nombres entiers relatifs

CATALA Rémi 3°1
LES DIFFÉRENTES
CATÉGORIES DE NOMBRES
Sommaire :
1/Introduction
2/Les nombres entiers naturels
3/Les nombres entiers relatifs
4/Les nombres décimaux
5/Les nombres rationnels, dont les fractions
6/Les nombres irrationnels
7/Les nombres réels
8/Les nombres complexes
1/INTRODUCTION
Les ensembles de nombres sont
"gigognes", on peut classer les
nombres entiers naturels dans les
nombres entiers relatifs qui sont euxmêmes des nombres décimaux.
Ceux-ci sont, à leur tour, des
nombres rationnels qui sont enfin
des nombres réels.
2/LES NOMBRES ENTIERS
NATURELS
Les nombres entiers naturels sont des nombres d'une suite
de premier terme 0 et tels qu'un terme est égal à la somme
du précédent et de 1 :
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... ; 10 ; 11 ; ... ; 256 ; ...
Il existe une infinité de nombres entiers naturels.
Certains d'entre eux sont des nombres premiers, d'autres
sont des nombres parfaits, d'autres encore sont des
nombres palindromes et des couples d'entiers peuvent
caractériser des nombres premiers entre eux ou des
nombres amicaux.
A) Les nombres premiers
Les nombres premiers sont les nombres entiers qui ne
sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes.
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43
; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97 sont
les nombres premiers inférieurs à 100.
Il existe une méthode pour savoir si un nombre est
premier ou non, c'est le crible d'Ératosthène.
B) Les nombres parfaits
Les nombres parfaits sont des nombres entiers qui sont
égaux à la somme de leurs diviseurs stricts.
6 = 1 + 2 + 3 ; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Entre 0 et 10 000, il n'existe que 4 nombres parfaits : 6 ; 28
; 496 et 8128.
Les Grecs découvrirent ces quatre premiers nombres
parfaits.
C) Les nombres palindromes
Ce sont des nombres entiers qui se lisent indifféremment
dans les deux sens.
101 ; 22 ; 3663 ; 21012 sont des nombres palindromes.
D) Les nombres premiers entre eux
Deux nombres entiers sont premiers entre eux s'ils n'ont pas
d'autres diviseurs communs que 1.
7 et 13 n'ont que 1 comme diviseur commun donc 7 et 13 sont
premiers entre eux.
12 et 32 ont plusieurs diviseurs communs : 1 ; 2 et 4 donc 12 et 32
ne sont pas premiers entre eux.
7 et 13 n'ont que 1 en diviseur
commun donc 7 et 13 sont des
E) Les nombres amicaux
(220 ; 284) est un couple de nombres amicaux car 284 est égal à la
somme des diviseurs stricts de 220, et réciproquement.
284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 ;
220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142.
(17 296 ; 18 416) et (9 363 584 ; 9 437 056) sont d'autres couples de
nombres amicaux découverts ou "redécouverts" respectivement par
Fermat et Descartes.
Le couple (1184 ; 1210) n'a été découvert qu'en 1866 par Niccolo Paganini
à l'âge de 16 ans.
Aujourd'hui, on a recherché par ordinateur de nouveaux couples et on en a
trouvé plus de 2 000 000.
3/LES NOMBRES ENTIERS
RELATIFS
Les nombres entiers relatifs sont des nombres entiers précédés d'un signe (+ ou
−) ou sans signe.
0 ; 258 ; 49 762 ; −12 et −265 sont des nombres entiers relatifs.
Les nombres entiers relatifs qui ont des signes + sont des entiers positifs.
+ 5 = 5 ; + 189 ; 0 ; + 6 521 ; 78 et 892 sont des entiers positifs.
Les nombres entiers relatifs qui ont des signes − sont des entiers négatifs.
− 25 ; − 5698 ; −3 ; 0 et −56 sont des entiers négatifs.
-5, 9, -2
4/LES NOMBRES DÉCIMAUX
Un nombre décimal est un nombre qui peut se mettre sous forme d'une
fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.
7,42 est un nombre décimal car 7,42 = 742/100
0 ; 15 ; 18,458 ; 9,05 ; 14,1 ; 478 et 896,24 sont des nombres décimaux.
−56,27 est un nombre décimal relatif.
