Term S Obligatoire 2010-2011/Corriges exercices 6 7 8 9 lois de

Corrigés Exercices 6 ;7 ;8 et 9 Chapitre 9
Exercice 6 : Loi de désintégration radioactive :
Dans le chapitre 3 (Fonction exponentielle), nous avons vu que le nombre N d’atomes en
activité d’une substance radioactive vérifie la relation N' ( t ) = −λN ( t ) , où λ est une
constante dépendant de la substance. Par conséquent, si N 0 désigne le nombre d’initial
−λ t
d’atomes N 0 = N ( t = 0 ) , on a alors N ( t ) = N 0 e .
Nous admettrons que la probabilité pour un atome d’avoir été désintégré avant l’instant donné
t est égale à la proportion d’atomes désintégrés à l’instant t par rapport à la quantité initiale.
On note X la variable aléatoire égale à l’instant où un atome donné se désintègre.
a. Justifier que la loi de probabilité de X est une loi exponentielle. Quel est sont paramètre.
Corrigé :
P( X < t ) =
nombre d' atomes dé sin tégrés à l' ins tan t t N 0 − N ( t )
=
nombre d' atomes à l' ins tan t initial
N0
N0 − N( t )
N 0 e − λt
N( t )
P( X < t ) =
=1−
=1−
= 1 − e − λt
N0
N0
N0
− λt
t
t
= ∫0 λe −λx dx par conséquent p( X < t ) = ∫0 λe −λx dx ce qui signifie que
que la loi de probabilité de X est une loi exponentielle de paramètre λ
or 1 − e
b. La demi-vie d’un atome radioactif est la valeur de T telle que P( X < T ) = 0.5
(La demi-vie d’un atome radioactive est donc le temps nécessaire pour que la moitié des
atomes d’un échantillon donné se désintègre).
Le phosphore 32 a une demi-vie de 14,2 jours.
Calculer le paramètre de la loi X pour le phosphore 32.
Ici T = 14,2 donc P( X < 14,2 ) = 0.5 , or p( X < 14,2 ) = ∫
14 ,2
0
λe −λx dx = 1 − e −14 ,2 λ
= 0 ,5 donc e −14 ,2 λ = 0,5 donc ln( e −14 ,2 λ ) = ln( 0 ,5 )
− ln( 0 ,5 )
Donc − 14,2λ = ln( 0 ,5 ) et λ =
≈ 0 ,0488
14,2
D’où 1 − e
−14 ,2 λ
Calculer la probabilité pour qu’un atome de phosphore 32 se désintègre durant la première
semaine.
P( X < 7 ) = 1 − e −0 ,0488×7 ≈ 0 ,289
Calculer la probabilité pour qu’un atome de phosphore 32 se désintègre après 30 jours.
P( X ≥ 30) = P( X < 30) = 1 − P( X < 30 ) = 1 − ( 1 − e −0 ,0488×30 ) = e −0 ,0488×30 ≈ 0 ,231
Exercice 7 : ( Bac 2003)
Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent
être bloqués par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres, la présence de
troupeaux sur la route, etc…
Un autocar part de son entrepôt. On note D la variable aléatoire qui mesure la distance en
kilomètres que l’autocar va parcourir jusqu’à ce qu’il survienne un incident.
On admet que D suit une loi exponentielle de paramètre λ = 1 / 82 , appelée aussi loi de
durée de vie sans vieillissement.
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1. Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit
a) comprise entre 50 et 100 km b) supérieure à 300 km
Corrigé :
Définition
p (50 ≤ D ≤ 100 ) =
λ=
100
100
∫50
1
50
100
82 −
−
 λe −λ x 
−λ x
−50 λ
−100 λ
82
λe dx = 
=e
−e
= e − e 82 ≈ 0.25

 − λ  50
p (D > 300 ) = 1 − p(0 ≤ D ≤ 300 ) = 1 − ∫0 λe
300
−λ x
−λ x
λ=
300
1
82
300
−
 λe 
−300 λ
dx = 1 − 
=e
= e 82 ≈ 0.026

