tout diviseur commun à a et b est un diviseur de r.
3) si l’on ajoute à a un multiple de b, r ne change pas.
4) Si l’on retranche de a un multiple de b, r ne change pas.
5) Pour que deux entiers a et a’ donnent même reste r dans la division par b,
il faut et il suffit que leur différence soit nulle ou multiple de b.
6) Soit a1=bq1+r1
0 ≤ r1 ≺ b
a2=bq2+r2
0 ≤ r2 ≺ b
a3=bq3+r3
0 ≤ r3 ≺ b
alors
1=a1+a2+ a3=b(q1+q2+q3)+(r1+r2+r3).
(r1+r2+r3) n’est pas nécessairement inférieur à b…mais a et (r1+r2+r3) admettent
le m^me reste de la division par b.
- Le reste de la division d’une somme par un entier b est égal à ceci de la
division par b des différents restes de la somme.
7) soit a=bq+r
0≤r≺b
et a’=bq’+r’
0 ≤ r' ≺ b
Alors si a ≻ a ' on obtient d=a-a’=b(q-q’)+(r-r’)
- Si r ≥ r ' alors r-r’ est le reste de la division de d par b
- Si r ≺ r ' ce qui exige q’ ≺ q soit q-q’ ≥ 1 d’où d=b(q-q’-1)+(b+r-r’)
Donc b-(r’-r) qui est inférieur à b est le reste de la division de d par b.
- le reste de la division d’une différence par un entier b est égal à la différence
des restes des divisions des termes de la différence si la sustraction est possible,
après avoir ajouté b au premier reste, si la sustraction est impossible.
8) le reste de la division d’un produit par b est égal a celui de la division par b
du produit des restes des divisions par b des différents facteurs du produit.
Exercice
Dérencier les restes suivants
1) restes par 2 et par 5.
2) restes par 4 et par 25.
3) Restes par 8 et par 125 ; par 2x et 5x
4) Restes par 3 et par 9.
5) Restes par 11.
III/ Divisibilité dans N.
1/ soient a et b deux entiers naturels, on dit que b divise a ou que b est un
diviseur de a, que a est divisible par b ou que a est un multiple de b, s’il existe
un entier naturel q vérifiant l’égalité a=bq.
Propriétés :
1) Tout entier autre que 1 admet au moins deux diviseurs.
2) Si b divise a et c divise b alors c divise a.
3) Tout produit admet pour diviseurs chacun de ses facteurs et chaque
produit formé avec certains de ses facteurs.
4) Si un entier a est divisible par un produit, il est divisible par chacun des
facteurs du produit et par chaque produit formé par certains facteurs du
produit donné.
5) Si des entiers admettent un diviseur commun, leur somme, leur différence
leurs multiples et de façon générale tout entier obtenu en calculant la
somme ou la différence de multiples de ces entiers admettent ce diviseur
comme diviseur.
2/ Critères usuels de divisibilité :
1) un entier est :
- divisible par 2 si son chiffre des unités est paire (égal à 0, 2, 4,6 ou 8)
- divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
- divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
-divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible
- divisible par 25 si son écriture décimale se termine par 00, 25, 50,75
- divisible par 20 si son écriture décimale se termine par 00 ou 50
- divisible par 100 si son écriture décimale se termine par 00.
- divisible par 8 si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible
par 8.
- divisible par 3 si la somme des chiffres est divisible par 3.
- divisible par 9 si la somme des chiffres est divisible par 9- divisible par 11 si la différence entre la somme des chiffres de rang impair
et la somme des chiffres de rang pair à partir de la droite est un multiple de
11.
- divisible par 33 si en le partageant en tranches de 2 chiffres à partir de la
droite, la somme des nombres formés par ces tranches est divisible par 33.
2) Il existe une infinité de critères de divisibilité. Ainsi pour savoir si un
entier est divisible par 7 ou par 13, ou le découpe en tranches de 3 chiffres à
partir de la droite, on ajoute et retranche alternativement les nombres aussi
formés. Si le résultat est divisible par 7 ou 13 l’entier donné est divisible par
7 ou 13. Dans le cas contraire, il ne l’est pas. De même en remarque que
1000=27x37+1, ou en déduit que tout nombre est égal à un multiple de 37
augmente des nombres formés par les chiffres puis trois à trois à partir de la
droite, et on peut énoncer sous différent un caractère de divisibilité par 37.
