Résumés et objets d`évaluation

Calcul différentiel et intégral appliqué aux techniques, A. Ross 1
TAUX DE VARIATION MOYEN
Le taux de variation moyen est une mesure de la variation
conjointe de deux variables dans un intervalle.
Le taux de variation moyen de y par rapport à x sur un
intervalle [c; d] est noté :
∆y
∆x[c;d]
Le taux de variation moyen sur un intervalle est le rapport
de la variation de y sur la variation de x.
On a donc
∆y
∆x[c;d]
=f(d)−f(c)
d−c.
∆x = d – c
∆y = f(d) – f(c)
(c; f(c))
(d; f(d))
x
y
Taux de variation moyen,
pente de la sécante
Graphiquement, le taux de variation moyen est la pente
du segment de droite passant par les points (c; f(c)) et
(d; f(d)).
Il est parfois plus simple de représenter les points d'in-
tersection de la sécante et de la courbe par (c; f(c)) et
(c+∆x; f(c+∆x). Dans cette notation, le taux de variation
moyen est :
∆y
∆x[c;c+∆x]
=f(c+∆x)−f(c)
∆x.
∆x
∆y = f(c+∆x) – f(c)
(c; f(c))
(c+∆x; f(c+∆x))
x
y
Taux de variation moyen,
pente de la sécante
On peut avoir à estimer ce rapport à partir d’une repré-
sentation graphique ou à le calculer à partir de données
observées ou à partir de la règle de correspondance
décrivant le lien entre les variables.
Dans les applications, le taux de variation moyen
s’exprime toujours à l’aide d’unités de mesure qui
aident à interpréter correctement les résultats selon le
contexte.
L’accélération moyenne, la
vitesse moyenne et le débit
moyen sont des exemples de
taux de variation moyen.
TAUX DE VARIATION PONCTUEL
Pour obtenir une information plus précise sur la variation
conjointe de deux variables, on a recours au taux de
variation ponctuel. Ce taux est la mesure de la variation
réelle de deux variables l’une par rapport à l’autre pour
une valeur c de la variable indépendante.
CHAPITRE 1
TAUX DE VARIATION
Élément de compétence
Analyser des phénomènes divers à l’aide du taux de variation des variables en cause.
Résumés des chapitres
et objets d’évaluation

2 Résumés et objets d’évaluation
Le taux de variation ponctuel d’une variable y par rap-
port à une variable x, pour une valeur c de la variable
indépendante, est noté :
dy
dx c
Graphiquement, le taux de variation ponctuel est la
pente de la tangente au point d’abscisse c, soit le point
(c; f(c)).
(c; f(c))
x
y
Taux de variation ponctuel,
pente de la tangente
Il est impossible de calculer directement le taux de
variation ponctuel car pour calculer la pente d’un seg-
ment de droite, il faut en connaître deux points et on
ne connaît que le point de tangence.
Il est obtenu en prenant la limite des pentes des sécantes
sur un intervalle de largeur ∆x au voisinage de c, lorsque
∆x tend vers 0. On a donc :
dy
dx c
=lim
∆x→0
f(c+∆x)−f(c)
∆x.
(c; f(c))
(c+∆x; f(c+∆x))
c+∆x
∆x
∆y
x
c
y
Pente de la tangente,
valeur limite des pentes des sécantes.
Les valeurs calculées pour les pentes des sécantes en
considérant une suite d’intervalles emboîtés à gauche
et à droite de c tendent vers une valeur limite qui est la
pente de la tangente à la courbe, c’est-à-dire le taux de
variation ponctuel au point d’abscisse c.
On peut avoir à estimer ce taux à partir d’une représenta-
tion graphique ou à partir de la règle de correspondance
décrivant le lien entre les variables en calculant le taux
de variation moyen sur des intervalles emboîtés.
La puissance consommée dans un circuit en fonction
d’une résistance variable est un taux de variation ponc-
tuel. Le taux de variation de la charge que peut supporter
une poutre en fonction de son épaisseur est un taux de
variation ponctuel.
