Arithmétiques 2A sec

Entiers naturels
I- Raisonnement par récurrence
Soit une propriété P(x) qui dépend de l’entier naturel n ; si P(1) est vraie et que
« P(x) vraie entraîne P(x+1) vraie » alors le propriété est vraie dans N.
Exemple
Montrons que la somme des cibles des n premier nombre entiers est égale à
4
)1(
22
+χχ
Soit S
n
=
4
)14(
22
+χ
1/ S(1)=1=
4
2x1
22
la propriété est due vraie pour
χ
=1
2/ Supposons la propriété vraie pour l’étudier
χ
, c’ést à dire S
χ
=
4
)14(
22
+χ
en
calculons S
χ
+1
.
S
χ
+1
=S
χ
+(
χ
+1)
3
=
4)2()1( 4)44()1(
)1(
4
)1()1(
4)1(
2222
2
23
2
+χ+χ
=
+χ+χ+χ
=
+χ+
χ
+χ=+χ+
+χχ
donc en résumé : la propriété est vraie pour x=1, et si elle est vraie pour x elle
est vraie pour x+1. Elle est donc vraie pour toute valeur de x.
Exercices :
1-1) Montrer que le n
éme
nombre impaire est 2x-1
1-2) Montrer que la somme des n premiers nombres impairs est éga le à x
2
1-3) Montrer que le n
éme
nombre pair est 2x, x
∈
N
*
1-4) Montrer que la somme des n premiers nombres pairs est x (x+1).
2- Montrer que la somme des carrés des n premiers entiers naturels est
6
)1x2)(1x(x
+
+
3- Montrer que la somme des carrés des n premiers entiers pairs est :

)1x2)(1x(x
3
2++
4- Montrer que la somme des puissances quatrièmes des n premiers nombres
entiers est :
x
23
S
30
)1xx9x6)(1x(x = −+++
On montrer que S
x+1
=S
x
+(x+1)
4
=
[
]
30
x)1x(9)1x(6)2x)(1x(
23
++++++
II- Division euclidienne dans N.
1/ Lenime d’Archimède
Soient a et b deux entiers naturels tel que b
≠
0. Il existe un entier nature non
nul p tel que pb
≻
a.
En effet :
Comme b
≥
1 donc (a+1)b
a
1
a
≻
+
≥
.
Ainsi on preut dépasser n’importe quel entier a , en ajoutent un certain
nombre de fois l’étudier non nul b.
2/ Théorème d’existence et d’unicité de la division euclidienne.
Soient a et b deux entiers naturels ou b
≻
0. il existe un couple unique
d’entiers naturels (q,r) tel que
A=bq+r et 0
b
r
≺
≤
q est le quotient, r le reste, a le dividende et b le diviseur de la division
euclidienne de a par b.
si b divise a, cela signifie que r=0
3/ dans toute division le dividende est supérieur au double du reste ( on
suppose le dividende au moins égal au diviseur).
Exercices :
1- Quel est le plus grand nombre qu’on peut ajouter au dividende d’une
division sans changer le reste ?
2- Quel est le plus grand nombre qu’on peut ajouter au diviseur d’une
division sans changer le quotient ?

3- Trouver tous les nombres qui divisés par 23, donnent une quottient égal
au reste.
4- a et b sont deux entiers naturels. Ans la division enclidiennne de a par b,
le reste r est supérieur ou égal au quotient q, prouvez que si l’on divise a
par b+1 on obtient le même quotient.
5- Montrer que le reste de la division euclidienne de A=
[
]
2
22
)1a(a −+ par
4a
2
est (2a-1)
2
.
6- Si n est un entier naturel tel que
1
n
≥
, ou reste :
A
x
=(x+1)(x+2)…(2x-1)2x
Montrer par récurrence que A
x
est divisible par 2
n
.
4/ Propriétes :
Soit a=bq+r
b
r
0
≺
≤
1) si on multiple a et b par c, non nul, q ne change pas et z est multiplié par
c.
2) tout diviseur commun à a et b est un diviseur de r.
3) si l’on ajoute à a un multiple de b, r ne change pas.
4) Si l’on retranche de a un multiple de b, r ne change pas.
5) Pour que deux entiers a et a’ donnent même reste r dans la division par b,
il faut et il suffit que leur différence soit nulle ou multiple de b.
6) Soit a
1
=bq
1
+r
1
br0
1
≺
≤
a
2
=bq
2
+r
2
br0
2
≺
≤
a
3
=bq
3
+r
3
br0
3
≺
≤
alors
1=a
1
+a
2+
a
3
=b(q
1
+q
2
+q
3
)+(r
1
+r
2
+r
3
).
(r
1
+r
2
+r
3
) n’est pas nécessairement inférieur à b…mais a et (r
1
+r
2
+r
3
) admettent
le m^me reste de la division par b.
- Le reste de la division d’une somme par un entier b est égal à ceci de la
division par b des différents restes de la somme.
7) soit a=bq+r
b
r
0
≺
≤
et a’=bq’+r’
b
'
r
0
≺
≤

