λ λs>λ

OPTICS II
Section de Physique
Cours: Pr. Romuald Houdré
Exercices: Nicolas Descharmes
Série 7 - énoncé
Photons, comptage de photons
2 avril 2012
Exercice 1 – Effet Compton : diffusion de rayons X sur des électrons au repos.
Lorsqu’un photon de fréquence ν entre en collision (élastique) avec un électron au repos, un
photon de fréquence ν’ est émis avec un angle θ et l’électron acquiert une impulsion
€
P
e
avec un
angle φ (voir schéma du cours).
a) Rappelez comment s’écrit l’énergie et la quantité de mouvement d’un photon en fonction
de la fréquence optique ν. On notera m0 la masse au repos de l’électron.
b) En utilisant les lois de la mécanique classique (conservation de l’énergie et de la quantité
de mouvement) écrivez trois équations reliant ν, ν’, θ et φ. (On supposera que la vitesse de
l’électron est négligeable devant celle de la lumière)
c) Montrez qu’à la limite où la différence de fréquence δν << ν, ces équations permettent
d’exprimer la fréquence optique du photon diffusé ν' en fonction de la fréquence optique
du photon incident ν, et de l’angle de diffusion θ sous la forme
€
ν'−ν ≈ ν2h
m0c2(1−cosθ)
i.e.
€
λ−λ'≈h
m0c(1−cosθ)
On éclaire un gaz d’électrons avec des rayons X de 0.1 nm de longueur d’onde. Quelle est la
vitesse maximale que peut acquérir un électron par effet Compton ?
Exercice 2 – Comptage des photoélectrons pour un champ classique d’intensité
constante.
a) Quels sont les deux facteurs qui contribuent au caractère probabiliste du processus
d’émission photoélectrique?
λ
λ'>λ

2
b) On note
€
p(n,t,T)
la probabilité de compter n photoélectrons dans l’intervalle [t,t+T]. On
s’intéressera dans cet exercice à
€
p(n,t,T)
pour un champs classique d’intensité constante.
Qu’en déduit-on sur la statistique d’un tel champ?
c) Soit un faisceau de lumière de fréquence ω de section A (inférieure à la section efficace
du détecteur). L’intensité moyennée dans le temps
€
I
est uniforme sur toute la section A.
Calculer le nombre moyen de photons interagissant avec le détecteur par seconde.
d) Si le détecteur compte pendant un temps T et possède une efficacité quantique η, que vaut
le nombre moyen de photons compté dans le temps T? On posera
€
ξ = η
A
ω
.
e) En reprenant le raisonnement du cours montrer que
€
p(n,t,T)=
ξ IT
( )
n
n!exp(−
ξ IT)
.
Pourquoi
€
p(n,t,T)
est ici indépendant du temps t correspondant au départ de l’intervalle
de comptage?
La distribution de Poisson du comptage photoélectrique pour une lumière d’intensité constante
est similaire à ce que les électroniciens appellent le bruit de grenaille (shot noise en anglais) qui
provient de la nature discrète des porteurs de charge.
Exercice 3 – Comptage des photoélectrons pour un champ classique d’intensité
quelconque.
Nous introduisons maintenant des fluctuations dans le champ, i.e. on remplace
€
I
par
€
I(t)
.
a) On supposera que
€
I(t)
est quasi contant sur chaque intervalle de comptage [t,t+T], mais
change (lentement) entre les différents intervalles qui forment un ensemble complet de
mesures. Cette situation correspond à un temps de comptage T petit devant le temps de
corréllation τc de l’intensité de la lumière détectée. En utilisant le résultat de l’exercice 2,
déterminer
€
p(n,t,T)
en fonction de
€
P(I)
la distribution de probabilité pour les intensités
de lumière échantillonnées.
b) En général T n’est pas beaucoup plus petit que τc. On peut cependant montrer qu’alors
€
ξ IT
devient
€
ξ dt'
t
t+T
∫I(t')
. Réécrire
€
p(n,t,T)
avec cette nouvelle donnée.
On se propose de calculer les différents moments de
€
p(n,t,T)
, i.e. la moyenne
€
n
, la moyenne
du carré
€
n2
, ...
c) On pose
€
Ω(t,T)≡ ξ dt'
t
t+T
∫I(t')
. Réécrire
€
p(n,t,T)
.
d) L’outil fort utile pour cela est la fonction caractéristique de la variable aléatoire (moment
generating function en anglais)
€
φ (y)=exp y dt'
t
t+T
∫I(t')
( )
. C’est particulièrement vrais
pour calculer les moments factoriels
€
n(r)=n(n−1)(n−r+1) p(n,t,T)
n=0
∞
∑
.

3
Montrer que
€
n(r)=Ωr
. On utilisera la propriété
€
Ωr=dr
φ (y)
dyr
y=0
qui a peut-être été
apprise dans le cours de statistique (Théorème sur le développement limité en 0 de la
fonction caractéristique).
Aide: Pensez à dériver l’exponentielle.
e) Montrer que
€
n= ξ dt'
t
t+T
∫I(t')
.
Aide: écrire
€
n(1)
en fonction de
€
n
.
f) Ecrire
€
Δn2
en fonction de
€
n(2)
. En déduire que
€
Δn2=n+ ξ
2dt'
t
t+T
∫dt''
t
t+T
∫[I(t')I(t'') −I(t') I(t'') ]
. Réécrire cette expression en
fonction du degré décohérence du second ordre.
g) Comparer la variance obtenue à la question f) avec celle d’une distribution de Poisson.
Commenter.
Les exercices 2 et 3 ont été inspirés du livre de H. Carmichael “An Open Systems Approach
to Quantum Optics”.
Il est important de souligner que dans ces deux exercices nous n’avons pas tenu compte de la
nature quantique du champ. Nous n’avons considéré que des fluctuations classiques du
champ.