Equations de Maxwell

Equations de Maxwell
1 Conservation de la charge électrique
La conservation de la charge est un des postulats de l’électromagnétisme.
2 Equations de Maxwell dans le vide
Le champ électromagnétique en un point M à un instant t, est défini par son action sur une charge
ponctuelle, donnée par la force de Lorentz :
Le champ électromagnétique créé par une distribution de charges et de courants vérifie les quatre
équations suivantes :
équation de Maxwell-flux
équation de Maxwell-Faraday
équation de Maxwell-Gauss
équation de Maxwell-Ampère
- Elles constituent, avec la loi de Lorentz, les postulats de l'électromagnétisme.
- Le couple M, MF exprime des propriétés intrinsèques du champ électromagnétique alors que le couple
MG, MA exprime la liaison entre le champ et ses sources.
- En régime stationnaire (indépendant du temps) on retrouve les équations de la magnétostatique et de
l’électrostatique : le couplage entre les champs disparaît.
Contenu physique de l’équation de Maxwell- Ampère
L’équation
est incompatible avec la conservation de la charge dans le cas le plus général.
Pour pallier à ce défaut, Maxwell a introduit un terme supplémentaire appelé courant de déplacement :
Cette dénomination est due à Maxwell, mais physiquement ce terme n'est ni un courant ni un
déplacement. On l’interprète par le fait qu’un champ électrique dépendant du temps est une source de
champ magnétique au même titre qu'un courant.
Conservation de la charge
En appliquant l’opérateur divergence à l’équation de Maxwell-Ampère, on retrouve l'équation de
conservation de la charge.
Cas des régimes lentement variables (AEQS)
Pour un champ électromagnétique d'amplitude E0 et de pulsation , dans un milieu de conductivité  ,
l'amplitude de vaut  E0
l'amplitude de
vaut
Si  <<
, alors le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction, et on
retrouve
(AEQS).
Ordre de grandeur : pour le cuivre,
6.107 S.m−1, l’approximation est valable pour f<<1018 Hz.
3
Conditions aux limites
On admettra qu’en régime variable, les équations vues en électrostatique et en magnétostatique
permettant de déterminer les discontinuités du champ électrique et du champ magnétique restent valables.
L’équation de Maxwell-Ampère généralisée conduit au même résultat pour le champ magnétique.
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Discontinuités :
(MG)
(MA)
Continuités :
(MF)
(M)
4 Propagation du champ électromagnétique
Le couplage qui est introduit dans les équations de Maxwell par les deux dérivées partielles par rapport
au temps est à l'origine du phénomène de propagation du champ.
On se place en dehors de la distribution D source du champ c'est-à-dire dans une région sans charges ni
courants :  = 0 et
.
Une relation utile :
Les champs électrique et magnétique satisfont dans le vide, à l’équation de d’Alembert tridimensionnelle.
La théorie de Maxwell prédit la propagation du champ électromagnétique avec une vitesse v telle que
. Aux incertitudes expérimentales près, cette valeur s'identifie avec la célérité c de la lumière :
Maxwell propose d'admettre la nature électromagnétique de la lumière en identifiant v et c.
5 Potentiel vecteur et potentiel scalaire
5.1 Couple de potentiels dont dérive le champ
Le champ électromagnétique
dérive du couple de potentiels
est le potentiel scalaire.
.
est le potentiel vecteur, V
Le couple de potentiels dont dérive le champ n'est pas unique et l’on profite de cette non-unicité pour
imposer une condition, dite condition de jauge, au couple
; on utilise la jauge de Lorentz ou la
jauge de Coulomb.
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Energie électromagnétique
1 Energie et champ électromagnétique
Exemples : force de Lorentz et particules chargées, effet Joule, four à micro-ondes, rayonnement solaire,
ondes hertziennes et antennes.
1.1 Grandeurs intervenant dans un bilan d’énergie électromagnétique
 L'énergie électromagnétique est localisée. On définit la densité volumique d'énergie
. L'énergie
électromagnétique d'un système de volume V est alors donnée par :
s'exprime en J.m−3
Exemples vus en statique :
- énergie emmagasinée par un condensateur :
- énergie emmagasinée par un solénoïde infini :

L'énergie électromagnétique se propage. On définit le vecteur densité de flux d’énergie
électromagnétique
. Le flux de à travers une surface correspond à la puissance qui traverse
cette surface. est l’analogue du vecteur pour le courant.