TAUX DE VARIATION INSTANTANÉ
Lorsque la variable indépendante est le temps, le taux
de variation ponctuel est appelé taux de variation ins-
tantané. La vitesse, l’accélération, le débit, la puissance,
le courant et la vitesse d’une réaction chimique sont des
taux de variation instantanés.
ÉVALUATION DU CHAPITRE 1
L’élément de compétence visé par ce chapitre est :
Analyser des phénomènes divers à l’aide du taux
de variation des variables en cause.
Les critères de performance démontrant l’acquisition
de cet élément de compétence sont :
Détermination correcte du taux de variation
moyen, à partir d’un ensemble de valeurs,
d’une représentation graphique ou de la règle
de correspondance entre les variables.
Estimation correcte du taux de variation ponc-
tuel à partir d’une représentation graphique
ou de la règle de correspondance entre les
variables.
Composantes susceptibles d’être évaluées.
• Estimer le taux de variation moyen sur un intervalle
à partir d’une représentation graphique.
• Calculer le taux de variation moyen sur un intervalle
à partir d’un tableau de valeurs.
• Calculer le taux de variation moyen sur un intervalle à
partir de la règle de correspondance d’une fonction.
• Estimer graphiquement un taux de variation ponc-
tuel.
• Estimer un taux de variation ponctuel par approxima-
tions successives sur des intervalles emboîtés.
• Utilisation correcte des unités de mesure dans le calcul
et l’interprétation d’un taux de variation.

Calcul différentiel et intégral appliqué aux techniques, A. Ross 3
ÉVALUATION DES LIMITES
Approche numérique
Grâce au langage des limites, on peut décrire symboli-
quement le comportement d’une fonction au voisinage
d’une valeur particulière.
Notre première approche d’évaluation d’une limite fut
une approche numérique. Nos calculs nous ont permis
d’associer des comportements graphiques selon le type
d’indétermination que l’on rencontrait dans l’évaluation
d’une limite.
f(c) n’existe pas
La limite à gauche de c est égale à la
limite à droite de c. La discontinuité
est non-essentielle.
x
c
y
Limite de la forme 0/0 à x = c
f(c) n’existe pas
La limite est l’infini
ou moins l’infini.
La fonction a une
asymptote verticale à x = c.
x
c
y
Limite de la forme k/0 à x = c
f(c) n’existe pas
La limite à gauche de c est un nombre
réel, mais celle limite est différente de
limite à droite de c.
x
c
y
Limite de la forme |k|/0 à x = c
CHAPITRE 2
LIMITES ET TAUX PONCTUEL
Élément de compétence
Utiliser le calcul algébrique des limites pour déterminer un taux de variation ponctuel.
Propriétés des limites
Notre deuxième approche a consisté à déterminer les
propriétés des limites pour les appliquer dans l’évalua-
tion d’une limite en lien avec certains cas particuliers.
PROPRIÉTÉS DES LIMITES
Si L, M, c et k sont des nombres réels et que :
lim
x→c
f(x)=L et lim
x→c
g(x)=M,
alors on a les propriétés suivantes :
• lim
x→c
f(x)+g(x)
[ ]
=lim
x→c
f(x)+lim
x→c
g(x)=L+M,
• lim
x→c
f(x)−g(x)
[ ]
=lim
x→c
f(x)−lim
x→c
g(x)=L−M,
• lim
x→c
kf (x)
[ ]
=klim
x→c
f(x)=kL,
• lim
x→c
f(x)g(x)
[ ]
=lim
x→c
f(x)
( )
lim
x→c
g(x)
( )
=LM,
• lim
x→c
f(x)
g(x)
=
lim
x→c
f(x)
( )
lim
x→c
g(x)
( )
=L
M, si M≠0,
• lim
x→c
f(x)
[ ]
r s =lim
x→c
f(x)
r s =Lr s .