 − λ 0
2 Sachant que l’autocar a déjà parcouru 350 km sans incidents , quelle est la probabilité qu’il
n’en subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres ?
Corrigé : Notons A l’événement «l’autocar a déjà parcouru 350 km sans incidents »
Donc A = (D ≥ 350)
Et B l’événement l’ »autocar n’aura pas d’accident dans la distance comprise entre 350 km et
350+25 km » : Donc B = (350 ≤ D ≤ 350 + 25)
Nous devons alors calculer
−
p ( A ∩ B ) p( B ) e
p A (B ) =
=
=
p( A )
p( A )
350
82
−e
e
−
−
350+ 25
82
350
82
=1− e
−
25
82
≈ 0.26
Remarque : on aurait pu utiliser ici la propriété caractéristique de la loi exponentielle ( ou loi
de la durée de vie sans vieillissement :
" oubli du passé"
p A (B ) = p( D≥350 ) (350 ≤ D ≤ 350 + 25)
3. on note E( D ) = lim
(∫ λxe
b
b→+∞ 0
−λ x
=
)
p (0 ≤ D ≤ 25) = 1 − e
−
25
82
≈ 0.26
dx , calculer E( D ) ( cette valeur représente la distance
moyenne parcourue sans incidents).
Corrigé : Voir Exercice 5 traité en cours : si X suit une loi exponentielle de paramètre λ
on note par définition E( X ) = lim
(∫ λxe
b
b→+∞ 0
−λ x
)
dx , on a montré que E( X ) = 1 / λ
4. L’entreprise possède N 0 autocars, les distances parcourues par chacun des autocars entre
l’entrepôt et le lieu où survient l’incident sont des variables aléatoires deux à deux
indépendantes, et de même loi exponentielle de paramètre λ = 1 / 82 .
d étant un réel positif, on note X d , la variable aléatoire égale au nombre d’autocars n’ayant
subi aucun incident après avoir parcouru d kilomètres.
−λd
a) Montrer que X d suit une loi binomiale de paramètres N 0 et e
Corrigé : Considérons l’épreuve de Bernoulli définie par : Le succès S : « L’autocar a
−λ d
parcouru une distance D ≥ d » donc p = p( D ) = e
. X d est alors la variable aléatoire
qui compte le nombre de succès dans la répétition 40 fois successives et de manière
indépendante de l’épreuve de Bernoulli définie ci-dessus. Par définition, X d suit alors une loi
binômiale de paramètres n=40 et p = e
−λ d
d
− 

82
c’est à dire X d ∝ B n = 40; p = e 




b) Donner le nombre moyen d’autocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru
d kilomètres.
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Corrigé : ce nombre est E ( X d )
Espérance d ' une loi binômiale
=
np = 40e
−
d
82
Exercice 8 : (Bac 2006). Partie A :
Soit X une variable aléatoire continue qui
suit une loi exponentielle de paramètre λ .
La courbe ci-contre donne la fonction densité
associée à cette loi.
1. Interpréter sur le graphique la probabilité
P( X ≤ 1)
Corrigé :
P( X ≤ 1) = ∫O f ( x )dx c’est l’aire du
123
t
≥0
domaine D délimité par la courbe,
l’axe des abscisses et les droites d’équations
x = 0 et x = 1
D = {( x; y ) ∈ R 2 / 0 ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ f ( x )}
2. Indiquer sur le graphique où se lit
directement le paramètre λ
− λx
Corrigé : f ( x ) = λe
Donc f ( 0 ) = λ
Dans la suite on pose λ = 1.5
3.Calculer P( X ≤ 1) ; P( X ≥ 2 ) ; P(1 ≤ X ≤ 2 )
Corrigé :
P( X ≤ 1) = 1 − e −1,5×1 ≈ 0 ,777
P( X ≥ 2 ) =1 − P( X < 2 ) = e −1,5×2 ≈ 0 ,05
[
P(1 ≤ X ≤ 2 ) = ∫1 1,5e −1,5t dt = − e −1,5t
2
4. Calculer E( X ) = lim
(∫ 1,5xe
b
−1,5 x
b→+∞ 0
]
2
1
dx
= e −1,5 − e −3 ≈ 0,173
)
Corrigé : Voir Exercice 5 traité en cours : si X suit une loi exponentielle de paramètre λ
on note par définition E( X ) = lim
Donc E( X ) = 1 / 1,5 = 2 / 3
(∫ λxe
b
b→+∞ 0
−λ x
)
dx , on a montré que E( X ) = 1 / λ
Partie B : Une machine outil fabrique des cylindres. On mesure l’écart, en dixièmes de
millimètres, entre le diamètre des cylindres et la valeur de réglage de la machine.
On suppose que cet écart suit une loi exponentielle de paramètre λ = 1,5
Si l’écart est inférieur à 1, le cylindre est accepté. Si l’écart est compris entre 1 et 2, on
procède à une rectification qui permet d’accepter le cylindre dans 80% des cas.
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Si l’écart est supérieur à 2, le cylindre est refusé.
1. On prélève au hasard un cylindre dans la production.
−3
a. Montrer que la probabilité qu’il soit accepté est égale à 0,915 à 10 près.
On peut faire un arbre ( X < 1) = écart inférieur à 1 ;
(1 ≤ X ≤ 2) = écart compris entre 1 et 2
( X > 2) = écart inférieur à 2 ;
A =accepté
A refusé
X<1 le cylindre est accepté
0,777
0,173
Accepté après rectification
1<=X<=2
0,8
0,2
Refusé après rectification
0,05
X>1 le cylindre est refusé




