Première ES − DM n°13 − Pour le 2204

Première ES
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DM n°13
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Pour le 22/04
Exercice 1 (Type BAC). Dans un magasin, un bac contient une grande quantité de stylo-feutres en promotion.
On sait que 25 % de ces stylos-feutres sont verts. Kévin prélève au hasard et de manière indépendante 3 stylo-feutres.
La probabilité, arrondie à 0, 001 près, qu’il prenne au moins un stylo-feutre vert est environ égale à :
A : 0, 250 ; B : 0, 422 ; C : 0, 578 ; D : 0, 984. Justifier votre réponse.
Exercice 2 (Type BAC). Dans un club de sport, Julien joue au basket. Il sait que, lors d’un lancer, sa probabilité
de marquer un panier est égale à 0, 6. Julien lance le ballon quatre fois de suite. Les quatre lancers sont indépendants
les uns des autres.
1) Montrer que la probabilité que Julien marque aucun papier est égale à 0, 025 6.
2) Calculer la probabilité que Julien marque au moins deux paniers.
Exercice 3. Durant les championnats du monde de biathlon qui ont eu lieu à Oslo en Norvège au début du mois de
mars 2016, Martin Fourcade a atteint, à chaque tir, le centre de la cible avec une probabilité égale à 0, 7. À chaque
passage devant la cible, il a 5 tirs consécutifs à faire de manière indépendante.
1) Justifier que cette expérience aléatoire peut se modéliser par un schéma de Bernoulli dont le succès
S est l’issue « le tir atteint le centre de la cible ». En préciser les paramètres n et p. On notera E l’issue
contraire de S.
2) On désigne par X la variable aléatoire qui associe à une série de 5 tirs, le nombre de tirs qui atteint le centre de
la cible. Déterminer la loi de probabilité de X, c’est-à-dire calculer les P (X = k) pour k allant de 0
à 5.
3) On désigne maintenant par Y la variable aléatoire qui associe à une série de 5 tirs, la longueur de la plus grande
séquence de tirs consécutifs ayant atteint le centre la cible. Préciser quelle valeur prend Y lorsque la
série de tirs est ESSSE puis SSESS. Donner tous les résultats possibles tels que : Y = 4 ; Y = 1
et Y = 3.
4) (Bonus) Déterminer la loi de probabilité de Y . Je vous conseille fortement de faire un arbre pondéré car
la variable Y ne suit pas une loi binomiale.
Exercice 4 (Conjecture de Syracuse). À partir d’un entier a strictement positif, vous allez pouvoir construire
la suite (un ) de Syracuse définie de la manière suivante :
u0 = a ;
pour tout entier n ⩾ 0,
un+1
un
⎧
⎪
si un est pair.
⎪
2
= ⎨
⎪
⎪
⎩ 3 × un + 1 si un est impair.
1) Calculer les 15 premières termes de la suite (un ) en prenant a = 6. Existe-t-il un entier n positif
tel que un = 1 ? Si oui, donner en plusieurs valeurs.
2) (Bonus) Construire un programme qui, à partir d’un entier a strictement positif, renvoie le plus
petit entier n tel que un = 1. Pour la curiosité, il faut savoir qu’aucun mathématicien n’a encore été capable
d’expliquer ce phénomène. En revanche, les ordinateurs confirment ce phénomène pour tous les entiers inférieurs
à 5 × 1018 .
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