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Sciences Physiques PT Lycée Follereau BM ondes électromagnétiques 141
Ondes et équation d’onde
1 Notion d’onde
1.1 Exemple
Le phénomène d’onde se rencontre dans différents domaines de la physique :
- ondes acoustiques, représentées par les fonctions pression p(x,t), vitesse v(x,t) ou déplacement u(x,t)
dans le cas d’une propagation suivant l’axe Ox. Il s’agit d’une onde longitudinale.
- ondes sismiques : ce sont soit des ondes de type acoustique (ondes p) soit des ondes transverses (ondes
s) qui ne peuvent pas se propager dans les fluides.
- ondes stationnaires sur la corde d’un instrument de musique.
Toutes ces ondes de type mécanique ne peuvent se propager que dans un milieu matériel.
- Ondes électromagnétiques : propagation d’un champ électrique et d’un champ magnétique. Leur nom
dépend du domaine de fréquence.
1.2 Définition
Une onde est une grandeur physique représentée par une fonction de l’espace et du temps qui
obéit à l’équation de d’Alembert :
v est la vitesse de propagation de l’onde.
A une dimension, l’équation s’écrit
La solution de cette équation est appelée onde plane.
2 Solution de l’équation de d’Alembert
On peut chercher la solution de l’équation d’onde soit sous forme d’une onde progressive, soit sous la
forme d’une onde stationnaire.
2.1 Ondes progressives
L’expression générale de la solution est :
La fonction f traduit la propagation sans déformation à la vitesse v selon les x croissants, et la fonction g
la propagation dans l’autre sens. La solution générale correspond à la superposition de deux ondes planes
progressives se propageant dans des sens opposés.
Cas des ondes planes progressives monochromatiques (OPPM)
On choisit pour f et g une solution sinusoïdale, fonction de base dans la décomposition en série de
Fourier.
Il y a double périodicité, en fonction de l’espace et du temps.
L’OPPM se propageant suivant
sera notée
est le vecteur d’onde
et
sont les périodes temporelle et spatiales liées par ou
.
est la phase de l’onde. Toute surface où est constante à t donné est une surface
d’onde.
Notation complexe d’une OPPM
est l’amplitude complexe qui contient l’information sur l’amplitude de l’onde et sur sa
phase à l’origine. .
2.2 Ondes stationnaires
La solution est de la forme .
On montre que la forme générale est
Il y a alors vibration sans propagation. On met en évidence des nœuds et des ventres de vibration.
Une onde stationnaire est la somme de deux ondes progressives de même amplitude se propageant en
sens opposés. On l’obtient lorsqu’il existe un réflecteur d’onde.