Première ES − DM n°13 − Pour le 2204

Première ES −DM n°13 −Pour le 22/04
Exercice 1 ( Type BAC). Dans un magasin, un bac contient une grande quantité de stylo-feutres en promotion.
On sait que 25 % de ces stylos-feutres sont verts. Kévin prélève au hasard et de manière indépendante 3stylo-feutres.
La probabilité, arrondie à 0 , 001 près, qu’il prenne au moins un stylo-feutre vert est environ égale à :
A : 0,250 ; B : 0,422 ; C : 0,578 ; D : 0,984.Justifier votre réponse.
Exercice 2 ( Type BAC). Dans un club de sport, Julien joue au basket. Il sait que, lors d’un lancer, sa probabilité
de marquer un panier est égale à 0 , 6. Julien lance le ballon quatre fois de suite. Les quatre lancers sont indépendants
les uns des autres.
1) Montrer que la probabilité que Julien marque aucun papier est égale à 0,025 6.
2) Calculer la probabilité que Julien marque au moins deux paniers.
Exercice 3. Durant les championnats du monde de biathlon qui ont eu lieu à Oslo en Norvège au début du mois de
mars 2016, Martin Fourcade a atteint, à chaque tir, le centre de la cible avec une probabilité égale à 0 , 7. À chaque
passage devant la cible, il a 5tirs consécutifs à faire de manière indépendante.
1) Justifier que cette expérience aléatoire peut se modéliser par un schéma de Bernoulli dont le succès
S est l’issue « le tir atteint le centre de la cible ». En préciser les paramètres net p. On notera E l’issue
contraire de S.
2) On désigne par X la variable aléatoire qui associe à une série de 5tirs, le nombre de tirs qui atteint le centre de
la cible. Déterminer la loi de probabilité de X, c’est-à-dire calculer les P(X=k)pour kallant de 0
à5.
3) On désigne maintenant par Y la variable aléatoire qui associe à une série de 5tirs, la longueur de la plus grande
séquence de tirs consécutifs ayant atteint le centre la cible. Préciser quelle valeur prend Ylorsque la
série de tirs est ESSSE puis SSESS. Donner tous les résultats possibles tels que : Y= 4 ;Y= 1
et Y=3.
4) (Bonus) Déterminer la loi de probabilité de Y. Je vous conseille fortement de faire un arbre pondéré car
la variable Yne suit pas une loi binomiale.
Exercice 4 ( Conjecture de Syracuse). À partir d’un entier a strictement positif, vous allez pouvoir construire
la suite unde Syracuse définie de la manière suivante :
u0=a;pour tout entier n⩾0,un+1=
un
2si unest pair.
3×un+1si unest impair.
1) Calculer les 15 premières termes de la suite unen prenant a= 6 . Existe-t-il un entier npositif
tel que un=1? Si oui, donner en plusieurs valeurs.
2) (Bonus) Construire un programme qui, à partir d’un entier astrictement positif, renvoie le plus
petit entier ntel que un= 1 . Pour la curiosité, il faut savoir qu’aucun mathématicien n’a encore été capable
d’expliquer ce phénomène. En revanche, les ordinateurs confirment ce phénomène pour tous les entiers inférieurs
à5×1018.
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