3) on donnons que :
- La somme d’un nombre composé d’un nombre pair de chiffres et de ce
même nombre renversé est un multiple de 11.
- Lorsque le nombre des chiffres d’un nombre est impaire, la différence entre
le nombre et le nombre renversé est divisible par 9 est par 11.
- Tout nombre de six chiffres dans lequel la première et le quatrième chiffres,
le deuxième et le cinquième chiffres, le troisième et le sixième chiffres sont
respectivement les mêmes, est divisible par 7, 11 et 13 c'est-à-dire 1001.
- Pour qu’un nombre soit divisible par 3, il faut et il suffit que le nombre de
ses dizaines, augmenté du chiffre des unités, donne un somme divisible par3.
- Un nombre est divisible par 4 lorsque le chiffre des unités, ajouté au double
du chiffre des dizaines, donne un somme divisible par 4.
- Un nombre est divisible par 6 lorsque le chiffre de ses unités, ajouté à
quatre fois la somme de tous les autres donne une somme divisible par 6.
- Un nombre est divisible par 7 lorsque la différence entre le nombre de ses
dizaines et le double du chiffre des unités est divisible par 7.
- Un nombre est divisible par 8 si le chiffre des unités ajoute au double du
chiffre des dizaines et à quatre fois celui des centaines donne une somme
divisible par 8.
- Un nombre est divisible par 11, si le nombre de ses dizaines, diminué de
celui de ses unités est un multiple de 11.
- Un nombre est divisible par 13, si le nombre de ses dizaines, augmente du
quadriple de ses unités est divisible par 13.
Les caractères énoncés pour 17, 19, 23,31 et 37 par Folie dans sa reste sur la
divisibilité des nombres, sont tout à fait semblables.
- Un nombre est divisible par 19 si le nombre de ses dizaines, augmente du
double de ses unités est double par 19.
Exercices :
1) soit Ax=(x+1)(x+2)…(2x-1)2x, x ≥ 1.
Montrer par récurrence que Ax est divisible par 2x.
2) soit x∈ N. montrer que x2+5x+4 et x2+3x+2 sont divisibles par
x+1.Déterminer l’ensemble des valeurs de x pour les quelles 3x2+15x+19
est divisible par x+1. En déduire que, quelque soit x, 3x2+15x+19 n’est
pas divisible pour x2+3x+2.
3) Soit deux entiers a et b. m’i, des nombres a, b (a+b) ou (a-b) étant
divisible par 3, démontrer que ab (a2-b2) est divisible par.
4) Trouver deux entiers tels que le double de l’un d’eux soit égal au produit
de l’autre par leur différence.
5) Montrer que, quels que soient a et x, ax et ax+4 sont terminés par le même
chiffre.En particulier un nombre quelconque et sa 5éme puissance sont
terminés par le même chiffre.
6) Un nombre est composé de trois chiffres dont la somme est 13, le chiffre
des unités est le triple de celui des centaines. Quand on ajoute 395 à ce
nombre, on obtient le nombre formé des mêmes chiffres écrits dans
l’ordre inverse. Trouver le nombre.
7) Déterminer les entiers x et y qui vérifient l’équation (x-6)(y-6)=18
Application : chercher, parmi les triangles rectangles dont les côtés sont
mesurés par des entiers, aux pour les quels le double de l’aire et le triple du
périmétre sont mesurés par le même nombre.
8) Trouver les entiers qui vérifient l’équation
X2=(y-7)2+21
9) Montrer que quel soit l’entier x, x3-x est divisible par 3, x5-x est divisible
par 5, x7 est divisible par 710) montrer que si x n’est pas multiple de 3 alors 22x+2x+1 est divisibles par
7.
11) Montrer que si x n’est pas multiple de 3 alors 32x+3x+1 est divisibles par
13.
12) Montrer que si x n’est pas multiple de 3 alors 52x+5x+1 est divisibles par
31.
13) Montrer que quelque soit x, 32x+2+26x+1 est divisible par 11.
14) Montrer que quelque soit, 32x+2+2x+1 est divisible par 7.