L'énergie électromagnétique peut être transformée. La puissance volumique dégradée par effet Joule
est donnée par :
1.2 Bilan d'énergie électromagnétique pour un système
On considère un système quelconque, de volume V, limité par la surface fermée S fixe dans l'espace. La
variation de l'énergie électromagnétique contenue dans ce système est due à la dégradation de cette forme
d'énergie à l'intérieur du volume et à l'entrée ou à la sortie d'énergie à travers la frontière du système. On
écrit alors le bilan de puissance :
1.3 Forme locale du bilan d’énergie
V étant un volume fixe, on peut déduire l'équation locale de conservation de l'énergie électromagnétique :
Le terme
qui n'a pas d'équivalent dans la loi de conservation de la charge. Ce terme traduit la
possibilité de convertir l'énergie électromagnétique en d'autres formes d’énergie.
1.4 Expressions de la densité d'énergie et du vecteur de Poynting
En utilisant l'analyse vectorielle, les équations de Maxwell et l'équation de conservation de l’énergie, on
déduit :
- la densité volumique d’énergie électromagnétique, qui est nulle en l’absence de champ :
- une expression du vecteur appelé alors vecteur de Poynting :
Attention ! les expressions de u et de ne peuvent pas être calculées à partir des expressions complexes
des champs. Pour calculer ces grandeurs, il faut utiliser les expressions réelles des champs.
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2 Effet de peau dans un conducteur
2.1 Hypothèses
- Le métal, de conductivité , occupe l’espace (z > 0) et le vide l’espace (z < 0). Dans le vide, en z = 0,
règne le champ électrique uniforme :
.
et on néglige le courant de déplacement devant le courant volumique de conduction.
- Dans le conducteur, on cherche un champ de la forme
2.2 Détermination du champ électrique
A partir des équations de Maxwell, on établit l’équation de diffusion:
On remplace
par la forme proposée, puis en prenant la partie réelle du champ complexe, on obtient :
avec
B B0
Le terme  t – z /  correspond à une propagation du champ magnétique dans la direction et le sens de z
avec une vitesse de propagation v = .
Le terme e – z /  correspond à une atténuation du signal : le champ électromagnétique est en interaction
avec les porteurs de charge du conducteur et l’énergie de l’onde électromagnétique est progressivement
transformée en chaleur par effet Joule.
- Epaisseur de peau
1.0
Le graphe représente le rapport B / B0 en
fonction de z /  à la date 0 et à la date T/4
0.8
(courbe en pointillé).
On constate que se rapport devient proche de
0.6
zéro dès que z /  dépasse la valeur 4.
La distance caractéristique de la pénétration du
0.4
champ est la longueur  qui porte le nom de
profondeur ou épaisseur de peau.
0.2
L’épaisseur de peau diminue si la fréquence
augmente : en haute fréquence la conduction se
0.0
fait sur une épaisseur très faible et les courants
0
1
2
3
4
5
6
sont modélisables par des courants surfaciques.
zd
A très haute fréquence la propagation d’un
signal à l’intérieur de fils électriques est impossible.
Dans le cuivre on trouve les valeurs suivantes pour l’épaisseur de peau :
f


10 Hz
30 000 km
6,5 cm
1 kHz
300 km
6,5 mm
1 MHz
300 m
0,21 mm
1 GHz
30 cm
6,5 µm
- Cas du conducteur parfait
L’épaisseur de peau diminue si la conductivité augmente. Dans un conducteur parfait, de conductivité
infinie, elle est nulle à toutes les fréquences.
Le champ électrique, le champ magnétique et la densité de courant sont nuls dans un conducteur parfait,
les courants y sont localisés en surface.
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Ondes et équation d’onde
1 Notion d’onde
1.1 Exemple
Le phénomène d’onde se rencontre dans différents domaines de la physique :
- ondes acoustiques, représentées par les fonctions pression p(x,t), vitesse v(x,t) ou déplacement u(x,t)
dans le cas d’une propagation suivant l’axe Ox. Il s’agit d’une onde longitudinale.
- ondes sismiques : ce sont soit des ondes de type acoustique (ondes p) soit des ondes transverses (ondes
s) qui ne peuvent pas se propager dans les fluides.
- ondes stationnaires sur la corde d’un instrument de musique.