En utilisant ces propriétés pour évaluer des limites, on a
constaté rapidement que dans la plupart des cas, on peut
évaluer la limite en calculant l’image par la fonction.
FONCTION CONTINUE
Lorsqu’une fonction est continue en x = c, la limite de
la fonction lorsque x tend vers c est l’image f(c). On
peut donc évaluer directement la limite en calculant
l’image de c par la fonction.
lim
x→−1
=x3−8
x−2=−1−8 −1−2=3.
Notre premier réexe pour évaluer la limite lorsque x
tend vers c est de substituer dans l’expression algébri-
que. Si on est en mesure d’effectuer les opérations, on
effectue les calculs et la limite est trouvée.
En substituant c à x, on peut obtenir une forme indéter-
minée, soit la forme 0/0 ou la forme k/0.

4 Résumés et objets d’évaluation
FONCTIONS DISCONTINUE
Forme 0/0
Lorsque le numérateur et le dénominateur s’annulent
pour une même valeur c de la variable indépendante, la
fonction n’a pas d’image pour cette valeur, cependant la
limite à gauche est égale à la limite à droite. On dit que
la fonction présente une discontinuité non-essentielle.
Graphiquement, on dit que la fonction a une discontinuité
par trou. Dans le cas des fonctions algébriques, on peut
évaluer la limite en appliquant l’une des procédures
suivantes :
• Dans le cas d’un quotient de polynômes, on
décompose en facteurs et on simplie pour
obtenir une nouvelle expression qui a la même
limite lorsque x tend vers c. On évalue alors par
substitution. (Voir factorisation par division de
polynômes dans le rappel de notions d’algèbre).
lim
x→1
x3−1
x−1
=lim
x→1
(x−1)(x2+x+1)
x−1
=lim
x→1
(x2+x+1) =3.
Pour pouvoir évaluer cette limite, on a déterminé
une fonction continue g(x) = x2 + x + 1 ayant le
même comportement et la même limite que :
h(x)=x3−1
x−1
et on a évalué la limite en calculant g(c), l’image
de c par la fonction g.
g(x) = x2 + x + 1
Limite de la forme 0/0 à x = c
h(x)
x
1
g(x)
x
1
(1; g(1))
h(x) = x3 – 1
x – 1 est continue à 1 et on
peut évaluer la limite
en calculant g(1).
est discontinue à 1 et
on ne peut évaluer la
limite directement.
• Dans le cas d’un quotient de fonctions, dont le
numérateur comporte un radical, on multiplie le
numérateur et le dénominateur par le conjugué du
numérateur pour pouvoir simplier et obtenir une
nouvelle expression qui a la même limite lorsque
x tend vers c. On évalue alors par substitution.
(Voir rationalisation dans le rappel de notions
d’algèbre).
lim
x→2
2x−3−1
x−2
=lim
x→2
( 2x−3−1)( 2x−3+1)
(x−2)( 2x−3+1)
=lim
x→2
(2x−3−1)
(x−2)( 2x−3+1)
=lim
x→2
(2x−4)
(x−2)( 2x−3+1)
=lim
x→2
2
( 2x−3+1)
=1.
• Lorsque le numérateur est une différence de
quotients, on met au même dénominateur pour
pouvoir factoriser et simplier. On évalue la limite
par substitution dans l’expression obtenue.
lim
x→3
1
x
−1
3
x−3
=lim
x→3
3−x
3x
x−3
=lim
x→3
3−x
3x(x−3)
=lim
x→3
−1
3x
=−1
9.
Forme k/0
Lorsque le numérateur est seul à s’annuler pour une
valeur c de la variable indépendante, les valeurs de la
variable dépendante tendent vers l’inni ou vers moins
l’inni lorsque x tend vers c. La fonction a une dis-
continuité essentielle qui est une discontinuité innie.
Graphiquement, cette discontinuité se traduit par une
asymptote verticale à x = c.
