1. Phénomènes de diffraction

LUMIÈRE - Diffraction
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On dit qu'il y a diffraction quand, dans un milieu homogène et isotrope (même vitesse de propagation pour tous les
rayons lumineux quelle que soit leur direction), la lumière ne se propage pas en ligne droite. Les phénomènes de
diffraction ne se produisent que lorsque la lumière rencontre des trous ou des obstacles dont les dimensions sont de
l'ordre de grandeur de la longueur d'onde ; ils sont en contradiction avec les lois de l'optique géométrique. Il est en effet
impossible de mettre en évidence la propagation rectiligne de la lumière : pour isoler un rayon, il faut diaphragmer un
faisceau lumineux ; or, la diffraction est d'autant plus importante que l'on cherche à mieux mettre en évidence la
propagation rectiligne. Si l'on fait appel à la théorie quantique de la lumière, on aboutit à la même contradiction : plus on
veut localiser un photon en disposant sur son trajet un diaphragme très petit, plus sa position, dans le plan d'observation,
est mal définie (relation d'incertitude de Heisenberg).
Depuis les travaux de Huygens, de Fresnel et de Fraunhofer, on classe les phénomènes de diffraction de la façon
suivante :
Spectroscope
Le spectroscope à prismes construit par l'opticien et astronome allemand Joseph von Fraunhofer (1787-1826), l'un des
fondateurs de la spectroscopie.
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- Les phénomènes dits « à distance finie » (Fresnel) ; ce sont les phénomènes qui apparaissent dans l'ombre d'un
obstacle quelconque (bord d'écran, fil...). La répartition des amplitudes diffractées s'obtient mathématiquement par une
transformation de Fresnel.
- Les phénomènes « à l'infini » (Fraunhofer), ainsi dénommés parce que leur calcul est particulièrement facile à
exposer si l'on considère le cas particulier d'une onde plane limitée au contour d'un diaphragme et qu'on cherche
l'amplitude diffractée dans une direction donnée, l'observation pouvant se faire pratiquement au foyer d'une lentille
interposée sur le trajet de la lumière. Cette dénomination n'est pas excellente car les phénomènes de Fraunhofer peuvent
s'observer à distance finie. La distinction est en fait la suivante : les phénomènes de Fresnel se produisent au voisinage
de la limite de l'onde et sont éloignés de son centre de courbure ; les phénomènes de Fraunhofer, au contraire, sont
localisés au voisinage de l'image, c'est-à-dire au centre de courbure de l'onde. Ce sont ces derniers qu'on est amené à
étudier pour déterminer la qualité des images optiques. Le traitement mathématique utilisé dans ce cas est une
transformation de Fourier.
1. Phénomènes de diffraction
Principe de Huygens-Fresnel
La diffraction fut découverte de façon fortuite en 1665 par un moine italien, Grimaldi, qui réalisa l'expérience suivante :
une source ponctuelle éclaire un petit trou pratiqué dans un écran opaque, le contour de l'ombre projetée n'est pas net.
On observe des franges de diffraction alternativement sombres et brillantes.
Huygens fut le premier à interpréter la propagation de la lumière en imaginant un mécanisme manifestement inspiré pa
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l'étude de la propagation d'ébranlements mécaniques (tels que les rides à la surface de l'eau) et en considérant une
action de proche en proche entre les divers points de l'espace. La fécondité de ce point de vue n'est clairement apparue
que lorsque Fresnel (1815) montra que les phénomènes de diffraction ne sont autres que des phénomènes interférentiels
qui s'expliquent grâce à la théorie ondulatoire de la lumière.
Huygens avait formulé l'hypothèse que les ébranlements répartis sur une surface d'onde à l'instant t jouent le rôle de
sources secondaires émettant à leur tour des ébranlements qui se propagent à partir de divers points de l'onde ;
l'ensemble de ces ondelettes doit évidemment donner naissance à la surface d'onde à un instant ultérieur t´ ; celle-ci
apparaît finalement comme l'enveloppe des diverses ondelettes. Fresnel (1815) précisa ce principe en supposant que l'on
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peut calculer l'amplitude des ébranlements en tout point de l'espace en combinant les vibrations diffractées par les divers
éléments de la surface d'onde : l'amplitude diffractée en un point M de l'espace par un élément de surface d'onde voisin
de S doit être proportionnelle à l'amplitude reçue en S (généralement constante) et inversement proportionnelle à la
distance SM, comme pour une source primaire située en S. D'autre part, la phase de la vibration en M s'exprime
simplement à l'aide du chemin optique SM. Ainsi la vibration reçue en un point M est la somme d'une infinité de vibrations
émises par des sources fictives réparties sur la surface d'onde initiale. Cette façon de voir s'est révélée extrêmement
féconde ; elle a permis d'interpréter les phénomènes de diffraction.
Principe de Huygens
Principe de Huygens. L'onde Ot' peut être considérée comme l'enveloppe d'ondelettes sphériques par des sources
secondaires centrées sur Ot.
