Equations de Maxwell

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Equations de Maxwell
1 Conservation de la charge électrique
La conservation de la charge est un des postulats de l’électromagnétisme.
2 Equations de Maxwell dans le vide
Le champ électromagnétique en un point M à un instant t, est défini par son action sur une charge
ponctuelle, donnée par la force de Lorentz :
Le champ électromagnétique créé par une distribution de charges et de courants vérifie les quatre
équations suivantes :
 équation de Maxwell-flux
 équation de Maxwell-Faraday
 équation de Maxwell-Gauss
 équation de Maxwell-Ampère
- Elles constituent, avec la loi de Lorentz, les postulats de l'électromagnétisme.
- Le couple M, MF exprime des propriétés intrinsèques du champ électromagnétique alors que le couple
MG, MA exprime la liaison entre le champ et ses sources.
- En régime stationnaire (indépendant du temps) on retrouve les équations de la magnétostatique et de
l’électrostatique : le couplage entre les champs disparaît.
Contenu physique de l’équation de Maxwell- Ampère
L’équation   est incompatible avec la conservation de la charge dans le cas le plus général.
Pour pallier à ce défaut, Maxwell a introduit un terme supplémentaire appelé courant de déplacement :
Cette dénomination est due à Maxwell, mais physiquement ce terme n'est ni un courant ni un
déplacement. On l’interprète par le fait qu’un champ électrique dépendant du temps est une source de
champ magnétique au même titre qu'un courant.
Conservation de la charge
En appliquant l’opérateur divergence à l’équation de Maxwell-Ampère, on retrouve l'équation de
conservation de la charge.
Cas des régimes lentement variables (AEQS)
Pour un champ électromagnétique d'amplitude E0 et de pulsation , dans un milieu de conductivité ,
l'amplitude de  vaut E0
l'amplitude de  vaut 
Si <<  
, alors le courant de déplacement est négligeable devant le courant de conduction, et on
retrouve  (AEQS).
Ordre de grandeur : pour le cuivre,  6.107 S.m−1, l’approximation est valable pour f<<1018 Hz.
3 Conditions aux limites
On admettra qu’en régime variable, les équations vues en électrostatique et en magnétostatique
permettant de déterminer les discontinuités du champ électrique et du champ magnétique restent valables.
L’équation de Maxwell-Ampère généralisée conduit au même résultat pour le champ magnétique.

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Discontinuités :
(MG) 
(MA) 
Continuités :
(MF) 
(M) 
4 Propagation du champ électromagnétique
Le couplage qui est introduit dans les équations de Maxwell par les deux dérivées partielles par rapport
au temps est à l'origine du phénomène de propagation du champ.
On se place en dehors de la distribution D source du champ c'est-à-dire dans une région sans charges ni
courants :  = 0 et  .
Une relation utile : 
Les champs électrique et magnétique satisfont dans le vide, à l’équation de d’Alembert tridimensionnelle.
La théorie de Maxwell prédit la propagation du champ électromagnétique avec une vitesse v telle que
 . Aux incertitudes expérimentales près, cette valeur s'identifie avec la célérité c de la lumière :
Maxwell propose d'admettre la nature électromagnétique de la lumière en identifiant v et c.
5 Potentiel vecteur et potentiel scalaire
5.1 Couple de potentiels dont dérive le champ
Le champ électromagnétique   dérive du couple de potentiels 
.   est le potentiel vecteur, V
est le potentiel scalaire. 
Le couple de potentiels dont dérive le champ n'est pas unique et l’on profite de cette non-unicité pour
imposer une condition, dite condition de jauge, au couple 
 ; on utilise la jauge de Lorentz ou la
jauge de Coulomb.

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Energie électromagnétique
1 Energie et champ électromagnétique
Exemples : force de Lorentz et particules chargées, effet Joule, four à micro-ondes, rayonnement solaire,
ondes hertziennes et antennes.
1.1 Grandeurs intervenant dans un bilan d’énergie électromagnétique
 L'énergie électromagnétique est localisée. On définit la densité volumique d'énergie . L'énergie
électromagnétique d'un système de volume V est alors donnée par :
 s'exprime en J.m−3
Exemples vus en statique :
- énergie emmagasinée par un condensateur : 
- énergie emmagasinée par un solénoïde infini : 
 L'énergie électromagnétique se propage. On définit le vecteur densité de flux d’énergie
électromagnétique 
. Le flux de 
à travers une surface correspond à la puissance qui traverse
cette surface.  est l’analogue du vecteur  pour le courant.
 L'énergie électromagnétique peut être transformée. La puissance volumique dégradée par effet Joule
est donnée par :  
1.2 Bilan d'énergie électromagnétique pour un système
On considère un système quelconque, de volume V, limité par la surface fermée S fixe dans l'espace. La
variation de l'énergie électromagnétique contenue dans ce système est due à la dégradation de cette forme
d'énergie à l'intérieur du volume et à l'entrée ou à la sortie d'énergie à travers la frontière du système. On
écrit alors le bilan de puissance : 
1.3 Forme locale du bilan d’énergie
V étant un volume fixe, on peut déduire l'équation locale de conservation de l'énergie électromagnétique :
Le terme  qui n'a pas d'équivalent dans la loi de conservation de la charge. Ce terme traduit la
possibilité de convertir l'énergie électromagnétique en d'autres formes d’énergie.
1.4 Expressions de la densité d'énergie et du vecteur de Poynting
En utilisant l'analyse vectorielle, les équations de Maxwell et l'équation de conservation de l’énergie, on
déduit :
- la densité volumique d’énergie électromagnétique, qui est nulle en l’absence de champ :
- une expression du vecteur appelé alors vecteur de Poynting :
Attention ! les expressions de u et de  ne peuvent pas être calculées à partir des expressions complexes
des champs. Pour calculer ces grandeurs, il faut utiliser les expressions réelles des champs.

