Note sur le ratio d`information et la loi fondamentale de la gestion

Note sur le ratio d’information et la loi
fondamentale de la gestion active
Philippe Bernard
EURIsCO
Paris IX
Mars 2005

Le ratio d’information est devenu une des statistiques les plus cou-
ramment utilisées par les gérants pour évaluer leurs produits, utilisées par
les investisseurs pour évaluer leurs gérants avant de les embaucher ou de les
licencier. Il est également devenu, sous l’impulsion des travaux de Grinold
et Kahn ([Gri89], [GK00]) sur la gestion active. La décomposition proposée
notamment initialement par Grinold [1989] [Gri89] sous le nom de loi
fondamentale de la gestion active permet notamment de faire ap-
paraître l’habileté du gérant à anticiper l’évolution des alphas, l’échelle de
son activité, les contraintes de financement dans la détermination de ce ratio
d’information. Aussi ce résultat s’est révélé jouer un rôle considérable dans
le développement des stratégies actives (Clarke et alii [2002a, 2002b]
[CdST02] [CDSW02] et les travaux de la société Analytic Investors).
Cette note a pour objectif de faire le point sur cette littérature centrale
pour la gestion active. Aussi, elle présente quelques résultats essentiels sur
les ratios d’information avant d’exposer la loi fondamentale active et ses
conséquences.
1Lecadre
On considère un univers statique comprenant Jactifs financiers à partir
desquels les gérants considérés construisent leurs portefeuilles.1Les rende-
ments (aléatoires) des titres sont notés erj,levecteurlignedesJrendements
er. Le rendement espéré du titre jest noté rj,σij est sa covariance avec le
rendement du titre i. Le vecteur ligne des rendements espérés est noté r,enfin
la matrice (carrée) de covariance (Jlignes ×Jcolonnes) a pour symbole σ.
Chaque portefeuille est définit par les parts des titres qui entrent dans
sa composition. On note x(ou xp) le vecteur des parts d’un portefeuille
quelconque (ou du portefeuille p)où:
x:= £x1... xj... xJ¤T(1)
avec Test le symbole de la transposition d’un vecteur ou d’une matrice. Dès
lors que le vecteur xdéfinit un portefeuille, il doit vérifier la restriction :
1.x=1 (2)
1On pourrait étendre ce cadre en supposant que les éléments de base, les différents j,
sont ou des titres, ou des portefeuilles. Les portefeuilles pourraient alors parfois être donc
des portefeuilles de portefeuilles. Mathématiquement, ce qui est seulement essentiellement
est que l’on définit initialement des éléments caractérisés par des rendements aléatoires
que l’on combine linéairement.
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où 1est le vecteur ligne (1×J). Le rendement espéré du portefeuille p,noté
rp, est donné par :
rp=rxp(3)
et sa variance σ2
pest donnée par :
σ2
p=xpσxp(4)
2 Le ratio d’information
Le benchmark du gérant considéré est défini par le vecteur colonne xb,
son rendement espéré et sa variance sont définis en conséquence :
rb=rxb,σ
b=xbσxb
La distorsion (ou l’écart) du portefeuille ppar rapport au benchmark best
donc :
u=xp−xb(5)
Les variables ujainsi définies constitue les poids actifs de la littérature
et par construction leur somme est égale à zéro. La connaissance de cette
distorsion permet alors de calculer le rendement excédentaire du portefeuille
(par rapport au benchmark) ainsi que sa volatilité. En effet,sil’ondéfinit le
rendement excédentaire e dpar rapport au benchmark :
e
d=erp−erb
alors son espérance et sa volatilité s’écrivent :
d=ru
σd=√uTσu
Cette volatilité est évidemment la tracking error. Le ratio d’information
est alors donné par le ratio de ces deux valeurs (Goodwin [1998] [Goo98]) :
IR =d
σd
(6)
Comme on le voit, le ratio d’information qui historiquement a été proposée
dans les années 80 par la société BARRA est une généralisation du ratio de
Sharpe sous sa forme initiale. Il ne diffèrait en effet du ratio de Sharpe initial
que par la substitution du benchmark à l’actif sans risque. Cependant cette
différence initiale est devenue imperceptible depuis que Sharpe lui-même en
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1994 a redéfini son propre critère par rapport à des benchmarks. Cependant,
malgré cette fusion forcée le terme ratio d’information a perduré notamment
car il existe une seconde présentation de cette statistique qui la différencie
substantiellement du ratio de Sharpe tant dans son interprétation que dans
son utilisation pratique.
Cette seconde approche du ratio d’information suppose que les rende-
ments suivent un modèle factoriel simple. Le facteur unique est supposée
être (sans perte de généralité) le benchmark lui-même. Par conséquent, pour
chaque titre j,sonrendementerjsuit l’équation suivante :
erj=eαj+βjerb(7)
où eαjest le résidu non expliqué par le facteur. Les hypothèses supplémen-
taires caractérisant le modèle factoriel sont que les αsont non corrélés :
∀j:cov(eαj,erb)=0,∀i6=jcov(eαj,eαi)=0 (8)
Le rendement du portefeuille peut donc être décomposé de la manière sui-
vante :
erp=
J
X
j=1
xjerj
=
J
X
j=1
xberj+
J
X
j=1
ujerj
=erb+
J
X
j=1
uj¡eαj+βjerb¢
=erb+erb
J
X
j=1
ujβj+
J
X
j=1
ujeαj
Parmi les termes à droite de l’équation, erbestlerendementquelegérant
aurait s’il suivait parfaitement le benchmark. Le second terme erbPJ
j=1 ujβj
est le rendement excédentaire engendré par la sur- ou la sous-exposition au
risque systématique (induit ici par le benchmark), l’équivalent de la stratégie
de market-timing. Enfin, le dernier terme représente le rendement excéde-
naire induit par les risques spécifiques des différents actifs. La somme des
deux derniers termes représente donc le rendement excédentaire de la ges-
tion active. Pour diverses raisons, notamment la faiblesse dans de nombreuses
études du rendement du “benchmark timing”, on suivra la convention (adop-
tée par exemple par Grinold & Kahn [2000] [GK00]) consistant à ignorer
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cettecomposanteetàidentifier le rendement de la gestion active au seul
rendement excédentaire du risque spécifique :
eαp=
J
X
j=1
ujeαj(9)
Avec cette approche indicielle, et cette restriction sur le market timing, le
ratio d’information se redéfinit naturellement comme étant le ratio rendement
/risquedesalphas.Eneffet :
IR =d
σd
mais :
e
d=erp−erb
=Ãerb+erb
J
X
j=1
ujβj+
J
X
j=1
ujeαj!−erb
=erb
J
X
j=1
ujβj+
J
X
j=1
ujeαj
Commelemarkettimingestsupposénégligeable:
J
X
j=1
ujβj≈0
et donc : e
d=eαp
Le ratio d’information est donc alors donné par l’expression suivante :
IR =E[eαp]
σ(eαp)(10)
Dans la littérature cette présentation du ratio d’information est également
connu sous le nom du ratio alpha oméga2ou l’ appraisal ratio.
L’intérêt du ratio d’information ainsi présentée est qu’il est une statistique
informative de la valeur ajoutée du gérant actif. En effet, si l’on suppose que
l’investisseur évalue le résultat du gérant par un classique critère espérance
2Oméga étant généralement le symbole utilisé pour représenter σ(eαp).
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