4 Fonctions rationnelles

4 Fonctions rationnelles
4.1 Fonction rationnelle
Définition : Une fonction rationnelle est une fonction dont l’expression s’écrit sous la forme
d’un quotient de deux fonctions polynômes.
Exemples :•La fonction f(x) = x−5
x+ 2 est une fonction rationnelle car elle s’écrit sous la forme
d’un quotient de deux fonctions polynomiales u(x) = x−5 et v(x) = x+ 3.
•La fonction f(x) = x−3 + 1
x+ 2 est une fonction rationnelle car elle s’écrit sous la forme
d’un quotient de deux fonctions polynômiales ;
en effet f(x) = (x−3)(x+ 2) + 1
x+ 2 =x2+ 2x−3x−6 + 1 x+ 2 =x2−x−5 x+ 2 .
Remarque : L’ensemble de de définition d’une fonction polynomiale est l’ensemble des réels
pour lesquels le dénominateur de la fraction ne s’annule pas. Ainsi pour les deux exemples
précédents l’ensemble de définition est l’ensemble des réels privé de la valeur −2 : R− {−2}=
]− ∞ ;−2[∪]−2 ; +∞[.
Fonction inverse (rappel)
Propriété : La fonction inverse f(x) = 1
xdéfinie sur ] − ∞ ; 0[∪]0 ; +∞[ admet pour dérivée
la fonction f′(x) = −1
x2définie sur ] − ∞ ; 0[∪]0 ; +∞[.
La fonction inverse est donc décroissante sur chacun des deux intervalles ] − ∞; 0[ et ]0; +∞[.
Attention, on ne ne peut cependant pas dire que la fonction inverse est décroissante sur tout
son domaine D=] − ∞ ; 0[∪]0 ; +∞[ ;
en effet, lorsque x1∈]− ∞ ; 0[ et x2∈]0 ; +∞[, on a x1< x2et f(x1) < f(x2).
Remarque : La fonction inverse f(x) = 1
xpeut aussi s’écrire f(x) = x−1; alors en généralisant
la formule de la dérivée d’une fonction puissance u(x) = xn:u′(x) = nxn−1pour n=−1, on
obtient f′(x) = −1×x−1−1=−x−2=−1
x2.
4.2 Opérations sur les dérivée
Propriétés :•Soient uet vdeux fonctions définies sur un intervalle I. Si uet vadmettent
pour fonctions dérivées respectives u′et v′sur Iet que la fonction une s’annule pas sur I,
alors la fonction fdéfinie par f(x) = u(x)
v(x)est dérivable sur Iet sa fonction dérivée est :
f′(x) = u′(x)v(x)−u(x)v′(x)
(v(x))2Çla dérivée du quotient u vest égale à u′v−uv′ v2å.
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Maths Tstmg 4. Fonctions rationnelles prog 2011
Exemples :•Pour la fonction f(x) = x−5
x+ 2 ci-dessus, la fonction dérivée est :
f′(x) = 1×(x+ 2) −(x−5) ×1
(x+ 2)2=x+ 2 −x+ 5 (x+ 2)2=7 (x+ 2)2
•Pour la fonction f(x) = x−3 + 1
x+ 2 =x2−x−5 x+ 2 ci-dessus, la fonction dérivée est :
f′(x) = (2x−1)(x+ 2) −(x2−x−5) ×1
(x+ 2)2=2x2+ 4x−x−2−x2+x+ 5 (x+ 2)2=x2+ 4x+ 3 (x+ 2)2
Remarque : On peut également calculer cette dernière dérivée en utilisant la propriété de la
dérivée d’une somme puisque f(x) = x−3 + 1
x+ 2, alors :
f′(x) = 1 + 0×(x+ 2) −1×1
(x+ 2)2= 1 −1 (x+ 2)2
ce qui donne le même résultat en écrivant cette dérivée sous la forme d’une fonction rationnelle
puisque :
f′(x) = 1 −1
(x+ 2)2=(x+ 2)2−1 (x+ 2)2=(x+ 1)(x+ 3) (x+ 2)2=x2+ 4x+ 3 (x+ 2)2
L’étude du signe de la fonction dérivée f′permet de déterminer les variations de la fonction
f; or le signe de f′est aussi le signe de son numérateur puisque le dénominateur est toujours
strictement positif lorsque x6=−2.
Le discriminant de x2+ 4x+ 3 est ∆ = 42−4×1×3 = 4 = 22, d’où les racines du numérateur :
x1=−1 et x2=−3 (la forme factorisée du numérateur est : (x+ 1)(x+ 3)).
4.3 Étude des variations d’une fonction
Les propriétés précédentes permettent de calculer la fonction dérivée d’une fonction polynôme
ou d’une fonction rationnelle.
Propriété : Soit fune fonction définie sur un intervalle I, alors fest dérivable sur Iet
l’étude du signe de la dérivée permet d’affirmer que :
— si pour tout x∈Ion a f′(x)>0, alors fest croissante sur I;
— si pour tout x∈Ion a f′(x)60, alors fest décroissante sur I.
x
y
1
1
-1
-1
Exemples :•Pour la fonction inverse f(x) = 1
x, la dé-
rivée f′(x) = −1
x2est négative pour tout x;
la fonction inverse est donc décroissante sur chacun des
deux intervalles ] − ∞ ; 0[ et ]0 ; +∞[.
Tableau de variations :
x−∞ 0 +∞
f′(x)− −
f(x)
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x
y
y= 1
x=−2
•Pour la fonction rationnelle f(x) = x−5
x+ 2 ci-dessus,
définie et dérivable sur ] − ∞ ;−2[∪]−2 ; +∞[,
la fonction dérivée est f′(x) = 7
(x+ 2)2,
donc la fonction fest croissante sur les deux intervalles
]− ∞ ;−2[ et ] −2 ; +∞[.
Tableau de variations :
x−∞ −2 +∞
f′(x) + +
f(x)
4.4 Tangente à la courbe en un point
Définition : Si fest dérivable en a, on appelle tangente en A(a;f(a)) à la courbe Cf, la
droite qui passe par Aet qui a pour coefficient directeur le nombre dérivé f′(a).
x
y
y= 1
x=−2
B
A
Exemple : Pour la fonction rationnelle f(x) = x−5
x+ 2
représentée ci-contre, la fonction dérivée est f′(x) =
7
(x+ 2)2. Déterminons l’équation de la tangente à la
courbe au point d’abscisse x= 0 : f(0) = −5
2et f′(0) =
7
4. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf
au point AÅ0 ; −5
2ãest f′(2) = 7 4, donc son équation
est de la forme :
y=7
4x+b
Pour déterminer l’ordonnée à l’origine b, il suffit d’écrire
que le point AÅ0; −5
2ãappartient à la tangente, soit : −5 2= 2×0+b, d’où b=−5 2et l’équation
de la tangente est : y=−7
4x−5 2.
Théorème : Si fest dérivable en a, alors une équation de la tangente àCfen A(a;f(a)) est
y=f′(a)×(x−a) + f(a).
Exemple : Pour la fonction rationnelle ci-dessus : f′(0) = 7
4et f(2) = −5 2, donc l’équation de
la tangente est : y=7
4(x−0) −5 2, soit y=7 4x−5 2.
De même au point BÅ−4 ; 9
2ã,f′(−4) = 7 4on obtient y=7 4(x−(−4)) + 9 2, soit y=7 4x+23 2.
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