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2 Effet de peau dans un conducteur
2.1 Hypothèses
- Le métal, de conductivité , occupe l’espace (z > 0) et le vide l’espace (z < 0). Dans le vide, en z = 0,
règne le champ électrique uniforme : 
.
-  
  et on néglige le courant de déplacement devant le courant volumique de conduction.
- Dans le conducteur, on cherche un champ de la forme 
2.2 Détermination du champ électrique
A partir des équations de Maxwell, on établit l’équation de diffusion:
On remplace  par la forme proposée, puis en prenant la partie réelle du champ complexe, on obtient :
 avec   
Le terme t – z / correspond à une propagation du champ magnétique dans la direction et le sens de z
avec une vitesse de propagation v = .
Le terme e – z /  correspond à une atténuation du signal : le champ électromagnétique est en interaction
avec les porteurs de charge du conducteur et l’énergie de l’onde électromagnétique est progressivement
transformée en chaleur par effet Joule.
- Epaisseur de peau
Le graphe représente le rapport B / B0 en
fonction de z / à la date 0 et à la date T/4
(courbe en pointillé).
On constate que se rapport devient proche de
zéro dès que z / dépasse la valeur 4.
La distance caractéristique de la pénétration du
champ est la longueur  qui porte le nom de
profondeur ou épaisseur de peau.
L’épaisseur de peau diminue si la fréquence
augmente : en haute fréquence la conduction se
fait sur une épaisseur très faible et les courants
sont modélisables par des courants surfaciques.
A très haute fréquence la propagation d’un
signal à l’intérieur de fils électriques est impossible.
Dans le cuivre on trouve les valeurs suivantes pour l’épaisseur de peau :
f
10 Hz
1 kHz
1 MHz
1 GHz
30 000 km
300 km
300 m
30 cm
6,5 cm
6,5 mm
0,21 mm
6,5 µm
- Cas du conducteur parfait
L’épaisseur de peau diminue si la conductivité augmente. Dans un conducteur parfait, de conductivité
infinie, elle est nulle à toutes les fréquences.
Le champ électrique, le champ magnétique et la densité de courant sont nuls dans un conducteur parfait,
les courants y sont localisés en surface.
0
1
2
3
4
5
6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
zd
BB0

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Ondes et équation d’onde
1 Notion d’onde
1.1 Exemple
Le phénomène d’onde se rencontre dans différents domaines de la physique :
- ondes acoustiques, représentées par les fonctions pression p(x,t), vitesse v(x,t) ou déplacement u(x,t)
dans le cas d’une propagation suivant l’axe Ox. Il s’agit d’une onde longitudinale.
- ondes sismiques : ce sont soit des ondes de type acoustique (ondes p) soit des ondes transverses (ondes
s) qui ne peuvent pas se propager dans les fluides.
- ondes stationnaires sur la corde d’un instrument de musique.
Toutes ces ondes de type mécanique ne peuvent se propager que dans un milieu matériel.
- Ondes électromagnétiques : propagation d’un champ électrique et d’un champ magnétique. Leur nom
dépend du domaine de fréquence.
1.2 Définition
Une onde est une grandeur physique représentée par une fonction de l’espace et du temps  qui
obéit à l’équation de d’Alembert :
v est la vitesse de propagation de l’onde.
A une dimension, l’équation s’écrit 
La solution de cette équation est appelée onde plane.
2 Solution de l’équation de d’Alembert
On peut chercher la solution de l’équation d’onde soit sous forme d’une onde progressive, soit sous la
forme d’une onde stationnaire.
2.1 Ondes progressives
L’expression générale de la solution est :  
La fonction f traduit la propagation sans déformation à la vitesse v selon les x croissants, et la fonction g
la propagation dans l’autre sens. La solution générale correspond à la superposition de deux ondes planes
progressives se propageant dans des sens opposés.
Cas des ondes planes progressives monochromatiques (OPPM)
On choisit pour f et g une solution sinusoïdale, fonction de base dans la décomposition en série de
Fourier.   
Il y a double périodicité, en fonction de l’espace et du temps.
L’OPPM se propageant suivant 
 sera notée
 est le vecteur d’onde
 et      sont les périodes temporelle et spatiales liées par    ou     .
   est la phase de l’onde. Toute surface où  est constante à t donné est une surface
d’onde.
Notation complexe d’une OPPM
  est l’amplitude complexe qui contient l’information sur l’amplitude de l’onde et sur sa
phase à l’origine. .
2.2 Ondes stationnaires
La solution est de la forme  .
On montre que la forme générale est  
Il y a alors vibration sans propagation. On met en évidence des nœuds et des ventres de vibration.
Une onde stationnaire est la somme de deux ondes progressives de même amplitude se propageant en
sens opposés. On l’obtient lorsqu’il existe un réflecteur d’onde.