Toutes ces ondes de type mécanique ne peuvent se propager que dans un milieu matériel.
- Ondes électromagnétiques : propagation d’un champ électrique et d’un champ magnétique. Leur nom
dépend du domaine de fréquence.
1.2 Définition
Une onde est une grandeur physique représentée par une fonction de l’espace et du temps
qui
obéit à l’équation de d’Alembert :
v est la vitesse de propagation de l’onde.
A une dimension, l’équation s’écrit
La solution de cette équation est appelée onde plane.
2 Solution de l’équation de d’Alembert
On peut chercher la solution de l’équation d’onde soit sous forme d’une onde progressive, soit sous la
forme d’une onde stationnaire.
2.1 Ondes progressives
L’expression générale de la solution est :
La fonction f traduit la propagation sans déformation à la vitesse v selon les x croissants, et la fonction g
la propagation dans l’autre sens. La solution générale correspond à la superposition de deux ondes planes
progressives se propageant dans des sens opposés.
Cas des ondes planes progressives monochromatiques (OPPM)
On choisit pour f et g une solution sinusoïdale, fonction de base dans la décomposition en série de
Fourier.
Il y a double périodicité, en fonction de l’espace et du temps.
L’OPPM se propageant suivant
sera notée
est le vecteur d’onde
et
sont les périodes temporelle et spatiales liées par
ou
.
est la phase de l’onde. Toute surface où est constante à t donné est une surface
d’onde.
Notation complexe d’une OPPM
est l’amplitude complexe qui contient l’information sur l’amplitude de l’onde et sur sa
phase à l’origine.
.
2.2 Ondes stationnaires
La solution est de la forme
.
On montre que la forme générale est
Il y a alors vibration sans propagation. On met en évidence des nœuds et des ventres de vibration.
Une onde stationnaire est la somme de deux ondes progressives de même amplitude se propageant en
sens opposés. On l’obtient lorsqu’il existe un réflecteur d’onde.
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Ondes électromagnétiques
1 Ondes électromagnétiques dans le vide
1.1 Equation d’onde
Dans un milieu vide de charges et de courant :
A partir de ces équations, on établit l’équation de propagation des champs.
Le champ électromagnétique se propage avec une vitesse c.
Remarque : la valeur de c est fixée par convention à l’aide d’une transition entre deux niveaux hyperfins
de l’atome de césium 133. c  299 792 458 m.s−1. 0 = 4.10−7 H.m−1. On déduit 0 .
1.2 L'onde plane progressive monochromatique
Pour chacune des coordonnées cartésiennes de , on obtient une équation d’onde
On écrit la solution sous forme d’une OPPM en notation complexe.
Si la propagation a lieu suivant Ox :
Si la propagation a lieu suivant le vecteur unitaire :
avec
On peut montrer que toute onde peut s’écrire comme une superposition d’OPPM (somme continue).
1.3 Structure de l’OPPM dans le vide
Avec la solution précédente, on montre que :
L’équation d’onde donne alors :
,
et
On retrouve les deux sens de propagation de l’onde.
donne
et
donne
et sont orthogonaux à la direction de propagation. Ils
appartiennent au plan d’onde. Les champs sont transverses.
donne :
On déduit que
forme un trièdre direct et que et sont en phase avec B = E / c.
On a représenté ci-contre la structure de l’OPPM dans le vide à un instant t donné.
1.4 Polarisation d'une onde monochromatique
Les champs et appartiennent au plan d’onde. Définir la polarisation de l’onde consiste à décrire
l’évolution de dans un plan d’onde au cours du temps.
On considère une OPPM se propageant suivant Ox. Dans le plan x = 0¸on peut écrire sous la forme :
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 Polarisation rectiligne
Si  = 0, l’extrémité de décrit un segment
de droite dans le plan x = 0. La polarisation
est rectiligne.
 Polarisation circulaire
Si  = /2 et
, polarisation
circulaire gauche.
Si  = −/2 et
, polarisation
circulaire droite.
 Polarisation elliptique
De façon générale, une OPPM est polarisée elliptiquement. Le sens de parcours de l'ellipse dépend du
signe de ,  > 0 correspond au sens trigonométrique : c'est une polarisation elliptique gauche.
 Polarisation de la lumière
La lumière naturelle est constituée d'une suite de trains d'ondes polarisées elliptiquement.