C'est seulement en 1582 que le mathématicien flamand Simon Stevin proposa
d'employer les nombres décimaux dans les calculs. Les écritures restèrent
encore longtemps très diverses et ce n'est que le 10 décembre 1799 que l'on
obtint un système métrique décimal.
A) Les puissances de 10
101 = 10 ; 10−1 = 0,1 ; 100 = 1.
Les puissances de 10 permettent de simplifier l'écriture des grands
nombres (en astronomie) ou des très petits nombres (en
microbiologie...).
Par exemple : 283 000 000 000 = 2,83 × 1011 ; 0,00568 = 5,68 × 10−3.
Astuce : 10² = 100 on
a une puissance de
deux donc on met
deux zéros après le 1
B) Les dimensions de l'univers
En prenant 1 m comme unité de base, étudions quelques ordres de grandeur :
- 3 × 102 pour la hauteur de la tour Eiffel (320 m = 3,2 × 102 m)
- 105 pour la distance Paris-Orléans (126 000 m = 1,26 × 105 m)
- 107 pour le diamètre de la Terre (1,3 × 107 m)
- 109 pour le diamètre du Soleil (1,4 × 109 m)
- 1011 pour la distance Terre-Soleil (1,5 × 1011 m)
5/LES NOMBRES RATIONNELS,
DONT LES FRACTIONS
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous forme d'un rapport de
deux nombres entiers.
5; 7/3; 15,26; 189/25; -1/6 sont des nombres rationnels .
Les Babylonien utilisaient des fractions de dénominateur 60, 60²...
Les Égyptiens n'utilisaient que des fractions de numérateur 1, à l'exception de la fraction 2⁄3.
Les Grecs représentaient les nombres géométriquement, ils ont donc considéré les fractions comme des
rapports de longueur, ce qui les a conduits aux nombres rationnels.
Les Romains utilisent une notation où le dénominateur est au-dessus du numérateur, ce qui est très mal
commode.
Les Arabes jusqu'au Xème siècle ne considèrent pas les fractions comme des nombres, mais comme des
opérateurs.
Les Indiens commencent à superposer les numérateur et dénominateur.
Vers 1150, un Arabe les sépare par une barre de fraction.
Al-Kashi théorisera l'utilisation des fractions décimales (dont le dénominateur est une puissance de 10).
On peut dire que c'est au XVIIème siècle que les fractions ont acquis leur forme
d'aujourd'hui.
6/LES NOMBRES IRRATIONNELS
Les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas
s'écrire sous forme de fraction de deux nombres entiers.
√ 2 ; √ 3 et π sont des nombres irrationnels.
On s'est aperçu dès l'Antiquité que certains nombres ne pouvaient
pas s'écrire sous forme de fraction.
En effet, les racines carrées et le nombre π sont connus depuis les
Babyloniens .
Evidemment, les symboles n'existent pas encore et on n'en connaît
que des approximations. L'allemand Rudolph invente le symbole "√
" vers 1525.
Le suisse Leonhard Euler vulgarise le symbole π vers 1750, après
que William Jones l'ait utilisé en 1706.
7/LES NOMBRES RÉELS
Les nombres réels sont ceux que l'on rencontre dans la vie courante.
Ils sont composés des nombres rationnels donc des entiers naturels, des
entiers relatifs, des décimaux, des fractions, mais aussi des nombres
irrationnels
5..........6..........7..........8..........9
5,1..........5,2..........5,3..........5,4
5,01..........5,02..........5,03
8/LES NOMBRES COMPLEXES
Avec les nombres réels, il n'y a pas de nombre négatif qui ait une racine
carrée.
Un nombre i qui est tel que i² = −1 a longtemps été appelé "nombre
impossible". Il est aujourd'hui dit imaginaire.
Les nombres de la forme a + ib (où a et b sont des nombres réels) sont
appelés nombres complexes. Ils sont composés de la somme d'un nombre
réel et d'un nombre imaginaire.
C'est l'italien Rafaele Bombelli qui les emploie en 1572 sans la notation
actuelle, avec l'idée de √ −1.
Le français D'Alembert leur donnera la forme générale a + b√ −1.
Le suisse Euler introduira la notation a + ib et l'allemand Gauss en
généralisera l'utilisation.
FIN
Les nombres sont
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