A = ( X < 1) ∪ (1 ≤ X ≤ 2 ) ∩ 
AR
{

accepté
après
rectidicat
ion







p( A ) = p( X < 1) + p (1 ≤ X ≤ 2) ∩ 
AR
{

accepté
après
rectidicat
ion



p( A ) = p( X < 1) + p( (1 ≤ X ≤ 2) p(1≤ X ≤2 ) ( AR )
p( A ) = 0 ,777 + 0 ,173 × 0 ,8 = 0 ,915
b. Sachant qu’il est accepté, quelle est la probabilité qu’il ait subit une rectification ?
Corrigé :




p (1 ≤ X ≤ 2 ) ∩ 
AR
{

accepté
après
rectidicat
ion

p( A ∩ R )

 0 ,173 × 0 ,8
pA( R ) =
=
=
≈ 0 ,151
p( A )
p( A )
0 ,915
2. On prélève de manière indépendante dix cylindres de la production. On suppose que ce
prélèvement est assimilable à un tirage successif avec remise dans une urne.(tirages
indépendants)
a. Quelle est la probabilité que les dix cylindres soient acceptés ?
corrigé : soit Y la variable aléatoire qui compte le nombre de cylindres acceptés
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Y suit une loi binomiale de paramètres B(10,0,915)
10 
p( Y = 10 ) =  0 ,91510 = 0 ,91510 ≈ 0 ,411
10 
b. Quelle est la probabilité pour qu’au moins un cylindre soit refusé ?
L’événement contraire est aucun cylindre n’est refusé= 10 cylindres sont acceptés
P(qu’au moins un cylindre soit refusé )=1-P(Y=10)=1-0,411=0,589
Exercice 9 : (Bac 2006).
1. Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un ballon afin de le
crever. A chacun de ses tirs, il a la probabilité 0,2 de crever le ballon. Le tireur s’arrête quand
le ballon est crevé. Les tries successifs sont supposés indépendants.
a. Quelle est la probabilité qu’au bout de deux tirs le ballon soit intact ?
Corrigé : Préambule : Considérons l’épreuve de Bernoulli définie par le succès S
Le ballon est crevé à l’issue d’un tir , donc p = p( S ) = 0,2 .
Soit n ∈ N * , notons X n la variable aléatoire qui compte le nombre de ballons crevés à
l’issue de n tirs successifs et indépendants. Par définition, X n suit alors une loi binômiale de
paramètres n et p = 0,2 c’est à dire X n ∝ B(n; p = 0,2 ) .
Et par conséquent pour tout
n
 n
 n
n−k
0 ≤ k ≤ n p ( X n = k ) =   p k (1 − p ) =  0.2 k 0.8 n −k =  0.2 n × 4 n −k
k 
k 
k 
Fin du Préambule :
L’événement A= « au bout de deux tirs le ballon est intact » est alors X 2 = 0
 2
0
Et p ( X 2 = 0 ) =  0.2 × 4 = 0.2 × 4 = 0.64
2
2
2
2
b. Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ?
Corrigé : Deux tirs suffisent pour crever le ballon est l’événement ( X 2 = 0 )
Donc p ( X 2 = 0 ) = 1 − 0.64 = 0.36
c. Quelle est la probabilité pn que n tirs suffisent pour crever le ballon ?
Corrigé : n tirs suffisent pour crever le ballon est l’événement ( X n = 0 )
Donc p n = p ( X n = 0 ) = 1 − p ( X n = 0 ) = 1 − 0 ,8
n
d. Pour quelles valeurs de n a-t-on pn ≥ 0.99 ?
Corrigé : pn ≥ 0.99 ⇔ 1 − 0.8 ≥ 0.99 ⇔ 0.01 ≥ 0.8 ⇔ ln( 0.01 ) ≥ n ln( 0.8 )
n
et ln( 0.01 ) ≥ n ln( 0.8 )
n
⇔ n≥
ln( 0.8 )< 0
ln( 0.01 )
≈ 20,64 , donc n ≥ 21
ln( 0.8 )
2. Ce tireur participe au jeu suivant :
Dans un premier temps il lance un jet tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1
à 4 ( la face obtenue avec un tel dé est la face cachée) ; Soit k le numéro de la face obtenue.
Le tireur se rend alors au stand de tir et il a le droit à k tirs pour crever le ballon.
Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à 0.4096
(on pourra utiliser un arbre pondéré).
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Corrigé : on peut faire un arbre suivant les valeurs de k .
k peut les valeurs 1 ;2 ;3 ou 4 avec la probabilté 1/ 4
l’événement « crever le ballon » est alors la réunion des 4 suivants événements

