Cours médiatrice (Prof)

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DISTANCE D’UN POINT A UNE DROITE – TANGENTE A UN CERCLE
BISSECTRICE
I) Médiatrice d’un segment :
1) Définition :
Soit A et B deux points distincts du plan. La médiatrice du segment [AB]
est la droite perpendiculaire au segment [AB] passant par son milieu.
A
B
médiatrice de [AB]
2) Propriété 1 :
Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors ce point est
équidistant des extrémités du segment.
A
B
médiatrice de [AB]
M
Si M appartient à la médiatrice du segment [AB] alors AM = BM.

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3) Réciproque :
Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il appartient
à la médiatrice du segment.
A
B
médiatrice de [AB]
M
Si AM = BM alors M appartient à la médiatrice du segment [AB].
4) Propriété 2 :
Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes.
Ce point de concours est le centre du cercle circonscrit à ce triangle : le
cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
A
C
B
5) Exemple :
Soit A et B deux points distincts du plan. Le point M appartient à la
médiatrice du segment [AB] et au cercle de diamètre [AB].
1) Faire une figure.
2) Quelle est la nature du triangle AMB ? Justifier.

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II) Distance d’un point à une droite :
1) Définition :
On considère un point A et une droite (∆).
La distance du point A à la droite (∆) est la plus petite des longueurs entre
le point A et un point quelconque de (∆). On la note d (A , (∆)).
A
(∆)
O
M
N
P
2) Activité :
3) Propriété :
La perpendiculaire à la droite (∆) qui passe par le point A coupe la
droite (∆) en un point H.
La longueur AH est la distance du point A à la droite (∆).
d (A , (∆)) = AH
A
(∆)
O
H
M
N
P
4) Remarques:
Pour tout point M de (∆), différent du point H : AM > AH .
Pour déterminer la distance d’un point à une droite, on construit la
perpendiculaire à cette droite passant par le point.

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5) Cas particulier:
Lorsque le point A appartient à la droite (∆), la distance du point A à la
droite est égale à 0.
(∆)
H
A
d(A , (∆)) = AH = 0 car les points A et H sont confondus.
III) Tangente à un cercle :
1) Définition :
Soit C un cercle et A un point appartenant à ce cercle.
La tangente au cercle C en A est la droite dont le seul point commun
avec ce cercle est le point A.
C
A
(d)
(d) est la tangente
au cercle C en A
2) Activité :

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3) Propriété :
Soit C un cercle de centre O et A un point appartenant à ce cercle.
Si la droite (d) est tangente au cercle C en A, alors la droite (d) est
perpendiculaire au rayon [OA].
C
O
(d)
au cercle C en A donc
(d) est perpendiculaire à [OA].
(d) est la tangente
A
4) Réciproque :
Soit C un cercle de centre O et A un point appartenant à ce cercle.
Si une droite passe par le point A et est perpendiculaire au rayon [OA]
alors cette droite est la tangente au cercle C en A.
C
O
(d)
la tangente au cercle C en A.
(d) est perpendiculaire
A
à [OA] en A donc (d) est
5) Remarque :
Pour construire une tangente à un cercle en un point, on construit la droite
passant par ce point et perpendiculaire au rayon, d’extrémités ce point et
le centre du cercle.
Pour montrer qu’une droite est tangente à un cercle en un point, on montre
qu’elle passe par ce point et qu’elle est perpendiculaire au rayon,
d’extrémités ce point et le centre du cercle.