Ces trains d'ondes sont émis de façon totalement désordonnée, donc sans corrélation de phase entre deux
trains d'ondes successifs, il s'agit de vibrations incohérentes entre elles.
La lumière naturelle est non polarisée : elle ne laisse apparaître en moyenne aucune direction de
polarisation particulière, toutes les polarisations sont équiprobables.
2 Aspect énergétique de l'onde plane progressive
2.1 Densité d'énergie
Dans le cas d'une OPPM. Avec B = E / c, on montre qu’il y a équipartition de l'énergie entre les
contributions électrique et magnétique :
Si
2.2
, la valeur moyenne temporelle de u est donnée par
Vecteur de Poynting
Cette relation traduit le fait que l'OPP transporte l'énergie dans sa propre direction de propagation avec
une vitesse égale à c. C’est l’analogue de
pour la densité de courant.
2.3 Intensité énergétique d'une onde
L'intensité énergétique d'une onde (ou d'un rayonnement) et la valeur moyenne de la puissance que reçoit,
par unité de surface, un détecteur plan dirigé perpendiculairement à la direction de propagation du
rayonnement.
Cette définition est liée au fait que les détecteurs ont en général un temps de réponse trop grand pour
pouvoir suivre les variations de la puissance instantanées et ne sont sensibles qu'à sa moyenne temporelle.
Pour une onde électromagnétique c'est la valeur moyenne de la norme du vecteur de Poynting.
L'intensité énergétique I est exprimée en W.m−2
3 Réflexion en incidence normale sur un conducteur parfait
On éclaire en incidence normale un plan parfaitement conducteur avec une OPPM, on cherche à
déterminer le champ réfléchi par ce miroir parfait.
3.1 Description du système
On suppose l’onde incidente de polarisation rectiligne selon Oy :
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143
Conducteur parfait : c'est un conducteur dont la
conductivité  tend vers l'infini. La puissance
volumique cédée par le champ électromagnétique au
métal est dP / d =  E2 . Elle doit rester bornée, on en
déduit que le champ électrique est nul dans le volume
d'un conducteur parfait.
L'équation de Maxwell Faraday permet de déduire que
les champs magnétiques non stationnaires sont nuls
dans un conducteur parfait : le champ
électromagnétique (non stationnaire) est donc nul dans
le volume d'un conducteur parfait.
Dans le conducteur supposé parfait,
et
Il n’y a, à priori, pas de charge surfacique sur le plan x = 0, par contre le champ va générer un courant
surfacique parallèle à Oy.
Le modèle néglige la peau, d’épaisseur , dans laquelle pénètrent champs et courants, il traite les courants
qui parcourent cette peau comme une nappe de courants dont la densité superficielle est
.
On détermine
3.2 Onde réfléchie
- Elle se propage selon
, le champ électrique est donc de la forme :
où
est orthogonal à
(onde transverse).
- Relation de passage à l’interface pour
s’écrit ici :
Les champs étant orthogonaux à , on en déduit
et
Le signe moins traduit un changement de phase lors de la réflexion.
On détermine ensuite l’expression du champ magnétique :
3.3 Interférence de l'onde réfléchie et de l'onde incidente, onde stationnaire
 Expressions des champs
Le champ électrique total est la somme des champs incident et réfléchi :
Le calcul conduit au champ réel suivant :
La somme des champs magnétiques donne :
Cette structure est celle d'une onde stationnaire : il n'y a pas de propagation, l'onde vibre sur place.
En M donné, le champ magnétique et le champ électrique sont en quadrature de phase ; l'amplitude des
champs dépend de x.
Le champ électrique est nul à tout instant aux points Ne, nœuds du champ électrique, définis par :
sin (kx) = 0 (avec x < 0) soit : − kx = n π et −x = n  / 2
Son amplitude est maximale aux ventres Ve distants de  / 4 des nœuds.
Les plans nodaux du champ magnétique sont les plans ventraux du champ électrique.
3.4 Densité superficielle de courants
Relation de passage du champ magnétique en x = 0 :
Elle conduit à :
La densité de courant est bien parallèle au champ électrique incident.
3.5 Aspect énergétique de l'onde stationnaire
est indépendante de t.
de valeur moyenne temporelle nulle en tout point. Ces résultats sont bien
en accord avec le caractère stationnaire de l'onde.
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