 1

(k = 1) ∩ (1
X 1 = 0 ) ; avec p (k = 1) ∩ ( X 1 = 0 ) = (1 − 0.8)

424
3
1
424
3 4
1tir suffit
1tir suffit 


 1

( k = 2 ) ∩ ( X 2 = 0 ) avec p ( k = 2 ) ∩ ( X 2 = 0 ) = (1 − 0.8 2 )

1
424
3
1
424
3 4
2 tirs suffisent
2 tirs suffisent 


 1

( k = 3 ) ∩ ( X 3 = 0 ) avec p ( k = 3 ) ∩ ( X 3 = 0 ) = (1 − 0.83 )

1
424
3
1
424
3 4
3 tirs suffisent
3 tirs suffisent 


 1
( k = 4 ) ∩ ( X 4 = 0 ) avec p ( k = 4 ) ∩ ( X 2 = 0 ) = (1 − 0.8 4 )

1
424
3
1
424
3 4
4 tirs suffisent
4 tirs suffisent 

Ces événements étant deux à deux incompatibles, la probabilité de leur réunion est alors
p=
1
(
4 − (0.8 + 0.8 2 + 0.83 + 0.8 4 )) ≈ 0.4096
4
3. Le tireur décide de tester le dé tétraédrique afin de savoir s’il est bien équilibré ou s’il est
pipé. Pour cela il lance 200 fois ce dé et il obtient le tableau suivant :
1 2 3 4
Face k
Nombre de sorties de la face k 58 49 52 41
a. calculer les fréquences de sorties f k observées pour chacune des faces.
Corrigé :
2
3
4
Face k 1
58/200 49/200 52/200 41/200
fk
2
1

b. On pose d ² = ∑k =1  f k −  . Calculer d ²
4

Corrigé : d ² = 0,00375
4
c. On effectue maintenant 1000 simulations des 200 lancers d’un dé tétraédrique bien
équilibré et on calcule pour chaque simulation le nombre d ² . On obtient pour les 1000
valeurs de d ² les résultats suivants :
Minimum D1
Q1
Médiane
Q3
D9
Maximum
0,00124
0,00192
0,00235
0,00281
0,00345
0,00452
0,01015
Au risque de 10% , peut-on considérer que ce dé est pipé ?
Corrigé : D’après le cours ( voir test de décision)
Puisque d ² = 0 ,00375 <= 0 ,00452 = D9 , donc ,au risque de 10% , on ne peut pas
considérer que ce dé est un dé pipé.
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