MECANIQUE QUANTIQUE • P. Foury, Laboratoire de Physique des Solides • tel. : 01 69 15 60 55 • email : pascale.foury@u‐psud.fr MECANIQUE ONDULATOIRE DE SCHRODINGER Rappel de cours 1) Dualité onde‐corpuscule : Particule E, P Onde k, , ) tel ħ E=ħh et =h/p ou (même que pour un photon) 2) Mvt d’1 particule associé à une onde = Etat d’un système physique = postulat 1 , : fonction d’onde Complexe Univoque (r, t , ) Bornée ǀ , )ǀ2 est une quantité définie De carré sommable , et , ‘ sont continues car , ’’ intervient dans S 1 ǀ , )ǀ2dr=dP : Probabilité de présence ( ǀ , )ǀ2 2 ǀ , )ǀ : Densité de Probabilité de présence 3) Onde plane progressive dans la direction x croissant : ψ , Paquet d’onde : Somme d’ondes planes : ψ , ∑ 1 OP 2 2 OP x ∆ ∆ A(k) k N OP d’enveloppe A(k) ħ Ordre de grandeur : Si objet macroscopique : p donc on ne voit pas osciller la fonction d’onde Si objet microscopique : électron p et =12.5Å 4) Postulat 3 : Evolution de , ħ2 Δ ,t) +V( ,t) Energie cinétique A 1D : [ ħ2 EQUATION DE SCHRODINGER dépendant de t ,t) ħ ,t) Energie potentielle +V(x,t)] ,t) ħ x,t) Quelques exemples a) Systèmes conservatifs/états stationnaires Energie totale Ec+Ep=constante On considère V indép. de t On cherche des solutions sous la forme ħ2 [ [ [ +V +V ħ2 +V ħ ħ ħ2 ,t)= ħ / ħ E = ,t)= = Avec ħ /ħ vérifie : ħ [ ln ħ2 +V ħ =C /ħ Etats sta onnaires ≠ indep. de t mais ǀ ,t) ǀ2= ǀ ǀ2 b) Particule libre : V=0 2 ħ2 2 À 1D , 2 , ħ ≠ , , , , ħ2 2 ħ2 2 Et 2 ħ 2 2 ħ 2 2 RESOLUTION DE L’EQUATION DE SCHRODINGER INDEPENDANTE DE t ħ2 +V + Ou ħ2 0 Equationdiff. dusecondordresanstermeen ‐ OnnesaitlarésoudrequesiV E Marche La barrière Le puits E cste Comparaison classique / quantique pour la barrière Que se passe‐t‐il a une discontinuité de potentiel? a) Discontinuité finie de potentiel : continu continue ‘ continue car ‘ ‘ est dans S b) Discontinuité infinie de potentiel : (xbord)=0 E Résolution de S indépendante de t : Cas général I II III E 1) Ecrire équation de S dans chaque région : ħ2 +V 2) Ecrire la solution générale de chaque équation dans chaque région on introduit 2 constantes 3) Simplifier les solutions générales = supprimer des constantes = du bon sens 4) Sur chaque discontinuité appliquer les règles précédentes: conditions aux limites Puits de potentiel carré infini I Pour 0<x<a V(x)=0 V II a 0 1 2 ħ2 2 2 sin 2) Solution générale : 3) Conditions aux limites : 0 sin Or 0 et avec ħ ħ2 ħ2 2 0 0 = sin 0 ka=n 0 =0= ) Puits de potentiel carré infini : Solutions ( Niveau fondamental : n=1 ħ2 2 sin , ∗ , ∗ ħ2 ) Premier niveau excité : n=2 4ħ2 4 2 sin a=10‐10m ħ2 . ∗ ∗ , ∗ 38 152 2 Puits de potentiel carré infini : Solutions → 1 2 → 1 2 sin2 2 1 2 2 1 2 2 / → / 2 / 2 sin2 2 2 / 4 1 2 Comme intuité au regard de la courbe 0 a x 1 2 2 La marche de potentiel à 1D I II E Marche 0 x E>V0 seul cas en méca classique Description classique : Car 1 onde incidente et 1 transmise : ou et Description quantique : réflexion partielle+transmission Région I : ħ2 Région II : + ħ2 0 + ħ2 ħ2 0 V0 La marche de potentiel à 1D continu A+B=C ′ continu 1 1 2 A A A A A 1 R= A A A A 1 1= T= 1‐R=1‐( = = 2 = E<V0 E‐V0<0 La marche de potentiel à 1D : Cas physique de la surface d’un matériaux pour un électron libre Description quantique seule possible : Transmission possible Région I : + ħ2 0 ′ 0 Région II : ħ2 0 + ħ2 ħ2 0 ′ 0 A+B=C 1 A ik 1 A A 2 A 2 et A R= 1 R+T=1 T=0 0 E<V0 Onde incidente Onde évanescente : Ce‐x Onde réfléchie Région I Région II : marche Même chose avec une barrière finie de potentiel Effet tunel Facteur de transmission d’une barrière de potentiel : Application au microscope à effet tunnel ou STM C A E 2 F D ħ2 B I 0 II III a 2 2 ħ2 1) Région I : Région II : Région III : + + + ħ2 ħ2 ħ2 0 ′ 0 ′ 0 On pose A=1 et la 1+B=C+D Continuité de et ’ ik(1‐B)=K(D‐C) ′ 1+B=C+D 1 1+B=C+D 1 3) ka<<1 Barrière infiniment mince =1 et 1 1+B=C+D 1 1 ) 1 1 4) ka>>1 Barrière infiniment épaisse (ou haute ou m : particule lourde) ≫1 et D<<C 2 ħ2 2C 1 soit K V0‐E : marche = = 1+B=C 1 2 2 2F → 1 et B=0 car A=1 La barrière n’existe pas T=1 : transmission totale 1 1 = + ħ2 ħ2 ħ2 ħ4 = ħ2 ħ2 =+ ħ4 = =T ħ4 5) T= Ka<<1 shKa 1 Ka>>1 0 T(E) 1 shKa T = ~ 1 =2eV et T=~ ∗ ∗ ∗ T ∗ ∗ K . ∗ , T= ∗ ∗ , ∗ 5.0888 ∗ 10 0,0246=2,46% Ka=5.0888 ∗ 10 *5*10 ∆ 2 ∆ ∆ 2,54 ≫ 1! ∆ 0,1 ∗ , Calcul sans approx : ∗ ∗ T= 0,0245 =2,45% ∗ ∗ . APPLICATION MICROSCOPE a EFFET TUNEL ∗ 9.8 ∗ 10 0,1Å