2005 Encyclopædia Universalis France S.A.
Le principe de Huygens-Fresnel, sous cette forme élémentaire, est cependant critiquable ; en particulier, les sources
réparties sur la surface d'onde devraient donner naissance non seulement à une onde progressive dans la direction de
propagation, mais aussi à une onde réfléchie, renvoyée vers l'arrière. Kirchhoff (1824-1887) a le premier donné une
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ustification mathématique de ce principe, en même temps qu'il fournissait une expression correcte de l'amplitude
diffractée par chaque élément de surface d'onde, qui éliminait la possibilité d'une onde réfléchie. Cependant, l'expression
donnée par Kirchhoff convient aux ondes scalaires (ondes sonores par exemple) mais non aux ondes
électromagnétiques, qui sont transversales. D'assez nombreuses expressions du principe de Huygens utilisables dans ce
cas ont été proposées ; elles donnent une justification du vieux principe, satisfaisante dans le cas des ondes
électromagnétiques, complète pour l'immense majorité des problèmes de diffraction où l'on peut faire les approximations
suivantes :
- l'amplitude du rayonnement émis par les sources secondaires est indépendante de la direction, c'est-à-dire de l'angle
de diffraction (à condition que cet angle reste petit) ;
- les écrans n'apportent à l'onde aucune perturbation (sinon la suppression des parties masquées) ; on ne tient pas
compte de leurs propriétés spécifiques telles que la conductibilité électrique.
Expression mathématique du principe de Huygens
Considérons une source ponctuelle S de lumière monochromatique (l) qui éclaire une ouverture de dimensions finies,
pratiquées dans un écran opaque (p). Soit P(x, y) un point courant à l'intérieur du contour C de l'ouverture. L'amplitude au
point P, considéré comme une source secondaire, est de la forme :
Détermination de l'amplitude d'un point du plan
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h(x, y) est une fonction réelle ou complexe identiquement nulle en dehors du contour C de la pupille. La vibration
envoyée par P, lorsqu'elle arrive au point M(x, c), a pour amplitude :
en posant :
Le champ émis par un petit élément dS de la pupille est proportionnel à dS et le champ total au point M sera donné
par :
où S.P. désigne la surface de la pupille.
Cette formule sert de point de départ pour tous les calculs de diffraction.
Classification des phénomènes de diffraction
Quelle que soit la position du plan d'observation (p´), on n'observe jamais une image lumineuse ponctuelle, identique
à la source, mais une tache de diffraction d'autant plus étalée que la diaphragmation de l'onde incidente par la pupille
(p) est plus importante. La formule (5) est absolument générale et permet de traiter tous les phénomènes de diffraction.
Toutefois, les expériences peuvent se diviser en deux classes, sans que la distinction soit absolument rigide.
Diffraction de Fresnel
La diffraction de Fresnel apparaît lorsque le plan (p´) est placé à distance finie de la pupille diffractante. Il n'est pas
besoin d'utiliser de système optique dans le montage, c'est uniquement le mécanisme de la formation des ombres qui
est en cause. (De telles ombres peuvent aussi s'observer avec un instrument d'optique lorsque le plan d'observation p´
est éloigné du plan image). L'expérience la plus simple consiste à placer un écran à bord rectiligne dans un faisceau
lumineux émis par une source ponctuelle ; on constate que l'éclairement dans le plan d'observation croît
progressivement, même lorsqu'on est encore dans l'ombre géométrique : lorsqu'on atteint la limite de l'ombre, il n'est
encore égal qu'au quart de l'éclairement normal ; il continue ensuite à croître, mais n'atteint la valeur asymptotique qu'à
grande distance du bord de l'ombre ; il passe au préalable par une série de maxima et de minima qui constituent les
franges classiques de Fresnel. Des franges analogues peuvent être observées dans l'ombre d'une fente, d'un fil...
Franges de Fresnel
Franges de Fresnel données par un bord d'écran
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Pendant longtemps ces phénomènes n'ont connu qu'un intérêt historique : c'était par eux que Fresnel avait vérifié ses
idées sur l'origine des phénomènes de diffraction ; avec l'holographie, ils ont acquis une importance particulière.
L'holographie est un procédé photographique permettant d'obtenir une image en relief d'un objet à trois dimensions ; il
suffit pour cela d'enregistrer une onde électromagnétique sur une plaque photographique située dans un plan
quelconque, sans intervention d'un système optique.
Les phénomènes de diffraction ne sont observables que lorsque les dimensions de la pupille sont petites par rapport
à la distance d. La tache de diffraction ayant aussi des dimensions inférieures à d, on peut transformer l'expression de r
et écrire :
l'équation (5) où, au dénominateur, on peut remplacer r par d devient (après suppression du terme constant exp.(jkd),
grâce à un changement d'origine des phases) :
Par la suite, le terme constant l/(jl) sera sous-entendu et on écrira :
Cette intégrale est une opération mathématique, appelée transformation de Fresnel.
Diffraction de Fraunhofer
La diffraction de Fraunhofer intervient dans toutes les images optiques. Un instrument d'optique, même d'excellente
qualité (dépourvu d'aberration), ne donne jamais une image conforme à l'objet : toute image optique est entachée de
diffraction. Considérons l'objet le plus simple : un point lumineux S. Il émet une onde sphérique S0, divergente, de rayon
d0, centrée en S. L'objectif transforme cette onde divergente en une onde sphérique convergente S, de rayon d, centrée
sur l'image géométrique S´. Si l'on tenait compte uniquement des lois de l'optique géométrique (onde S non limitée),
l'image S´ serait parfaitement ponctuelle. En réalité l'onde S est limitée par le contour de la pupille de sortie de
l'instrument. Avant traversée de la pupille, la répartition des amplitudes dans le plan (p) est donnée par :
Figure de diffraction
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La diffraction n'intervient qu'après traversée de la pupille. La répartition des amplitudes dans le plan image (p´) peut
s'écrire, à partir de (7) :
Compte tenu de (8) cette équation devient :
Si l'on place dans le plan (p) un filtre (réseau, cliché photographique...) dont la transparence n'est pas uniforme,
mais caractérisée par la fonction f (x, y), on a, de façon générale :
En résumé, si la répartition des amplitudes dans le plan pupillaire (p) est :
La répartition des amplitudes dans le plan image (p´) s'écrit :
en posant :
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