TD 4
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TD 4 de physique des plasmas Mouvements collectifs - Echelles temporelles caractéristiques M1 Physique fondamentale 2014-2015 On notera ε0 la permittivité diélectrique absolue du vide, e et m la charge et la masse de l’électron. Exercice 1 – Eclatement cylindrique coulombien et pulsation plasma On considère un faisceau cylindrique infini d’électrons initialement au repos. A l’instant t = 0, le rayon de ce cylindre est R et la densité d’électrons est homogène et vaut ne. Sous l’effet des forces coulombiennes répulsives, ce faisceau a tendance à éclater radialement. On appelle ξ(r,t) le déplacement radial à l’instant t des électrons situés dans le cylindre de rayon initial r. On a donc à t = 0 : ξ(r ,0) = 0 et ∂ξ(r , t ) = 0. ∂t 1. Justifier pourquoi la force magnétique peut être négligée par la suite. 2. Calculer le champ électrique E(r+ξ,t) à l’intérieur du faisceau en fonction de r et t. 3. Appliquer le principe fondamental de la dynamique à un électron et établir l’équation différentielle du 2ème ordre vérifiée par ξ(r,t). 4. En déduire l’équation différentielle du 1er ordre vérifiée par u(r,t) = r + ξ(r,t). 5. Montrer que : ωp ⋅ t (r , ξ) = ∫ ξ r 0 dx ln (1 + x ) Donner l’expression de ωp en fonction des grandeurs caractéristiques du faisceau. 6. Quelle est la signification physique de t(R, R) ? En déduire celle de ωp. Exercice 2 – Migration de charges dans un plasma collisionnel Considérons un plasma sphérique constitué de protons, supposés infiniment lourds, donc au repos, et d’électrons mobiles en interaction collisionnelle avec les protons. Cette sphère de plasma est chargée négativement en raison d’un excès initial d’électrons par rapport aux protons. A un instant initial t = 0, cette sphère est donc globalement chargée avec une densité volumique de charge ρ0. Sous l’effet de la répulsion coulombienne et des collisions, cette densité volumique de charges évolue en fonction du temps et nous la noterons ρ(t) à un instant t. Cette densité volumique de charge crée un champ électrique E et ce champ met en mouvement les électrons (les protons sont immobiles durant le processus) créant ainsi une densité volumique de courant J. Compte tenu des collisions entre électrons et protons, le courant électronique obéit à la loi d’Ohm J = σE où σ est la conductivité électrique, supposée homogène. 1. Quelle est l’unité de σ ? 2. A l’aide de l’équation de Maxwell-Gauss et du principe de conservation des charges, établir l’équation différentielle du 1er ordre vérifiée par ρ. Exprimer ρ(t) en fonction des données du problème. 3. Quel est le temps caractéristique τM (temps de Maxwell) de migration de l’excès de charge électronique vers la surface de la sphère ionique ? En introduisant l’expression de Lorentz de la conductivité : σ = Ne2/mν où ν est la fréquence de collision entre protons et électrons, exprimer τM en fonction de ν et ωp. Commenter. Exercice 3 – Oscillation d’une sphère de plasma Considérons une sphère de rayon R constituée par un plasma neutre de densité ionique ni homogène et de densité électronique ne, homogène : n = ni = ne. Les ions sont donc des protons. Sous l’effet d’une perturbation initiale, la composante électronique du plasma est déplacée. Cette perturbation ne modifie pas la forme sphérique de la population électronique et déplace juste le centre de la sphère électronique. Ainsi, on obtient deux sphères homogènes, une sphère ionique, formée de protons, et une sphère électronique, dont les centres sont séparés par une distance d telle que d << R. On notera d le vecteur décrivant ce déplacement. + + + + + + + + + + + + + t>0 + +++ + + d + + + + + + + + + 1. A l’aide du théorème de Gauss, calculer le champ électrique E dans le volume commun aux deux sphères. On se limitera à un calcul sur l’axe du déplacement. 2. A l’aide du principe fondamental de la dynamique, déduire l’équation différentielle du 2ème ordre vérifiée par d. Quelle est la pulsation caractéristique associée à ce type de perturbation ? Commenter.
