MECANIQUE QUANTIQUE

MECANIQUE QUANTIQUE
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P. Foury, Laboratoire de Physique des Solides
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tel. : 01 69 15 60 55
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email : pascale.foury@u‐psud.fr
MECANIQUE ONDULATOIRE DE SCHRODINGER
Rappel de cours 1) Dualité onde‐corpuscule :
Particule E, P
Onde
k, , ) tel ħ
E=ħh et =h/p ou (même que pour un photon)
2) Mvt d’1 particule associé à une onde = Etat d’un système physique = postulat 1  ,
: fonction d’onde  Complexe
 Univoque (r, t  , )
 Bornée ǀ , )ǀ2 est une quantité définie
 De carré sommable
  , et , ‘ sont continues car  , ’’ intervient dans S
1
 ǀ , )ǀ2dr=dP : Probabilité de présence ( ǀ , )ǀ2
2
 ǀ , )ǀ : Densité de Probabilité de présence
3) Onde plane progressive dans la direction x croissant : ψ ,
Paquet d’onde : Somme d’ondes planes : ψ ,
∑
1 OP
2
2 OP
x
∆ ∆
A(k)
k
N OP d’enveloppe A(k)
ħ
Ordre de grandeur : Si objet macroscopique : p donc  on ne voit pas osciller la fonction d’onde Si objet microscopique : électron p et =12.5Å
4) Postulat 3 : Evolution de  ,
ħ2
Δ
,t) +V( ,t)
Energie cinétique
A 1D : [
ħ2
 EQUATION DE SCHRODINGER dépendant de t
,t) ħ
,t)
Energie potentielle
+V(x,t)]
,t) ħ
x,t)
Quelques exemples a)
Systèmes conservatifs/états stationnaires  Energie totale Ec+Ep=constante
On considère V indép. de t
On cherche des solutions sous la forme ħ2
[
[
[
+V
+V
ħ2
+V
ħ
ħ
ħ2
,t)=
ħ
/
ħ
E
=
,t)=
=
Avec ħ
/ħ
vérifie :
ħ
[
ln
ħ2
+V
ħ
=C
/ħ
Etats sta onnaires ≠ indep. de t mais
ǀ
,t) ǀ2= ǀ
ǀ2
b) Particule libre : V=0
2
ħ2
2
À 1D ,
2
,
ħ
≠
,
,
,
,
ħ2
2
ħ2
2
Et
2
ħ
2
2
ħ
2
2
RESOLUTION DE L’EQUATION DE SCHRODINGER INDEPENDANTE DE t
ħ2
+V
+
Ou ħ2
0
Equationdiff. dusecondordresanstermeen
‐ OnnesaitlarésoudrequesiV
E
Marche
La barrière
Le puits
E
cste
Comparaison classique / quantique pour la barrière
Que se passe‐t‐il a une discontinuité de potentiel?
a)
Discontinuité finie de potentiel :
continu 
continue
‘ continue car ‘ ‘ est dans S
b) Discontinuité infinie de potentiel :
(xbord)=0
E
Résolution de S indépendante de t : Cas général
I
II
III
E
1) Ecrire équation de S dans chaque région : ħ2
+V
2) Ecrire la solution générale de chaque équation dans chaque région on introduit 2 constantes
3) Simplifier les solutions générales = supprimer des constantes = du bon sens 4) Sur chaque discontinuité appliquer les règles précédentes: conditions aux limites
Puits de potentiel carré infini
I
Pour 0<x<a V(x)=0
V
II
a
0
1 2
ħ2
2
2
sin
2) Solution générale : 3) Conditions aux limites : 0 
sin
Or 
0
et avec ħ
ħ2
ħ2
2
0
0
=
sin
0  ka=n
0 =0=
)
Puits de potentiel carré infini : Solutions (
Niveau fondamental : n=1
ħ2
2
sin
,
∗ , ∗
ħ2
)
Premier niveau excité : n=2
4ħ2
4
2
sin
a=10‐10m 
ħ2
.
∗
∗ , ∗
38
152
2
Puits de potentiel carré infini : Solutions
→
1
2
→
1
2 sin2
2
1
2
2
1
2
2

/
→ /
2
/
2
sin2
2
2
/
4
1
2
Comme intuité au regard de la courbe
0
a
x
1
2
2
La marche de potentiel à 1D
I
II
E
Marche
0
x
E>V0  seul cas en méca classique
Description classique :
Car 1 onde incidente et 1 transmise : ou et Description quantique : réflexion partielle+transmission
Région I :
ħ2
Région II : +
ħ2
0
+
ħ2
ħ2
0
V0
La marche de potentiel à 1D
continu
A+B=C
′ continu
1
1
2
A
A
A
A
A
1
 R=
A
A
A
A
1
1=
 T= 1‐R=1‐(
=
=
2
=
E<V0  E‐V0<0
La marche de potentiel à 1D :
Cas physique de la surface d’un matériaux pour un électron libre
Description quantique seule possible : Transmission possible
Région I :
+
ħ2
0
′ 0
Région II : ħ2
0
+
ħ2
ħ2
0
′ 0
A+B=C
1
A
ik 1
A
A
2
A
2

et A
R=
1

R+T=1  T=0
0
E<V0
Onde incidente
Onde évanescente : Ce‐x
Onde réfléchie
Région I
Région II : marche
Même chose avec une barrière finie de potentiel  Effet tunel
Facteur de transmission d’une barrière de potentiel : Application au microscope à effet tunnel ou STM
C
A
E
2
F
D
ħ2
B
I
0 II
III
a
2
2
ħ2
1) Région I : Région II : Région III : +
+
+
ħ2
ħ2
ħ2
0
′
0
′
0
On pose A=1 et la
1+B=C+D
Continuité de et ’ ik(1‐B)=K(D‐C)
′
1+B=C+D 1
1+B=C+D 1
3) ka<<1 Barrière infiniment mince
=1 et 1
1+B=C+D
1
1
)
1
1
4) ka>>1 Barrière infiniment épaisse (ou
haute ou m : particule lourde)
≫1 et D<<C
2
ħ2
2C
1

 soit K V0‐E : marche =
=
1+B=C
1
2
2 2F →
1 et B=0 car A=1
La barrière n’existe pas T=1 : transmission totale
1
1

=
+
ħ2
ħ2
ħ2
ħ4
=
ħ2
ħ2
=+
ħ4
=
=T
ħ4
5) T=
Ka<<1 shKa
1
Ka>>1
0  T(E)
1
shKa
T
= ~
1
=2eV et T=~
∗ ∗ ∗
T
∗ ∗
K
.
∗ ,
T=
∗
∗ , ∗
5.0888 ∗ 10
0,0246=2,46%
Ka=5.0888 ∗ 10 *5*10
∆
2 ∆
∆
2,54 ≫ 1!
∆
0,1
∗ ,
Calcul sans approx : ∗ ∗
T=
0,0245 =2,45%
∗ ∗
.
 APPLICATION MICROSCOPE a EFFET TUNEL
∗
9.8 ∗ 10
0,1Å