Alors si a
'
a
≻
on obtient d=a-a’=b(q-q’)+(r-r’)
- Si r
'
r
≥
alors r-r’ est le reste de la division de d par b
- Si r
'
r
≺
ce qui exige q’
≺
q soit q-q’
≥
1 d’où d=b(q-q’-1)+(b+r-r’)
Donc b-(r’-r) qui est inférieur à b est le reste de la division de d par b.
- le reste de la division d’une différence par un entier b est égal à la différence
des restes des divisions des termes de la différence si la sustraction est possible,
après avoir ajouté b au premier reste, si la sustraction est impossible.
8) le reste de la division d’un produit par b est égal a celui de la division par b
du produit des restes des divisions par b des différents facteurs du produit.
Exercice
Dérencier les restes suivants
1) restes par 2 et par 5.
2) restes par 4 et par 25.
3) Restes par 8 et par 125 ; par 2
x
et 5
x
4) Restes par 3 et par 9.
5) Restes par 11.
III/ Divisibilité dans N.
1/ soient a et b deux entiers naturels, on dit que b divise a ou que b est un
diviseur de a, que a est divisible par b ou que a est un multiple de b, s’il existe
un entier naturel q vérifiant l’égalité a=bq.
Propriétés :
1) Tout entier autre que 1 admet au moins deux diviseurs.
2) Si b divise a et c divise b alors c divise a.
3) Tout produit admet pour diviseurs chacun de ses facteurs et chaque
produit formé avec certains de ses facteurs.
4) Si un entier a est divisible par un produit, il est divisible par chacun des
facteurs du produit et par chaque produit formé par certains facteurs du
produit donné.

5) Si des entiers admettent un diviseur commun, leur somme, leur différence
leurs multiples et de façon générale tout entier obtenu en calculant la
somme ou la différence de multiples de ces entiers admettent ce diviseur
comme diviseur.
2/ Critères usuels de divisibilité :
1) un entier est :
- divisible par 2 si son chiffre des unités est paire (égal à 0, 2, 4,6 ou 8)
- divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
- divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
-divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible
- divisible par 25 si son écriture décimale se termine par 00, 25, 50,75
- divisible par 20 si son écriture décimale se termine par 00 ou 50
- divisible par 100 si son écriture décimale se termine par 00.
- divisible par 8 si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible
par 8.
- divisible par 3 si la somme des chiffres est divisible par 3.
- divisible par 9 si la somme des chiffres est divisible par 9-
- divisible par 11 si la différence entre la somme des chiffres de rang impair
et la somme des chiffres de rang pair à partir de la droite est un multiple de
11.
- divisible par 33 si en le partageant en tranches de 2 chiffres à partir de la
droite, la somme des nombres formés par ces tranches est divisible par 33.
2) Il existe une infinité de critères de divisibilité. Ainsi pour savoir si un
entier est divisible par 7 ou par 13, ou le découpe en tranches de 3 chiffres à
partir de la droite, on ajoute et retranche alternativement les nombres aussi
formés. Si le résultat est divisible par 7 ou 13 l’entier donné est divisible par
7 ou 13. Dans le cas contraire, il ne l’est pas. De même en remarque que
1000=27x37+1, ou en déduit que tout nombre est égal à un multiple de 37