On doit alors déterminer la comportement de la fonction
à gauche et à droite de c. Pour ce faire, on a recours aux
règles de l’algèbre de l’inni :
Lorsque x s'approche de c, si l’expression s’approche
de :
k
0+,la limite est ∞ si k > 0.
la limite est −∞ si k < 0.
k
0−,la limite est −∞ si k > 0.
la limite est ∞ si k < 0.

Calcul différentiel et intégral appliqué aux techniques, A. Ross 5
ÉVALUATION DU CHAPITRE 2
L’élément de compétence visé par ce chapitre est :
Utiliser le calcul algébrique des limites pour déter-
miner un taux de variation ponctuel.
Les critères de performance démontrant l’acquisi-
tion de cet élément de compétence sont :
Évaluation exacte de la limite d’une expression
algébrique lorsque sa variable indépendante
s’approche d’une valeur particulière.
 Identicationexactedestypesdediscontinuités
d’une fonction et de leurs caractéristiques.
Analyse globale exacte de la continuité d’une
fonction.
Évaluation et interprétation correcte du taux
de variation ponctuel selon un contexte d’ap-
plication.
Composantes susceptibles d’être évaluées :
• Connaître la dénition de limite d’une fonction en un
point.
Saisir intuitivement la notion de limite et être capable
de traduire le comportement graphique d’une fonction
à l’aide du langage symbolique des limites et récipro-
quement traduire graphiquement un comportement
décrit à l’aide des limites.
• Évaluer intuitivement une limite en calculant une suite
d’images appropriées.
• Évaluer intuitivement une limite en analysant le com-
portement graphique d’une fonction au voisinage d’un
point donné.
• Évaluer une limite à l’aide des propriétés.
• Évaluer une limite de la forme 0/0, k/0 ou |k|/0.
• Évaluer une limite d’une fonction dénie par par-
ties.
• Calculer un taux de variation ponctuel à l’aide des
limites.
• Décrire les types de discontinuités à l’aide des limi-
tes.
• Calculer un taux de variation ponctuel dans un contexte
d’application.
• Interpréter un taux de variation ponctuel selon un
contexte d’application.
• Déterminer la pente et l’équation de la tangente à une
courbe en un point d’abscisse c.
• Déterminer la pente et l’équation de la normale à une
courbe en un point d’abscisse c.
LIMITES ET TAUX DE VARIATION PONCTUEL
Le taux de variation ponctuel d’une fonction en un point
d’abscisse c est déni par :
dy
dx c
=lim
∆x→0
∆y
∆x[c;c+∆x]
=lim
∆x→0
f(c+∆x)−f(c)
∆x.
En voulant évaluer une telle limite, on obtient toujours
une indétermination de la forme 0/0. Ainsi, pour dé-
terminer la pente de la tangente (ou taux de variation
ponctuel) à la courbe de f(x) = x3 au point d’abscisse
2, on doit évaluer :
dy
dx [2;x]
=lim
x→2
f(x)−f(2)
x−2=lim
x→2
x3−8
x−2
Dans le cas des fonctions algébriques, il est possible de
lever l’indétermination pour pouvoir évaluer la limite
en effectuant les manipulations algébriques requises par
la forme de l’expression.
ÉQUATION DE LA TANGENTE
Puisque le taux ponctuel est représenté graphique-
ment par la pente de la tangente à la courbe au point
considéré, on peut utiliser cette information pour
trouver l’équation de cette tangente ainsi que celle
de la normale.
L’équation d’une droite dont on connaît un point
(x1; y1) et la pente a est donnée par :
y = a(x – x1) + y1
Dans le cas de la tangente à une courbe le point connu
est le point de tangence (c; f(c)) et la pente est :
aT=dy
dx c
=lim
x→c
f(x)−f(c)
x−c.
La normale à la courbe passe également par le point de
tangence (c; f(c)) et sa pente est donnée par :
aT·aN= −1 ou aN=−1
aT
.