effet tunnel

EFFET TUNNEL
INTRODUCTION
V
I
V0
-L/2
0
II
III
+L/2
x
En mécanique newtonienne, lorsqu’une particule se trouve dans un puits de potentiel tel que
celui représenté ci-dessus, elle ne peut pas en sortir. Au cours des TD précédents, nous avons
vu que l’équation de Schrödinger admettait des solutions à l’extérieur d’un puits de potentiel,
lorsque le potentiel n’est pas infini dans ces régions et que l’énergie totale E de la particule est
inférieure à l’énergie potentielle V0. La particule pénètre quelque peu dans les régions I et III
qui lui seraient classiquement interdites. La pénétration est toutefois faible puisque la
décroissance de probabilité de présence Iψ(x)I2 est exponentielle quand on s’écarte des points
±L/2.
Ce phénomène purement quantique est lié à la nécessité d’associer une onde à la particule.
Un tel phénomène se retrouve en physique ondulatoire. Ainsi, en optique, une onde qui passe
d’un milieu plus réfrigent à un milieu moins réfringent subit la réflexion totale si l’angle
d’incidence est supérieure à l’angle limite de réfraction ; néanmoins le champ
électromagnétique pénètre dans le milieu moins réfringent sur une très faible épaisseur ; c’est
ce que l’on appelle l’onde évanescente. En mécanique quantique, la faible pénétration de
l’onde dans une région interdite à la particule classique associée est à l’origine de l’effet
tunnel. Cet effet a joué un rôle historique important en permettant de comprendre la radioactivité α, ce qui a constitué une des premières confirmations de la mécanique quantique.
ENONCE
Un faisceau d’électrons, non relativistes, de masse m, se déplace parallèlement à l’axe x’x,
de x’ vers x, et vient heurter une barrière de potentiel de hauteur V0 et d’épaisseur a. Dans ce
problème, on admet à priori que le faisceau incident se divise en un faisceau réfléchi et un
faisceau transmis. De telles hypothèses n’ont rien de restrictif : les amplitudes du faisceau
transmis ou du faisceau incident pouvant très bien être nulles. Le but du problème est de
déterminer le coefficient de transmission de la barrière en fonction de l’énergie cinétique des
particules.
V0
I
II
III
x’
x
a
PREPARATION
On envisage d’abord le cas où l’énergie cinétique des particules incidentes est supérieure à la
hauteur V0 de la barrière de potentiel. Pour la suite du problème, nous poserons :
k=
2mE
h2
α=
2m(V0 − E )
h2
k' =
2m( E − V0 )
h2
a) Ecrire l’équation de Schrödinger dans chaque région.
b) Donner l’expression générale de la solution de cette équation dans chaque région.
Quelles sont les conditions de raccordement relatives à la fonction d’onde et à sa dérivée
qui permettent de déterminer les constantes qui interviennent dans ces solutions. En
déduire les solutions de l’équation de Schrödinger dans chaque région.
PROBLEME
1) Le coefficient de transmission T de la barrière correspond au rapport du flux transmis
dans la région III sur le flux incident. Montrer que ce coefficient correspond au rapport de
l’intensité de l’onde transmise sur l’intensité de l’onde incidente (l’intensité est égale au
module au carré de l’amplitude). Calculer le coefficient de transmission T de la barrière,
lorsque l’énergie cinétique des particules incidentes est supérieure à la hauteur V0 de la
barrière de potentiel. Montrer que T est en général inférieur à l’unité. Comparer ce résultat
à celui de la mécanique classique.
A quelles conditions ce coefficient est-il égal à l’unité pour a, m, E, V0 donnés ?
Connaissez-vous un phénomène analogue en optique ?
Que deviennent les résultats précédents lorsque V0 est négatif, c’est à dire lorsque les
particules ont à franchir un puits de potentiel ?
2) On envisage maintenant le cas où l’énergie cinétique des particules incidentes est
inférieure à la hauteur V0 de la barrière de potentiel.
a) Reprendre les questions a) et b) de la préparation, puis calculer le coefficient de
transmission en fonction de a, m, E et V0.
b) Etablir des formules approchées pour le coefficient de transmission dans le cas où la
barrière est mince, puis dans le cas où la barrière est très épaisse. Que devient la
transparence d’une barrière quelconque lorsque l’énergie cinétique des particules
incidentes tend vers V0. Comparer ces résultats à ceux de la mécanique classique.
c) Soit X=E/V0. Tracer T(X).
3) Supposons que les régions I et III soient constituées de deux électrodes métalliques, le
métal choisi étant du tungstène. La première électrode est une plaque, la seconde est une
pointe. Ces deux électrodes sont séparées par une barrière de vide. La hauteur de la
barrière vue par les électrons est V0-E = 4,5 eV (travail de sortie du tungstène). Lorsque
l’on applique une tension V faible entre les deux électrodes, la densité de courant tunnel
peut s’écrire :
j = A.V .T
où A est une constante.
Donner l’expression de j, lorsque la largeur de la barrière est considérée comme épaisse
(~10 Å).
Sachant qu’il est possible de discerner des variations relatives de courant de l’ordre de
10%, évaluer la variation ∆a de a susceptible d’être discriminée pour a = 6 Å. Ceci
correspond en fait à la résolution en profondeur d’un microscope à effet tunnel.
(Rappel : m = 9,1 × 10-31 kg, h =6.62 × 10-34 Js)
ELEMENTS DE REPONSE
1) pour E>V0 :
1
T=
1+ (
2a) pour E<V0 :
3)
T=
k −k
) sin 2 (k ' a )
'
2kk
2
'2
1
k +α 2 2 2
1+ (
) sh αa
2αk
2
E (V0 − E )
2m
exp(−2a
(V0 − E ) )
2
h2
V0
∆a = 0.17Å
j = 16 AV
COMPLEMENT (voir intranet)
Comportement d’un paquet d’onde sur un puits de potentiel carré
Fonctionnement d’un microscope à effet tunnel
Article de revue sur le microscope à effet tunnel